浙江省宁波市宁海中学2024年创新班提前招生数学试卷
一、选择题（48分）
1．（2024·宁海）若二次函数的图象经过点、，则的值为
A．0 B．3 C．1 D．0或3
2．（2024·宁海）小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
3．（2024·宁海）已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
4．（2024·宁海）如图四边形与是并列放在一起的两个正方形，是与的交点．如果正方形的面积是9，，则的面积为
A．1 B． C．4 D．
5．（2024·宁海）将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的，如果，那么
A． B． C． D．
6．（2024·宁海）若实数满足，则应满足的条件是
A．或 B．
C． D．
7．（2024·宁海）如图的三条高相交于点，是角平分线，已知，，则图中的等腰三角形共有个．
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2024·宁海）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为
A． B． C． D．
9．（2024·宁海）如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为
A． B． C． D．
10．（2024·宁海）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，反比例函数经过点，若的延长线交轴于点，连接，则的面积为
A．3 B．5 C．6 D．7
11．（2024·宁海）如图，正方形的边长是3，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2024·宁海）在中，，，，点是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是
A．点是三边垂直平分线的交点
B．点是三条内角平分线的交点
C．点是三条高的交点
D．点是三条中线的交点
二、填空题（24分）
13．（2024·宁海）已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ．
14．（2024·宁海）如图，正八边形中， ．
15．（2024·宁海）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
16．（2024·宁海）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则 的长 .
17．（2024·宁海）如图，已知四边形是平行四边形，将边绕点逆时针旋转得到，线段交边于点，连接．若，，，则线段的长为 ．
18．（2024·宁海）如图，等腰直角的斜边下方有一动点，，平分交于点，则的最小值是 ．
三、解答题（48分）
19．（2024·宁海）已知实数、满足，，求的值．
20．（2024·宁海）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，，，，．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中 ， ，等级所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
21．（2024·宁海）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形 中，E是 上的点，将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应点F在 的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点 到直线 的距离为 ．
①求 的长．
②若M、N分别是 、 边上的动点，求 周长的最小值．
22．（2024·宁海）已知在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，直线交坐标轴于、两点，已知点，．
（1）设与交于点，试判断的形状，并说明理由；
（2）点、在的边上，且满足与全等（点异于点，直接写出点的坐标．
23．（2024·宁海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是线段上一动点，点关于、的对称点分别为点、，连接交线段、于、．求最小值；
（3）在（2）的条件下请直接写出线段的取值范围．
24．（2024·宁海）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，动点、分别从点、同时出发，运动速度均为，点沿运动．到点停止，点沿运动，到点停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点的运动时间为．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使的所有的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图象过点、，
∴对称轴为y轴，
即，
解得m=3，
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标可以得到对称轴为y轴，然后根据解析式可得m≠0且，解出m值即可.
2．【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是平均数，
故答案为：A.
【分析】由平均数的定义“所有数据的和除以数据的个数”可得答案.
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由直线
得
如果直线 上存在横、纵坐标都是整数的点，
得x，y都是整数，
得4y， 2x都是偶数，
与 中13为奇数矛盾，
故答案为：A.
【分析】由直线 可得 可得4y， 2x都是偶数，与 中13为奇数矛盾，即没有 横、纵坐标都是整数的点 .
4．【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵正方形ABCD的面积是9，
∴正方形BEFG的面积=25，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴∠ABD=∠BEG =45°，
∴BD∥EG，
的面积=△BOE的面积 正方形BEFG的面积
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据正方形的面积可得即可得到 然后根据正方形的性质可得可得BD∥EG，然后利用平行线的性质可得的面积= 的面积 正方形BEFG的面积，解题即可.
5．【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
为正三角形，
，
，
，
∵五边形PQRST为正五边形，
，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠SAT=90°，
∴∠TSA+∠STA=90°，
∴∠STA=90°-∠TSA=90°-72°=18°，
∵∠STA+∠STP+∠ETD =180°，
∴∠ETD=180°-(∠STA+∠STP)= 180°-(18°+108°)=54°，
∴∠EDT =180°-(∠DET+∠ETD)=180°-(70°+54°)=56°，
∵∠EDT+∠CDA+∠2=180°，
∴∠2=180°-(∠EDT +∠CDA)=180°-(56°+90°)=34°，
故答案为：B.
