广东省惠州市惠城区培英学校2024-2025学年九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·惠城开学考）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
2．（2024九上·惠城开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·惠城开学考）下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024九上·惠城开学考）若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期次数学测试的平均成绩恰好都是分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是( )
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
5．（2024九上·惠城开学考）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·惠城开学考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形
7．（2024九上·惠城开学考）若 =10，则x的值等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
8．（2024九上·惠城开学考）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
9．（2024九上·惠城开学考）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过元者，超过元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为元的篮球个，则小东应付货款元与篮球个数个的函数关系式是( )
A． B．
C． D．
10．（2024九上·惠城开学考）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·惠城开学考）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 = .
12．（2024九上·惠城开学考）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是 ．
13．（2024九上·惠城开学考）已知一组数据：0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是 ．
14．（2024九上·惠城开学考）已知，则 ．
15．（2024九上·惠城开学考）在平面直角坐标系中，直线向左平移个单位长度得到直线，那么直线与轴的交点坐标是 ．
16．（2024九上·惠城开学考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·惠城开学考）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024九上·惠城开学考）在一次大学生一年级新生训练射击训练中，某小组的成绩如表：
环数 6 7 8 9
人数 1 5 3 1
（1）该小组射击数据的众数是 ，中位数是 ；
（2）求该小组的平均成绩；
（3）若8环（含8环）以上为优秀射手，在1200名新生中有多少人可以评为优秀射手？
19．（2024九上·惠城开学考）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
20．（2024九上·惠城开学考）如图，在 中， 于 ， 于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
21．（2024九上·惠城开学考）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的面积．
22．（2024九上·惠城开学考）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
23．（2024九上·惠城开学考）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；
，；
（1）请用含有为正整数的等式表示上述变化规律： ， ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
24．（2024九上·惠城开学考）综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将正方形纸片依次沿对角线、对折，把纸片展平，折痕的交点为；
操作二：在上取一点，在上取一点，沿折叠，使点落在点处，然后延长交于点，连接．
如图是经过以上两次操作后得到的图形，则线段和的数量关系是 ．
（2）迁移思考
图是把矩形纸片按照中的操作一和操作二得到的图形请判断，，三条线段之间有什么数量关系？并仅就图证明你的判断．
（3）拓展探索
图中，若点是边的三等分点，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵c2＝a2﹣b2，
∴b2+c2＝a2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C.∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故运算错误，不符合题意，A错误；
B.，故运算错误，不符合题意，B错误；
C.，故运算错误，不符合题意，C错误；
D.，运算正确，符合题意，D正确．
故选：D．
【分析】本题考查二次根式的运算．与不是同类二次根式，不能进行合并，计算，据此可判断A选项；进行合并类项可得，据此可判断B选项；利用有理数的运算可得，据此可判断C选项；利用根式的运算性质：进行计算可得：，据此可判断D选项.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，①正确；
②当时不是一元二次方程，②错误；
③去括号化简后可得：，不是一元二次方程，③错误；
④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程，④错误；
⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，⑤正确；
故选：B．
【分析】本题考查一元二次方程的定义.一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.①只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，据此可判断说法①；当时， 未知数最高次数不是2次，据此可判断说法②；③去括号化简后可得： ，未知数最高次数不是2次，据此可判断说法③；④方程为分式方程，据此可判断说法④；⑤只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，据此可判断说法⑤.
4．【答案】B
【知识点】方差
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
解得
∴该函数的表达式为
故选：B．
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式.根据一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，将点A和点B代入函数解析式可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，据此可求出函数解析式.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项正确；
B、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项正确；
C、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，C选项错误；
D、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，D选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理判断得到答案即可。
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：3 + + ＝10，
5 ＝10，
＝2，
则2x＝4，
x＝2，
故答案为：C
【分析】由二次根式的性质“、、”可将方程左边化简得：3 + + ＝10，再合并同类二次根式得，5 ＝10，把方程两边同时平方可去掉根号，然后按照一元一次方程的解题步骤计算即可求解。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，
∴BC= =2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE=0.4米，
∴EC=BC﹣0.4=2米，
∴DC= =1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD=1.5﹣0.7=0.8（米）．
故选：D．
【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
9．【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，连接BD和BG，如下图所示：
四边形ABCD是菱形，
， ， ，
与 是等边三角形，
且点G恰好为CD边的中点，
平分AB， ，
， ， ，
， ，
在 中， ，
由勾股定理可知： ，
，
由折叠可知： ，故有 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知： ，
即 ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】过点D作DH⊥AB 于点H，连接BD和BG，由菱形性质得AB=AD=CD=BC，∠C=60°，可推出△ADB和△BCD是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出点G恰好为CD边的中点；再求出AH的长，利用勾股定理求出DH的长，即可得到BG的长；利用折叠的性质可知AE=GE，设AE=x，可表示出BE的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x值.
