2024-2025学年安徽省阜阳市阜阳三中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省阜阳三中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数三在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知数列是首项为，公差为的等差数列，则( )
A. B. C. D.
3.把一个高的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度是( )
A. B. C. D.
4.设为实数，已知直线：，：，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知圆上所有点都在第二象限，则的取值范围( )
A. B. C. D.
6.如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为上的点，且，点在上，且若，，，四点共面，则为( )
A. B. C. D.
7.设椭圆：的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，关于该椭圆，有下列四个命题：
甲：；
乙：的周长为；
丙：离心率为；
丁：四边形的面积为．
如果只有一个假命题，则该命题是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.已知，是抛物线：上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有( )
A.
B. 点关于平面对称的点的坐标为
C. 若，则
D. 若，，则
10.在平面直角坐标系中，已知，，是动点下列命题正确的是( )
A. 若，则的轨迹的长度等于
B. 若，则的轨迹方程为
C. 若，则的轨迹与圆有交点
D. 若，则的最大值为
11.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图所示的分形规律，可得如图所示的一个树形图若记图中第行白圈的个数为，其前项和为；黑圈的个数为，其前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列满足，且，则 ______．
13.已知一个样本容量为的样本的平均数为，方差为，现样本加入三个新数据，，，则此时样本的方差______．
14.已知正四棱锥底面边长为，高为，动点在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，已知，．
证明；
若，的面积为，求．
16.本小题分
已知是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
若，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，，．
证明：平面平面；
若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．
18.本小题分
设直线，点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且．
已知直线：经过定点，直线经过点，且，求直线的方程．
求点的轨迹方程；
当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点．
19.本小题分
对于数列，若存在正数，使得对任意，，，都满足，则称数列符合“条件”．
试判断公差为的等差数列是否符合“条件”？
若首项为，公比为的正项等比数列符合“条件”求的取值范围；记数列的前项和为，证明：存在正数，使得数列符合“条件”．
参考答案
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15.解：证明：由，
可得，
即，即，
由正弦定理，可得，
又，故；
由，的面积为，
可得，
由，可得，
由余弦定理，有，
化简得，故，则，
又，所以．
16.解：设的公差为，由，得．
因为，，成等比数列，所以，则．
结合是递增的等差数列，可知，所以．
解方程组，可得，
所以等差数列的通项公式为；
若，则，
可得，
所以构成以为首项，公比为的等比数列．
可得
17.解：证明：在中，，，，
由余弦定理，得到，
解得，所以，得到，
又因为，所以，即，
又因为平面，面，所以，
又因为，，面，所以面，
又面，所以平面平面．
由知，，，两两互相垂直，
则以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，因为，，，
则，
则，
设平面的一个法向量为，则，，
则，即，取，得，
所以，
由题知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，整理得到，解得，
所以．
18.解：对于直线：，将其变形为，
令，解得，定点，
已知直线，其斜率，
，直线的斜率，
直线的方程为，即．
解：设，，，则，
从而
，，即，
则，整理得，
点的轨迹方程为．
证明：设，则，
当直线的斜率存在，易得，
且，
则直线的方程为，
注意到，化简得：，
点与关于直线对称，
设，则由，
解得，
又，
，
从而，
令，得，因此直线过定点．

19.解：因为是等差数列且公差为，所以，
所以对任意，，，
恒成立，
所以数列符合“条件”．
因为，所以．
若，则，数列符合“条件”；
若，因为数列递增，不妨设，
则，即，
设，由式中的，任意性可知，数列不递增，
所以，，
则当时，，矛盾．
若，则数列单调递减，不妨设，则
，即，
设，由式中的，任意性可知，数列不递减，
所以，．
因为时，单调递增，
所以，
因为，所以．
综上得，公比的取值范围为．
由知，，，
当时，，要存在使得，
只要即可．
当时，要证数列符合“条件”，
只要证存在，使得，，
不妨设，则只要证，
只要证．
设，由，的任意性可知，
只要证，
只要证，，
因为，所以存在，上式对成立．
所以，存在正数，使得数列符合“条件”．
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