【分析】先计算正三角形、正方形和正五边形的内角度数，然后计算∠DET、∠TSA、STA的度数然后由三角形的内角和定理得∠EDT的度数，最后根据 可得出 的度数.
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当 时， 则：
当 时， 则：
，
当 时， 则：
，
，
综上所述：若实数x满足则x应满足的条件是，
故答案为：C.
【分析】分为， 或 三种情况，分别化简二次根式解题即可.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中线；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：①∵AD⊥BC， ∠ABC =45°，
∴△ABD是等腰三角形；
②∵CF⊥AB， ∠ABC =45°，
∴△BCF是等腰三角形；
③∵∠ACB=60，
∴∠CBE =90°-60°=30°，
∵CH是角平分线，
∴∠CBI=∠ICB，
∴△BCI是等腰三角形；
④∵∠ACB=60°，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
∴∠ACJ=∠CAJ=30°，
∴△ACJ是等腰三角形；
⑤∵∠ACF=60°--45°= 15°，
∴∠CAF=90°--15°=75°，
∴∠AHC=∠ABC+∠BCH =45°+30°=75°，
∴∠CAH=∠CHA=75°，
∴△ACH是等腰三角形；
⑥∵∠GCD=∠DGC =45°，
∴△CDG是等腰三角形；
⑦∵∠GIJ =∠EBC+∠HCB=30°+30°=60°，
∠GJI =∠CJD=90°-30°=60°，
∴∠GIJ =∠GJI=60°，
∴△GIJ是等腰三角形；
⑧△AFG是等腰三角形；
综上分析，图中等腰三角形共有8个：
故答案为：D.
【分析】根据等角对等边分别找出等腰三角形即可.
8．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于E， OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°= 100°，由题意得， HG= PQ = MN，
∴OD=OE=OF，
∵OE⊥AB， OD⊥BC， OF⊥AC，
∴OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，
50°
∴∠BOC =180°-50°=130°，
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于E， OD⊥BC于D， OF⊥AC于F，根据圆心角、弧、弦的关系得到OD=OE=OF，然后得到OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，再根据三角形的内角和定理得到解答即可.
9．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC纸片中， ∠ACB =90°，
由勾股定理得：
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD=DF， ∠A=∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE=∠DFH，
∴∠DFH=∠A，
设DH=3x，
在Rt△DHF中，
∴DF =5x，
∴BD=5-5x，
∵△BDH∽△BAC，
故答案为：D.
【分析】由翻折得出AD=DF，∠A=∠DFE， 再根据FD平分∠EFB， 得出∠DFH =∠A， 即可得到△BDH∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
10．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点D的坐标为(-2，6)， CD⊥CO，
∴CO=2， CD=6=AB，
∴CO×AB=12，
∵AB∥OE，
即BC·EO=AB·CO =12，
∴△BCE的面积
故答案为：C.
【分析】依据点D的坐标， 即可得出CO=2， CD=6= AB， 再根据平行线分线段成比例得到 可得BC·EO=AB·CO=12， 进而得到△BCE的面积解题即可.
11．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC， ∠DAB =∠ABC =90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA=∠AOP =90°，∠ADO+∠P =∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
，
∵AE>AB，
∴AE > AD，
∴OD≠OE，
故②错误；
在△CQF与△BPE中
，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，
，
即 ，故③正确；
∵BP=CQ=1， AB=AD=3，
故④正确.
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质得到 然后证明 △DAP≌△ABQ， 得到 ，然后根据余角的性质得到 判断 ① ；根据相似三角形的性质得到 由 得到 判断 ② ；根据 得到 于是得到 即 判断 ③ ；证明得到 求得 由三角函数的定义即可得判断 ④ .
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过P作 于D， 过P作 于E， 延长CP交AB于M， 延长BP交AC于N， 如图：
∴四边形AEPD是矩形，
设
中，
中，
中，
时， 的值最大，此时
即
即M是AB的中点，同理可得 N为AC中点，
∴P是 三条中线的交点，
故答案为：D.
【分析】过P作 于D， 过P作 于E，延长CP交AB于M， 延长BP交AC于N， 设 则 ， 当 时， 的值最大，此时 然后根据平行线分线段成比例得到 解出 M是AB的中点，同理可得 N为AC中点， 即P是三条中线的交点.