11．【答案】5
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】j解：由题意得： ，解得： 或 ，
当 是不满足为最简二次根式，故舍去.
故答案为：5.
【分析】将几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式，根据定义即可列出方程，求解并检验即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图
当按（1）摆放时，外面的长度h最短：h =18-=5cm，
当按（2）摆放时，外面的长度h最长：h =18-12=6cm.
故答案为：5≤h≤6.
【分析】当按（1）摆放时，处于杯子的部分的长为以5cm与12cm为直角边的直角三角形的斜边，这时放在杯子最长，则外露最短；当按（2）垂直摆放时，处于杯子部分只有12cm，则外露最长.
13．【答案】4
【知识点】中位数
【解析】【解答】∵数据0，2，x，4，5的众数是4，∴x＝4，这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，2，4，4，5，则中位数为4．
【分析】根据众数为4，可得x＝4，然后把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中位数．
14．【答案】11
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：11
【分析】先根据分式有理化得到，进而代入根据二次根式的混合运算即可求解。
15．【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线向左平移个单位长度得到直线，
∴直线向右平移2个单位长度得到直线m，
∴直线m的解析式为，
当y=0时，x=-2，
∴ 直线与轴的交点坐标是，
故答案为：
【分析】先根据一次函数的图象及其几何变换得到直线m的函数解析式，进而根据一次函数与坐标轴的交点即可求解。
16．【答案】4
【知识点】矩形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，则AQ=20-2x，BP=3x
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ=BP
∴3x=20-2x
∴x=4
故答案为：4
【分析】本题考查矩形的判定与性质.根据四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可得：∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，据此可得AQ=20-2x，BP=3x，根据矩形的性质可得：AQ=BP，据此可列出方程3x=20-2x，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式，
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据对二次根式进行化简，进而根据二次根式的加减运算即可求解；
（2）先根据题意化简二次根式、实数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂，进而根据实数的混合运算即可求解。
18．【答案】（1）7；7
（2）解：该小组的平均成绩为：×（6+7×5+8×3+9）＝7.4（环）；
（3）解：根据题意得：1200× ＝480（名），
答：在1200名新生中有480名可以评为优秀射手
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵射击7环数的人数有5个，人数最多，
∴该小组射击数据的众数是7；
共10人，中位数为第5和第6人的平均数，即＝7，
故答案为：7，7；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算求解即可；
（2）根据平均数的定义计算求解即可；
（3）根据 8环（含8环）以上为优秀射手， 计算求解即可。
19．【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
即 ；
四边形的面积，
，
，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理逆定理得到，最后根据四边形的面积即可求解。
20．【答案】（1）证明： 在平行四边形 中， ，
又 ，
，
， ．
，
在 和 中，
（2）解：在 中， ， ，
．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得：AD=CB，∠DAE=∠BCF，再利用AAS即可证明；
（2）利用全等三角形的性质求解即可。
21．【答案】（1）解：把，代入得，
，
解得．
所以一次函数解析式为；
（2）解：把代入得，
所以点坐标为，
所以的面积
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再利用的面积计算面积即可.
