第六章 计数原理 单元检测（含答案）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 第六章 计数原理 单元检测（含答案）-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 325.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-28 15:45:37 | ||
图片预览
文档简介
人教版选择性必修第三册计数原理单元检测
一、单选题
1．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．9种 B．10种 C．19种 D．90种
2．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（ ）
A．36种 B．60种
C．75种 D．85种
3．某单位参加年月日在四角井历史文化街区举办的晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A． B． C． D．
4．的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．120 D．60
5．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
6．近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则存在，，使得的取法种数为（ ）
A．195 B．154 C．175 D．185
8．当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中， 的系数为，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
9．甲、乙、丙、丁、戊5名大学生参加2024年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为240
C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种
D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
11．若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答）
13．二项式的展开式中所有项的系数之和为 .
14．有6个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，那么钥匙的放法有 种．
四、解答题
15．现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中．
(1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？
(2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？
16．有四个数字，
(1)可以组成多少个四位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可）
17．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法．
(1)男队员2名，女队员2名；
(2)至少有1名男队员．
18．已知.
(1)求
(2)求
(3)
19．设，的二项展开式为，其中、、…、均为常数.
(1)若，求的值；
(2)若对一切均成立，求的取值范围.
20．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，.
(1)求.
(2)证明：数列是等比数列.
(3)求的个位数.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C B C B ABD ACD
题号 11
答案 BC
12．420
13．
14．120
15．（1）第1个窗格，从五类书中任选一类，有5种选法，
同理，第2，3，4个窗格也分别有5种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有种放法．
（2）先放甲、乙，有4种放法；
再放丙，有3种放法；
然后放丁，有2种放法；
最后放戊，剩1种放法．
由分步乘法计数原理可得，共计种放法．
16．（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理，
共有个；
（2）当个位是0时，共有个无重复数字的四位偶数；
当个位是2时，千位是1或3，共有个无重复数字的四位偶数，
因此，共有个；
（3）当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个；
当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，
当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，
所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，
则第10个四位数是2130．
17．（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）.
（2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）.
18．（1）在中，取得，取得①，所以.
（2）取得②，①+②得，所以.
（3）令
则，
取，得.
19．（1）在的二项展开式中，，系数，
，系数，则，解得；
（2）对于，1，2，…，20，系数，，
这样，随着的递增而减小，
据已知，是的最大项，那么对所有，2，3，4成立，这4项中最小的是，解得
同时对所有，6，7，…，19成立，这些项中最大的是，解得，
所以.
20．（1）将代入，
得.
（2）由题可得为正整数，则，
所以数列为递增数列，
当时，.
当时，，即，
所以，即.
由.
结合，均为正整数，可得，其中，
而，故，其中.
所以，由，得，
所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）可得，，
，
因为为10的倍数，
所以，故的个位数为4.
一、单选题
1．书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（ ）
A．9种 B．10种 C．19种 D．90种
2．某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（ ）
A．36种 B．60种
C．75种 D．85种
3．某单位参加年月日在四角井历史文化街区举办的晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A． B． C． D．
4．的展开式中，常数项为（ ）
A． B． C．120 D．60
5．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
6．近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则存在，，使得的取法种数为（ ）
A．195 B．154 C．175 D．185
8．当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：
若在的展开式中， 的系数为，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
9．甲、乙、丙、丁、戊5名大学生参加2024年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为240
C．如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则
B．已知，则
C．4个人排成一排，则甲不站首尾的排法有12种
D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法
11．若，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成 个无重复数字的四位偶数．（用数字作答）
13．二项式的展开式中所有项的系数之和为 .
14．有6个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余5个匣子，那么钥匙的放法有 种．
四、解答题
15．现有甲、乙、丙、丁、戊五类不同的书，放入四个窗格的书架中．
(1)每个窗格从五类书中选一类放入（书的本数不限），共有多少种放法？
(2)若甲、乙两类书必须放在同一窗格，丙、丁、戊分别放到剩余三个窗格内，共有多少种放法？
16．有四个数字，
(1)可以组成多少个四位数？
(2)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可）
17．霹雳舞是一种动感和节奏感非常强烈、动作非常炫酷的舞蹈，年青人对这种舞蹈如痴如醉．2024年巴黎奥运会（第33届夏季奥林匹克运动会）首次把霹雳舞列入比赛项目，中国小将刘清漪勇获女子铜牌，藉此之际，某中学组建了霹雳舞队，计划从3名男队员，5名女队员中选派4名队员外出参加培训，求下列情形下有几种选派方法．
(1)男队员2名，女队员2名；
(2)至少有1名男队员．
18．已知.
(1)求
(2)求
(3)
19．设，的二项展开式为，其中、、…、均为常数.
(1)若，求的值；
(2)若对一切均成立，求的取值范围.
20．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，以他的名字命名的函数称为高斯函数，函数，其中表示不超过的最大整数.例如：，，.已知数列满足，.
(1)求.
(2)证明：数列是等比数列.
(3)求的个位数.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C B C B ABD ACD
题号 11
答案 BC
12．420
13．
14．120
15．（1）第1个窗格，从五类书中任选一类，有5种选法，
同理，第2，3，4个窗格也分别有5种选法，
由分步乘法计数原理可得，共有种放法．
（2）先放甲、乙，有4种放法；
再放丙，有3种放法；
然后放丁，有2种放法；
最后放戊，剩1种放法．
由分步乘法计数原理可得，共计种放法．
16．（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理，
共有个；
（2）当个位是0时，共有个无重复数字的四位偶数；
当个位是2时，千位是1或3，共有个无重复数字的四位偶数，
因此，共有个；
（3）当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个；
当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，
当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，
所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，
则第10个四位数是2130．
17．（1）从3名男队员，5名女队员中分别选出男女队员各2名，不同选法数为（种）.
（2）从8名队员中任选4名队员有种，其中没有男队员的选法数是种，所以至少有1名男队员的不同选法数是（种）.
18．（1）在中，取得，取得①，所以.
（2）取得②，①+②得，所以.
（3）令
则，
取，得.
19．（1）在的二项展开式中，，系数，
，系数，则，解得；
（2）对于，1，2，…，20，系数，，
这样，随着的递增而减小，
据已知，是的最大项，那么对所有，2，3，4成立，这4项中最小的是，解得
同时对所有，6，7，…，19成立，这些项中最大的是，解得，
所以.
20．（1）将代入，
得.
（2）由题可得为正整数，则，
所以数列为递增数列，
当时，.
当时，，即，
所以，即.
由.
结合，均为正整数，可得，其中，
而，故，其中.
所以，由，得，
所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）可得，，
，
因为为10的倍数，
所以，故的个位数为4.