2024-2025学年北京市和平街一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市和平街一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若，则的所有可能的取值构成的集合为( )
A. B. C. D.
4.已知、、，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.函数为奇函数，且当时，，则当时，解析式是( )
A. B.
C. D.
7.已知集合，，则“”是“”( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数是上的增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.若定义运算，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
10.已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，，，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是( )
；
；
函数在上单调递增；
不等式的解集为．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为______．
12.已知幂函数为奇函数，且在上单调递增，则的解析式可以为______写一个即可
13.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园设菜园的长为，宽为若菜园面积为，则 ______时，可使所用篱笆总长最小，最小值为______．
14.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____．
15.已知函数
若，则的最大值是 ；
若存在最大值，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合，．
当时，求和；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求；
若，求实数的值；
作出函数在区间内的图像．
18.本小题分
设．
若，求不等式的解集；
解关于的不等式．
19.本小题分
已知函数是定义在上的函数，恒成立，且．
确定函数的解析式，并用定义研究在上的单调性；
解不等式．
20.本小题分
在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入万元与年产量万台满足如下关系式：．
写出年利润万元关于年产量万台的函数解析式利润销售收入成本
当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
21.本小题分
对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合已知，．
Ⅰ写出和的值，并用列举法写出集合；
Ⅱ用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；
Ⅲ有多少个集合对，满足，，且？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.
16.解：时，集合，
则，
又，
则，
或，
所以；
若“”是“”的充分不必要条件，
则是的真子集，
若，即，则满足题意，
若，则，此时，解得，
所以，
综上的取值范围是或．
17.解：易知；
当时，，解得或舍，
当时，，解得，满足要求，
综上可得或；
由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：
18.解：若，则由，
解得或，所以不等式的解集为．
不等式，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
当时，，解得，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19.解：由题意可知，即，
解得，
所以，经检验满足奇函数，
设，
则，
，
，且，则，
，即，
函数在上是增函数；
，，
又是定义在上的增函数，
，解得，
解集为．
20.解：因为，
所以；
当时，，
由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，
当时，，
由不等式性质可知，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
综上当时，．
21.解：Ⅰ结合所给定义知，，，．
Ⅱ根据题意可知：对于集合，，
若且，则；
若且，则．
所以 要使的值最小，，，一定属于集合；
，，，是否属于不影响的值，但集合不能含有之外的元素．
所以 当为集合的子集与集合的并集时，取到最小值．
所以的最小值
Ⅲ因为 ，
所以 ．
由定义可知：．
所以 对任意元素，，
．
所以 ．
所以 ．
由 知：．
所以 ．
所以 ．
所以 ，即．
因为 ，，
所以 满足题意的集合对的个数为．
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