22．【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。
23．【答案】（1）；
（2）解：当时，有：，解之得：
即：说明它是第个三角形．
（3）解：
＝+…+
＝11.25
∴的值为11.25
【知识点】三角形的面积；勾股定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理得：
，
，
，
…，
，
∴＝n．
Sn＝ 1 ＝
故答案为：n，
【分析】（1）根据勾股定理结合题意得到，，，进而即可得到，从而得到＝n，再根据三角形的面积即可得到代数式；
（2）根据题意将代入，解方程即可求解；
（3）根据题意得到＝+…+，进而相加化简即可求解。
24．【答案】（1）
（2）J解：，，三条线段之间的数量关系是：．
证明如下：
四边形为矩形，点为对角线，的交点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
由折叠的性质得：，
即：，
为的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即：．
（3）或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)∵ABCD是正方形，O为对角线AC和BC的交点，
∴OA=OC，∠OAE=∠OCG=45° ，∠AOE=∠COG
∴△OAE≌△OCG（ASA）
∴OE=OG
折叠可知∠EOF=∠ABC=90°
即OF⊥EG
∴OF是EG的垂直平分线。
所以EF=FG.
故答案为：EF=FG.
（3）解：设长方形的长BC为a，宽AB为b，
当，，由（2）得，三角形AOE底边AE边上的高
当，，由（2）得，三角形AOE底边AE边上的高
故答案为：.
【分析】(1)线段EF和FC的数量关系是EF=FC，先证△OAE≌△OCG，则OE=OG，由折叠可知∠EOF=∠ABC=90°，说明OF是EG的垂直平分线，所以EF=FG.
(2)三条直线的数量关系是：。先证△OAE≌△OCG，则，AE=CG由折叠可知∠EOF=∠ABC=90°，说明OF是EG的垂直平分线，所以EF=FG.
在Rt△FCG中根据勾股定理可知，也就是。
(3)设长方形的长BC为a，宽AB为b，分两种情况：
①当，分别用含有a、b的式子表示出三角形AOE的面积和四边形（梯形）BCGE的面积，然后写出比的形式化简即可。
②当，分别用含有a、b的式子表示出三角形AOE的面积和四边形（梯形）BCGE的面积，然后写出比的形式化简即可。
1 / 1广东省惠州市惠城区培英学校2024-2025学年九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·惠城开学考）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.∵c2＝a2﹣b2，
∴b2+c2＝a2，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵
设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C.∵52+122＝132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
2．（2024九上·惠城开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故运算错误，不符合题意，A错误；
B.，故运算错误，不符合题意，B错误；
C.，故运算错误，不符合题意，C错误；
D.，运算正确，符合题意，D正确．
故选：D．
【分析】本题考查二次根式的运算．与不是同类二次根式，不能进行合并，计算，据此可判断A选项；进行合并类项可得，据此可判断B选项；利用有理数的运算可得，据此可判断C选项；利用根式的运算性质：进行计算可得：，据此可判断D选项.
3．（2024九上·惠城开学考）下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，①正确；
②当时不是一元二次方程，②错误；
③去括号化简后可得：，不是一元二次方程，③错误；
④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程，④错误；
⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，⑤正确；
故选：B．
【分析】本题考查一元二次方程的定义.一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.①只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，据此可判断说法①；当时， 未知数最高次数不是2次，据此可判断说法②；③去括号化简后可得： ，未知数最高次数不是2次，据此可判断说法③；④方程为分式方程，据此可判断说法④；⑤只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，据此可判断说法⑤.
4．（2024九上·惠城开学考）若甲、乙、丙、丁四位同学在八年级第二学期次数学测试的平均成绩恰好都是分，方差分别为，，，，则成绩最稳定的同学是( )
A．丁 B．丙 C．乙 D．甲
【答案】B
【知识点】方差
5．（2024九上·惠城开学考）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则该函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
解得
∴该函数的表达式为
故选：B．
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式.根据一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，将点A和点B代入函数解析式可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，据此可求出函数解析式.