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x= a代入方程得： ，
故答案为：2.
【分析】把x =a代入方程 得 整体代入是计算即可.
14．【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 是正八边形，
∴∠AHG=∠HGF=∠GFE=，BF平分∠GFE，
∠GFB=，
故答案为：67.5°.
【分析】先求出正八边形的内角，然后根据角平分线的定义解题即可.
15．【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当 3时，
令
的解为： 或3，
或3，
或5，
∴不等式( 的解集为 或
故答案为：或.
【分析】先根据图象可得 3时， 令 然后利用换元法得到方程的解，再借助图象得到不等式的解集.
16．【答案】cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得 ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
即 .
故答案为： .
【分析】由题得FG=5cm，BC=20cm，BJ=40cm，EF=20cm，由同角的余角相等得∠GFI=∠FEC，证明△GFI∽△FEC，设FI=xcm，则CF=(20-x)cm，由相似三角形的性质可得CE，由勾股定理求出x，据此可得FI.
17．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AE， 过E作EG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，
∴DE = DA， ∠ADE =60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，
∴AE=BC，
∵∠C+∠BEF=165°，
∴∠DAB+∠BEF=165°，
∴∠ABE=360°-(∠ADE+∠BEF+∠DAB)=135°，
∴∠GBE=45°，
，
故答案为：
【分析】连接AE，过E作EG⊥AB于G，由旋转得出DE= DA， ∠ADE =60°， 即可得到△ADE是等边三角形，推出AE = AD，证出∠GBE =45°，由勾股定理解题即可.
18．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点 O，连接OC、OD、AE，
，
∴A、C、B、D四点 共 圆，
∵ CA = CB，
∴ ∠CBA =
，
∴DE 平分∠ADB，
∵ BE 平分
∴点 E 是 的角平分线的交点，
∴ AE 平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
，
，即CE长是定值，
∴当 CD 长最大，即 CD 为直径时， 的值最小，最小值
故答案为：.
【分析】取AB的中点 O，连接OC、OD、AE，可得A、C、B、D四点 共 圆，然后得到点 E 是 的角平分线的交点，即可得到∠BAE = ∠DAE， 然后得到CE=CA，然后根据当 CD 长最大，即 CD 为直径时， 的值最小即可解题.
19．【答案】解：，
，
，
．
，
，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式的变形计算即可.
20．【答案】（1）解：被调查的总人数为（人，
等级人数为（人，
补全图形如下：
（2）15；5；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（2）n=，
m= ，
等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%=252°，
故答案为：15，5，252°；
【分析】（1）先根据A组人数和所占的百分比求出总人数，然后计算C等级人数补图即可；
（2）先根据D等级人数计算n的值，然后根据C等级人数计算m值即可；
（3）画树状图得到所有结果数，然后找到符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.
21．【答案】（1）解：如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE
∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠F+∠BED=180°，
∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，
故满足“直等补”四边形的定义，
∴四边形 为“直等补”四边形；
（2）解：①∵四边形 是“直等补”四边形，AB=BC，
∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，
如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE
∴D、C、F共线，
∴四边形EBFD是正方形，
∴BE=FD，
设BE=x，则CF=x-1，
在Rt△BFC中，BC=5，
由勾股定理得： ，即 ，
解得：x=4或x=﹣3(舍去)，
∴BE=4
②如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，
则NP=NC，MT=MC，
∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT
当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，
过P作PH⊥BC，交BC延长线于H，
∵∠F=∠PHC=90°，∠BCF=∠PCH，
∴△BCF∽△PCH，
∴ ，
即 ，
解得： ，
在Rt△PHT中，TH= ，
，
∴ 周长的最小值为 ．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°，BF=BE，进而可证得四边形 为“直等补”四边形；（2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD，设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC，由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值．
22．【答案】（1）解：把，代入得，
解得，，
直线的解析式为；
联立，得，
解得，
点的坐标为，，
对于直线，当时，，
，
又，
，
即，，，
，
是等腰三角形
（2）解：①当，在上时，如图1，此时，，
，
设，
又，
，
解得，（舍去），
，
，；
②当在上，在上时，
如图2，此时，，
，，
，
设，则，
代入，得，
解得，
则，
，；
③在上，在上时，
如图3，此时，，
，
；
④当在上，与点重合时，
如图4，此时，，
则，
，
，
，
与点重合，
，；
综上，点在坐标为，，，，，，．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线与 的解析式，然后求出交点E的坐标，点C的坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可；
（2）分为，在上；在上，在上；在上，在上；在上，与点重合四种情况分别解题即可.
