2024-2025学年四川省高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.圆：与圆：的公切线条数为( )
A. B. C. D.
4.过点作圆的切线，则切线的斜率为( )
A. 或 B. C. 或 D.
5.连续投掷一枚质地均匀骰子两次，这枚骰子两次出现的点数之积为奇数的概率是( )
A. B. C. D.
6.在正方体中，为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，是棱长为的正方体内部含表面一动点，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在直三棱柱中，为腰长为的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，，为平面内一动点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，下列叙述正确的是( )
A. 点与点关于轴对称
B. 点与点关于轴对称
C. 点与点关于平面对称
D. 坐标轴两两确定的平面把空间分为个部分
10.已知直线：在轴上的截距大于，直线：与轴交于点，则( )
A. B. 恒过定点
C. 点到直线的距离可能为 D. 不存在使得
11.已知平面内一动点到坐标原点的距离为，以为圆心、为半径的动圆与圆：交于，两点，则( )
A. 存在唯一的圆，使得，两点重合
B.
C. 若存在，则其不可能为等边三角形
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量满足，则 ______．
13.已知圆过，，三点，则圆的面积为______．
14.在正三棱锥中，，平面，点在底面内的投影为点，是平面内以为圆心、为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，三点，点在圆：上运动．
若直线与圆有唯一公共点，求；
求的最小值．
16.本小题分
已知在中，，，，，，分别在线段，上，且．
求边上的高所在直线的斜截式方程；
若的面积为面积的，求直线的一般式方程．
17.本小题分
如图，在四面体中，，且，为的中点，点是线段上的动点含端点．
以为基底表示；
求的最小值．
18.本小题分
已知在空间直角坐标系中，点，，，．
证明：不共面；
求点到平面的距离；
设为平面上的一个动点，且，求的夹角取得最小值时，的值．
19.本小题分
现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”已知圆：．
若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；
已知圆：，且，均为圆“”的“牵连点”．
(ⅰ)求直线的方程；
(ⅱ)若圆是以线段为直径的圆，直线：与交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得和分别为直线和的斜率恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：已知，，三点，点在圆：上运动，
由题意知，圆的圆心为，半径，
故，
由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点，
在中，由勾股定理可得．
设，且，
故
，
而，当时，取得最小值．
16.解：由题意在中，，，，
可得直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为，
化为斜截式为．
因为的面积为面积的分别在线段，上，且，
所以为的中点，即，
又直线的斜率为，
所以直线的斜率也为，
所以直线的方程为，即，
所以直线的一般式方程为．
17.解：由题意可知，，
所以；
设，
因为，
所以，
当且仅当时，取得最小值，最小值为．
18.证明：在空间直角坐标系中，点，，，由题意假设存在，，使得成立，
则，即，
可得此方程组无解，所以假设不成立，故不共面．
解：由题意可得，
设平面的法向量为，所以
令，则，，故平面的一个法向量为，
故点到平面的距离．
解：设的夹角为，
则．
所以，
所以．
19.解：因为点为圆的“上进点”，所以，即，
所以的轨迹方程为，
所以点的轨迹是以为圆心为半径的圆．
因为为圆“”的“牵连点”，所以同时是圆和圆的“上进点”，
由为圆的“上进点”，得，所以，
即点在圆上，
由为圆的“上进点”，得点在圆上，
则点是圆和的交点．
因为，均为圆“”的“牵连点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，故直线的方程为．
(ⅱ)设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为．
直线的方程为，与联立得的中点坐标为，
点到直线的距离为，则，
所以圆的方程为．
假设轴上存在点满足题意，设，，，
则，即，整理得，
将，，代入上式可得，
整理得，
联立可得，，
所以，，代入并整理得，
此式对任意的都成立，所以．
故轴上存在点，使得恒成立．
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