6．（2024九上·惠城开学考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，A选项正确；
B、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，B选项正确；
C、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，C选项错误；
D、∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，D选项正确；
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理判断得到答案即可。
7．（2024九上·惠城开学考）若 =10，则x的值等于（ ）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：3 + + ＝10，
5 ＝10，
＝2，
则2x＝4，
x＝2，
故答案为：C
【分析】由二次根式的性质“、、”可将方程左边化简得：3 + + ＝10，再合并同类二次根式得，5 ＝10，把方程两边同时平方可去掉根号，然后按照一元一次方程的解题步骤计算即可求解。
8．（2024九上·惠城开学考）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米，
∴BC= =2.4（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴BE=0.4米，
∴EC=BC﹣0.4=2米，
∴DC= =1.5米．
∴梯子的底部向外滑出AD=1.5﹣0.7=0.8（米）．
故选：D．
【分析】首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．
9．（2024九上·惠城开学考）“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过元者，超过元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为元的篮球个，则小东应付货款元与篮球个数个的函数关系式是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一次函数关系式
10．（2024九上·惠城开学考）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，连接BD和BG，如下图所示：
四边形ABCD是菱形，
， ， ，
与 是等边三角形，
且点G恰好为CD边的中点，
平分AB， ，
， ， ，
， ，
在 中， ，
由勾股定理可知： ，
，
由折叠可知： ，故有 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知： ，
即 ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】过点D作DH⊥AB 于点H，连接BD和BG，由菱形性质得AB=AD=CD=BC，∠C=60°，可推出△ADB和△BCD是等边三角形，利用等边三角形的性质可推出点G恰好为CD边的中点；再求出AH的长，利用勾股定理求出DH的长，即可得到BG的长；利用折叠的性质可知AE=GE，设AE=x，可表示出BE的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x值.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·惠城开学考）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 = .
【答案】5
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】j解：由题意得： ，解得： 或 ，
当 是不满足为最简二次根式，故舍去.
故答案为：5.
【分析】将几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数完全相同，则这几个二次根式就是同类二次根式，根据定义即可列出方程，求解并检验即可得出答案.
12．（2024九上·惠城开学考）如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图
当按（1）摆放时，外面的长度h最短：h =18-=5cm，
当按（2）摆放时，外面的长度h最长：h =18-12=6cm.
故答案为：5≤h≤6.
【分析】当按（1）摆放时，处于杯子的部分的长为以5cm与12cm为直角边的直角三角形的斜边，这时放在杯子最长，则外露最短；当按（2）垂直摆放时，处于杯子部分只有12cm，则外露最长.
13．（2024九上·惠城开学考）已知一组数据：0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是 ．
【答案】4
【知识点】中位数
【解析】【解答】∵数据0，2，x，4，5的众数是4，∴x＝4，这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，2，4，4，5，则中位数为4．
【分析】根据众数为4，可得x＝4，然后把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中位数．
14．（2024九上·惠城开学考）已知，则 ．
【答案】11
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：11
【分析】先根据分式有理化得到，进而代入根据二次根式的混合运算即可求解。
15．（2024九上·惠城开学考）在平面直角坐标系中，直线向左平移个单位长度得到直线，那么直线与轴的交点坐标是 ．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线向左平移个单位长度得到直线，
∴直线向右平移2个单位长度得到直线m，
∴直线m的解析式为，
当y=0时，x=-2，
∴ 直线与轴的交点坐标是，
故答案为：
【分析】先根据一次函数的图象及其几何变换得到直线m的函数解析式，进而根据一次函数与坐标轴的交点即可求解。
16．（2024九上·惠城开学考）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【知识点】矩形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，
设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，则AQ=20-2x，BP=3x
∵四边形ABPQ是矩形
∴AQ=BP
∴3x=20-2x
∴x=4
故答案为：4
【分析】本题考查矩形的判定与性质.根据四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质可得：∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，据此可得AQ=20-2x，BP=3x，根据矩形的性质可得：AQ=BP，据此可列出方程3x=20-2x，解方程可求出x的值，进而可求出答案.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024九上·惠城开学考）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式，
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据对二次根式进行化简，进而根据二次根式的加减运算即可求解；
（2）先根据题意化简二次根式、实数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂，进而根据实数的混合运算即可求解。
18．（2024九上·惠城开学考）在一次大学生一年级新生训练射击训练中，某小组的成绩如表：
环数 6 7 8 9
人数 1 5 3 1
（1）该小组射击数据的众数是 ，中位数是 ；
（2）求该小组的平均成绩；
（3）若8环（含8环）以上为优秀射手，在1200名新生中有多少人可以评为优秀射手？
【答案】（1）7；7
（2）解：该小组的平均成绩为：×（6+7×5+8×3+9）＝7.4（环）；
（3）解：根据题意得：1200× ＝480（名），
答：在1200名新生中有480名可以评为优秀射手
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）∵射击7环数的人数有5个，人数最多，
∴该小组射击数据的众数是7；
共10人，中位数为第5和第6人的平均数，即＝7，
故答案为：7，7；
【分析】（1）根据众数和中位数的定义计算求解即可；
（2）根据平均数的定义计算求解即可；
（3）根据 8环（含8环）以上为优秀射手， 计算求解即可。
19．（2024九上·惠城开学考）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，
即 ；
四边形的面积，
，
，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理逆定理得到，最后根据四边形的面积即可求解。
20．（2024九上·惠城开学考）如图，在 中， 于 ， 于 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明： 在平行四边形 中， ，
又 ，
，
， ．
，
在 和 中，
（2）解：在 中， ， ，
．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得：AD=CB，∠DAE=∠BCF，再利用AAS即可证明；
（2）利用全等三角形的性质求解即可。
21．（2024九上·惠城开学考）如图，已知一次函数的图象经过，两点，并且交轴于点，交轴于点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：把，代入得，
，
解得．
所以一次函数解析式为；
（2）解：把代入得，
所以点坐标为，
所以的面积
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再利用的面积计算面积即可.