23．【答案】（1）解：抛物线经过、、，
，
．
抛物线的函数表达式为；
（2）解：连接，，，如图，
点关于、的对称点分别为点、，
垂直平分，垂直平分，
，，
，．
，．
、、，
，．
．
，
为等腰直角三角形，
．
，，
，
，
，
，
点是线段上一动点，
当时，取得最小值，此时值最小．
当时，
，
．
，，
，
最小值为，
的最小值为
（3）解：（3）由（2）知：为等腰直角三角形，
，
，
．
点是线段上一动点，
点与点重合时，，点与点重合时，，
，
的最大值，
当时，取得最小值为，
的最大值，的最小值．
线段的取值范围为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)把三个点的坐标代入解析式得到三元一次方程组解题即可；
(2)连接AD， DM， DN， 可以得到 由 得到 则 为等腰直角三角形，再利用， 得到即可得到当时，取得最小值，此时值最小，然后利用面积法和勾股定理计算即可；
(3)利用 (2) 的结论得到根据AD的最小值与最大值解答即可得出结论.
24．【答案】（1）解：如图
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，当时，过点作，垂足为点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图3，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，
则，
，
，
，
，
，
，
；
，
；
如图4，当时，过点作，垂足为点，则，
，
，
综上所述
（3）解：，
当点在上时，如图5，作于，
则，，
，
，
，
，
解得，；
当与重合时，如图6，，，
时，；
当点停止运动，运动到的中点时，如图7，
，则，
，
，
此时，，
时，
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
1 / 1浙江省宁波市宁海中学2024年创新班提前招生数学试卷
一、选择题（48分）
1．（2024·宁海）若二次函数的图象经过点、，则的值为
A．0 B．3 C．1 D．0或3
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图象过点、，
∴对称轴为y轴，
即，
解得m=3，
故答案为：B.
【分析】根据点的坐标可以得到对称轴为y轴，然后根据解析式可得m≠0且，解出m值即可.
2．（2024·宁海）小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是平均数，
故答案为：A.
【分析】由平均数的定义“所有数据的和除以数据的个数”可得答案.
3．（2024·宁海）已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由直线
得
如果直线 上存在横、纵坐标都是整数的点，
得x，y都是整数，
得4y， 2x都是偶数，
与 中13为奇数矛盾，
故答案为：A.
【分析】由直线 可得 可得4y， 2x都是偶数，与 中13为奇数矛盾，即没有 横、纵坐标都是整数的点 .
4．（2024·宁海）如图四边形与是并列放在一起的两个正方形，是与的交点．如果正方形的面积是9，，则的面积为
A．1 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵正方形ABCD的面积是9，
∴正方形BEFG的面积=25，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴∠ABD=∠BEG =45°，
∴BD∥EG，
的面积=△BOE的面积 正方形BEFG的面积
故答案为：D.
【分析】连接BD，根据正方形的面积可得即可得到 然后根据正方形的性质可得可得BD∥EG，然后利用平行线的性质可得的面积= 的面积 正方形BEFG的面积，解题即可.
5．（2024·宁海）将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的，如果，那么
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
为正三角形，
，
，
，
∵五边形PQRST为正五边形，
，
，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠SAT=90°，
∴∠TSA+∠STA=90°，
∴∠STA=90°-∠TSA=90°-72°=18°，
∵∠STA+∠STP+∠ETD =180°，
∴∠ETD=180°-(∠STA+∠STP)= 180°-(18°+108°)=54°，
∴∠EDT =180°-(∠DET+∠ETD)=180°-(70°+54°)=56°，
∵∠EDT+∠CDA+∠2=180°，
∴∠2=180°-(∠EDT +∠CDA)=180°-(56°+90°)=34°，
故答案为：B.
