5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质 教学设计（表格式）-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

课 题 §5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（2） 主 备 人
审 核
备课日期 2024年12月9日 课 型 新授课
教学目标 1.借助正余弦函数理解周期函数的概念. 2.会求与正弦函数、余弦函数的周期性有关的问题. 3.会求与正弦函数、余弦函数有关的值域(最值).
核心素养 数学抽象：周期函数的概念的理解. 逻辑推理：函数的周期性有关的问题. 数学运算：求周期，值域(最值).
教学重点 理解正余弦函数的周期性，根据正余弦函数的值域求有关函数的最值
教学难点 对周期函数概念的理解和运用
教学策略 与方法 启发引导、合作探究、归纳总结、抽象概括
教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图
创设情境 导入新课 自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理中的单摆运动,弹簧振动和圆周运动等.数学中从正弦函数和余弦函数的定义知,角的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,需引入一个新的数学概念一一函数周期性. 教师提问，学生思考 激发兴趣引入课题
探究新知 形成概念 【探究一】周期函数的概念及性质 【思考1】正弦函数具有怎样的“周而复始”的变化规律？ 在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点 从诱导公式中得到反映，即自变量的值增加整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等． 数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律． 【归纳总结】 1.周期函数的概念： 一般地，对于函数y=，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)=f(x)，则称y=f(x)叫作周期函数，T称为这个函数的一个周期. 2.周期函数的性质： (1)周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (2)如果周期中存在最小的正数，则称这个数为最小正周期. 3.正余弦函数的周期：2π是y=sin x，y=cos x的最小正周期，最小正周期常简称为周期. 【探究二】值域与最值 【思考2】观察正弦函数、余弦函数的图象，回答下列问题： 学生思考 教师总结 抽象概括出概念，引导学生理解记忆 让学生体会周期函数的特点
教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图
探究新知 形成概念 （1）正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1]，最大值都是1，最小值都是-1. （2）正弦函数当且仅当_________时取得最大值1，当且仅当_________时取得最小值;余弦函数当且仅当_________时取得最大值1，当且仅当________时取得最小值． 教师引导学生归纳 理解正余弦函数的值域与最值
精讲点拨 迁移应用 【例1】求下列三角函数的周期. (1)y=7sinx，x∈R；(2)y=sin 2x，x∈R；(3)y=|cosx|，x∈R. 【方法总结】求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可. 跟踪训练1　(1)函数y=1-sinx的周期为　2π　. (2)设函数是以2为最小正周期的周期函数，且当时，．求，的值． 【例2】求下列函数取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并写出最大值、最小值： (1)y=2sin2x； (2)y=3-2cosx；(3)y=3sin(2x-)-5 【例3】求函数在上的值域. 【例4】求函数y=cos2x-4cos x+5，x∈R的值域. 【方法总结】三角函数值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y=asinx(或y=acosx)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论. (2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围，最后求得值域(最值). (3)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)型，可利用换元思想，设t=sinx，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定. 跟踪训练2　求函数f(x)=2sin2 x+2sin x-，x∈的值域. 教师讲解归纳方法 学生完成教师点评 教师分析讲解，归纳方法 会求简单函数的周期 会求与正余弦函数有的函数值域
达标检测 评价反馈 1.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为(　C　) A.ymax=3，x= B.ymax=1，x=+2kπ(k∈Z) C.ymax=3，x=-+2kπ(k∈Z) D.ymax=3，x=+2kπ(k∈Z) 学生独立完成，教师点 检测学习效果
教学过程 教 学 内 容 师生活动 设计意图
达标检测 评价反馈 2.y=2sin的值域是　[-2，2]　. 3.y=2sin,的值域是
归纳总结 拓展升华 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数的周期性. (2)正弦函数、余弦函数的值域(最值). 2.方法归纳：整体思想、换元思想，数形结合. 3.常见误区：求值域时忽视sin x，cos x本身具有的范围. 师生共同归纳总结本节所学知识和方法。 形成知识体系。
作业设计 课本第183页练习1，第186页习题5.3第3题.
板书设计 §5.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质（2）1.周期性： （1）周期函数的概念： （2）周期函数的性质 （3）正余弦函数的周期 2.值域与最值 例1 …… 例2 …… 例3 ……
教后反思
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