22．（2024九上·惠城开学考）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可得到，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。
23．（2024九上·惠城开学考）细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
，；，；
，；
（1）请用含有为正整数的等式表示上述变化规律： ， ．
（2）若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出的值．
【答案】（1）；
（2）解：当时，有：，解之得：
即：说明它是第个三角形．
（3）解：
＝+…+
＝11.25
∴的值为11.25
【知识点】三角形的面积；勾股定理；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理得：
，
，
，
…，
，
∴＝n．
Sn＝ 1 ＝
故答案为：n，
【分析】（1）根据勾股定理结合题意得到，，，进而即可得到，从而得到＝n，再根据三角形的面积即可得到代数式；
（2）根据题意将代入，解方程即可求解；
（3）根据题意得到＝+…+，进而相加化简即可求解。
24．（2024九上·惠城开学考）综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形和矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：将正方形纸片依次沿对角线、对折，把纸片展平，折痕的交点为；
操作二：在上取一点，在上取一点，沿折叠，使点落在点处，然后延长交于点，连接．
如图是经过以上两次操作后得到的图形，则线段和的数量关系是 ．
（2）迁移思考
图是把矩形纸片按照中的操作一和操作二得到的图形请判断，，三条线段之间有什么数量关系？并仅就图证明你的判断．
（3）拓展探索
图中，若点是边的三等分点，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）J解：，，三条线段之间的数量关系是：．
证明如下：
四边形为矩形，点为对角线，的交点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
由折叠的性质得：，
即：，
为的垂直平分线，
，
在中，由勾股定理得：，
即：．
（3）或
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；分类讨论
【解析】【解答】解：(1)∵ABCD是正方形，O为对角线AC和BC的交点，
∴OA=OC，∠OAE=∠OCG=45° ，∠AOE=∠COG
∴△OAE≌△OCG（ASA）
∴OE=OG
折叠可知∠EOF=∠ABC=90°
即OF⊥EG
∴OF是EG的垂直平分线。
所以EF=FG.
故答案为：EF=FG.
（3）解：设长方形的长BC为a，宽AB为b，
当，，由（2）得，三角形AOE底边AE边上的高
当，，由（2）得，三角形AOE底边AE边上的高
故答案为：.
【分析】(1)线段EF和FC的数量关系是EF=FC，先证△OAE≌△OCG，则OE=OG，由折叠可知∠EOF=∠ABC=90°，说明OF是EG的垂直平分线，所以EF=FG.
(2)三条直线的数量关系是：。先证△OAE≌△OCG，则，AE=CG由折叠可知∠EOF=∠ABC=90°，说明OF是EG的垂直平分线，所以EF=FG.
在Rt△FCG中根据勾股定理可知，也就是。
(3)设长方形的长BC为a，宽AB为b，分两种情况：
①当，分别用含有a、b的式子表示出三角形AOE的面积和四边形（梯形）BCGE的面积，然后写出比的形式化简即可。
②当，分别用含有a、b的式子表示出三角形AOE的面积和四边形（梯形）BCGE的面积，然后写出比的形式化简即可。
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