【分析】先计算正三角形、正方形和正五边形的内角度数，然后计算∠DET、∠TSA、STA的度数然后由三角形的内角和定理得∠EDT的度数，最后根据 可得出 的度数.
6．（2024·宁海）若实数满足，则应满足的条件是
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当 时， 则：
当 时， 则：
，
当 时， 则：
，
，
综上所述：若实数x满足则x应满足的条件是，
故答案为：C.
【分析】分为， 或 三种情况，分别化简二次根式解题即可.
7．（2024·宁海）如图的三条高相交于点，是角平分线，已知，，则图中的等腰三角形共有个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中线；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：①∵AD⊥BC， ∠ABC =45°，
∴△ABD是等腰三角形；
②∵CF⊥AB， ∠ABC =45°，
∴△BCF是等腰三角形；
③∵∠ACB=60，
∴∠CBE =90°-60°=30°，
∵CH是角平分线，
∴∠CBI=∠ICB，
∴△BCI是等腰三角形；
④∵∠ACB=60°，
∴∠CAD=90°-60°=30°，
∴∠ACJ=∠CAJ=30°，
∴△ACJ是等腰三角形；
⑤∵∠ACF=60°--45°= 15°，
∴∠CAF=90°--15°=75°，
∴∠AHC=∠ABC+∠BCH =45°+30°=75°，
∴∠CAH=∠CHA=75°，
∴△ACH是等腰三角形；
⑥∵∠GCD=∠DGC =45°，
∴△CDG是等腰三角形；
⑦∵∠GIJ =∠EBC+∠HCB=30°+30°=60°，
∠GJI =∠CJD=90°-30°=60°，
∴∠GIJ =∠GJI=60°，
∴△GIJ是等腰三角形；
⑧△AFG是等腰三角形；
综上分析，图中等腰三角形共有8个：
故答案为：D.
【分析】根据等角对等边分别找出等腰三角形即可.
8．（2024·宁海）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB于E， OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°= 100°，由题意得， HG= PQ = MN，
∴OD=OE=OF，
∵OE⊥AB， OD⊥BC， OF⊥AC，
∴OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，
50°
∴∠BOC =180°-50°=130°，
故答案为：C.
【分析】过点O作OE⊥AB于E， OD⊥BC于D， OF⊥AC于F，根据圆心角、弧、弦的关系得到OD=OE=OF，然后得到OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，再根据三角形的内角和定理得到解答即可.
9．（2024·宁海）如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：作DH⊥BC于H，
在Rt△ABC纸片中， ∠ACB =90°，
由勾股定理得：
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD=DF， ∠A=∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE=∠DFH，
∴∠DFH=∠A，
设DH=3x，
在Rt△DHF中，
∴DF =5x，
∴BD=5-5x，
∵△BDH∽△BAC，
故答案为：D.
【分析】由翻折得出AD=DF，∠A=∠DFE， 再根据FD平分∠EFB， 得出∠DFH =∠A， 即可得到△BDH∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可.
10．（2024·宁海）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，反比例函数经过点，若的延长线交轴于点，连接，则的面积为
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点D的坐标为(-2，6)， CD⊥CO，
∴CO=2， CD=6=AB，
∴CO×AB=12，
∵AB∥OE，
即BC·EO=AB·CO =12，
∴△BCE的面积
故答案为：C.
【分析】依据点D的坐标， 即可得出CO=2， CD=6= AB， 再根据平行线分线段成比例得到 可得BC·EO=AB·CO=12， 进而得到△BCE的面积解题即可.
11．（2024·宁海）如图，正方形的边长是3，，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC， ∠DAB =∠ABC =90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA=∠AOP =90°，∠ADO+∠P =∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
，
∵AE>AB，
∴AE > AD，
∴OD≠OE，
故②错误；
在△CQF与△BPE中
，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，
，
即 ，故③正确；
∵BP=CQ=1， AB=AD=3，
故④正确.
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质得到 然后证明 △DAP≌△ABQ， 得到 ，然后根据余角的性质得到 判断 ① ；根据相似三角形的性质得到 由 得到 判断 ② ；根据 得到 于是得到 即 判断 ③ ；证明得到 求得 由三角函数的定义即可得判断 ④ .
12．（2024·宁海）在中，，，，点是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是
A．点是三边垂直平分线的交点
B．点是三条内角平分线的交点
C．点是三条高的交点
D．点是三条中线的交点
【答案】D
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过P作 于D， 过P作 于E， 延长CP交AB于M， 延长BP交AC于N， 如图：
∴四边形AEPD是矩形，
设
中，
中，
中，
时， 的值最大，此时
即
即M是AB的中点，同理可得 N为AC中点，
∴P是 三条中线的交点，
故答案为：D.
【分析】过P作 于D， 过P作 于E，延长CP交AB于M， 延长BP交AC于N， 设 则 ， 当 时， 的值最大，此时 然后根据平行线分线段成比例得到 解出 M是AB的中点，同理可得 N为AC中点， 即P是三条中线的交点.
二、填空题（24分）
13．（2024·宁海）已知是一元二次方程的一个解，则代数式的值是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x= a代入方程得： ，
故答案为：2.
【分析】把x =a代入方程 得 整体代入是计算即可.
14．（2024·宁海）如图，正八边形中， ．
【答案】
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 是正八边形，
∴∠AHG=∠HGF=∠GFE=，BF平分∠GFE，
∠GFB=，
故答案为：67.5°.
【分析】先求出正八边形的内角，然后根据角平分线的定义解题即可.
15．（2024·宁海）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当 3时，
令
的解为： 或3，
或3，
或5，
∴不等式( 的解集为 或
故答案为：或.
【分析】先根据图象可得 3时， 令 然后利用换元法得到方程的解，再借助图象得到不等式的解集.
16．（2024·宁海）有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点 正好在书架边框上.每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则 的长 .
【答案】cm
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得： ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得 ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
即 .
故答案为： .
【分析】由题得FG=5cm，BC=20cm，BJ=40cm，EF=20cm，由同角的余角相等得∠GFI=∠FEC，证明△GFI∽△FEC，设FI=xcm，则CF=(20-x)cm，由相似三角形的性质可得CE，由勾股定理求出x，据此可得FI.
17．（2024·宁海）如图，已知四边形是平行四边形，将边绕点逆时针旋转得到，线段交边于点，连接．若，，，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AE， 过E作EG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，
∴DE = DA， ∠ADE =60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，
∴AE=BC，
∵∠C+∠BEF=165°，
∴∠DAB+∠BEF=165°，
∴∠ABE=360°-(∠ADE+∠BEF+∠DAB)=135°，
∴∠GBE=45°，
，
故答案为：
【分析】连接AE，过E作EG⊥AB于G，由旋转得出DE= DA， ∠ADE =60°， 即可得到△ADE是等边三角形，推出AE = AD，证出∠GBE =45°，由勾股定理解题即可.
18．（2024·宁海）如图，等腰直角的斜边下方有一动点，，平分交于点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点 O，连接OC、OD、AE，
，
∴A、C、B、D四点 共 圆，
∵ CA = CB，
∴ ∠CBA =
，
∴DE 平分∠ADB，
∵ BE 平分
∴点 E 是 的角平分线的交点，
∴ AE 平分∠BAD，
∴ ∠BAE = ∠DAE，
，
，即CE长是定值，
∴当 CD 长最大，即 CD 为直径时， 的值最小，最小值
故答案为：.
【分析】取AB的中点 O，连接OC、OD、AE，可得A、C、B、D四点 共 圆，然后得到点 E 是 的角平分线的交点，即可得到∠BAE = ∠DAE， 然后得到CE=CA，然后根据当 CD 长最大，即 CD 为直径时， 的值最小即可解题.
三、解答题（48分）
19．（2024·宁海）已知实数、满足，，求的值．
【答案】解：，
，
，
．
，
，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式的变形计算即可.
20．（2024·宁海）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，，，，．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中 ， ，等级所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：被调查的总人数为（人，
等级人数为（人，
补全图形如下：
（2）15；5；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（2）n=，
m= ，
等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%=252°，
故答案为：15，5，252°；
【分析】（1）先根据A组人数和所占的百分比求出总人数，然后计算C等级人数补图即可；
（2）先根据D等级人数计算n的值，然后根据C等级人数计算m值即可；
（3）画树状图得到所有结果数，然后找到符合条件的结果数，利用概率公式计算即可.
21．（2024·宁海）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形 中，E是 上的点，将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应点F在 的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点 到直线 的距离为 ．
①求 的长．
②若M、N分别是 、 边上的动点，求 周长的最小值．
【答案】（1）解：如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE
∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠F+∠BED=180°，
∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，
故满足“直等补”四边形的定义，
∴四边形 为“直等补”四边形；
（2）解：①∵四边形 是“直等补”四边形，AB=BC，
∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，
如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE
∴D、C、F共线，
∴四边形EBFD是正方形，
∴BE=FD，
设BE=x，则CF=x-1，
在Rt△BFC中，BC=5，
由勾股定理得： ，即 ，
解得：x=4或x=﹣3(舍去)，
∴BE=4
②如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，
则NP=NC，MT=MC，
∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT
当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，
过P作PH⊥BC，交BC延长线于H，
∵∠F=∠PHC=90°，∠BCF=∠PCH，
∴△BCF∽△PCH，
∴ ，
即 ，
解得： ，
在Rt△PHT中，TH= ，
，
∴ 周长的最小值为 ．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；定义新运算
【解析】【分析】（1）由旋转性质证得∠F+∠BED=∠BEC+∠BED=180°，∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°，BF=BE，进而可证得四边形 为“直等补”四边形；（2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD，设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC，由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值．
22．（2024·宁海）已知在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，直线交坐标轴于、两点，已知点，．
（1）设与交于点，试判断的形状，并说明理由；
（2）点、在的边上，且满足与全等（点异于点，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：把，代入得，
解得，，
直线的解析式为；
联立，得，
解得，
点的坐标为，，
对于直线，当时，，
，
又，
，
即，，，
，
是等腰三角形
（2）解：①当，在上时，如图1，此时，，
，
设，
又，
，
解得，（舍去），
，
，；
②当在上，在上时，
如图2，此时，，
，，
，
设，则，
代入，得，
解得，
则，
，；
③在上，在上时，
如图3，此时，，
，
；
④当在上，与点重合时，
如图4，此时，，
则，
，
，
，
与点重合，
，；
综上，点在坐标为，，，，，，．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求直线与 的解析式，然后求出交点E的坐标，点C的坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可；
（2）分为，在上；在上，在上；在上，在上；在上，与点重合四种情况分别解题即可.
23．（2024·宁海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是线段上一动点，点关于、的对称点分别为点、，连接交线段、于、．求最小值；
（3）在（2）的条件下请直接写出线段的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线经过、、，
，
．
抛物线的函数表达式为；
（2）解：连接，，，如图，
点关于、的对称点分别为点、，
垂直平分，垂直平分，
，，
，．
，．
、、，
，．
．
，
为等腰直角三角形，
．
，，
，
，
，
，
点是线段上一动点，
当时，取得最小值，此时值最小．
当时，
，
．
，，
，
最小值为，
的最小值为
（3）解：（3）由（2）知：为等腰直角三角形，
，
，
．
点是线段上一动点，
点与点重合时，，点与点重合时，，
，
的最大值，
当时，取得最小值为，
的最大值，的最小值．
线段的取值范围为
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)把三个点的坐标代入解析式得到三元一次方程组解题即可；
(2)连接AD， DM， DN， 可以得到 由 得到 则 为等腰直角三角形，再利用， 得到即可得到当时，取得最小值，此时值最小，然后利用面积法和勾股定理计算即可；
(3)利用 (2) 的结论得到根据AD的最小值与最大值解答即可得出结论.
24．（2024·宁海）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，动点、分别从点、同时出发，运动速度均为，点沿运动．到点停止，点沿运动，到点停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点的运动时间为．
（1）当时，求的值；
（2）当时，求与之间的函数关系式；
（3）直接写出在整个运动过程中，使的所有的值．
【答案】（1）解：如图
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，当时，过点作，垂足为点，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图3，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，
则，
，
，
，
，
，
，
；
，
；
如图4，当时，过点作，垂足为点，则，
，
，
综上所述
（3）解：，
当点在上时，如图5，作于，
则，，
，
，
，
，
解得，；
当与重合时，如图6，，，
时，；
当点停止运动，运动到的中点时，如图7，
，则，
，
，
此时，，
时，
【知识点】矩形的性质；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
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