函数单调性、奇偶性、对称性 期末复习讲义（无答案）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

宁波高一数学★★函数单调性、奇偶性、对称性讲义★★
函数的单调性
1.增减函数的定义：设函数定义域为I，如果对于定义域内的区间D上的任意两个自变量，
增函数：当时，都有，就说函数在区间D上是增函数
减函数：当时，都有，就说函数在区间D上是减函数
注意：（1）对选取要有任意性
（2）函数单调性是针对单调区间来说的
（3）单调性是严格的大于或小于，不可以
（4）对于区间端点开闭区间都可以，对于无意义点必须是开区间
（5）单调区间不能取并集，可以写和或者，
（6）①自变量的大小关系，②函数值的大小关系，③单调性，任意“给二推一”
2.单调性的五种等价形式
（1）若,都有，则为增函数；
若都有，则为减函数；
（2）若都有，则为增函数；
若都有，则为减函数；
（3）若都有，则为增函数；
若都有，则为减函数；
（4）若为奇函数，，都有，则为增函数；
若为奇函数，，都有，则为减函数；
（5）且，则有,我们称在上是单调的.
3.判断函数单调性（单调区间）的方法：
（1） 图像法：对于熟悉的函数、一次、二次、反比例和能画出图像的函数，可利用图像判断单调性
（2）定义法： ①取值，设是该区间任意两个值，且，
②作差，即作，
③定号，确定的符号，当符号不确定需要讨论
作差时常用的变形技巧：
①因式分解：当原函数是多项式函数时,通常作差后进行因式分解.
②通分：当原函数是分式函数时,作差后往往先进行通分,然后对分子进行因式分解.
③配方：当原含数是二次函数时,作差后可以考虑配方.
④分子有理化：当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化。
（3）运算性质法
①若为常数，则与的单调性相同；
若，则与的单调性相同； 若，则与的单调性相反；
特别的： 与的单调性相反；
②增+增=增；减+减=减；-增=减；-减=增；增-减=增；减-增=减；
③若恒正或恒负时，与单调性相反；
④若恒成立，则，与单调性相同；
4.分段函数的单调性: 已知分段函数，定义域为R
若果函数为增函数，则有，
若果函数为减函数，则有
5.含参的恒成立问题/存在性问题:转化为最值问题
题型1：求参数范围：
①分离参数：把参数分离到不等号一侧（容易分离，且符号不变）
②分类讨论：不能分离，直接对原函数讨论最值
题型2：双变量问题
值域有交集
6.复合函数的单调性
形如，令，则有，为外层函数，为内层函数.
（1）求复合函数值域的步骤
①复合函数的定义域即为内层函数的定义域；
②由内层函数的定义域求出内层函数的值域；
③内层函数的值域即为外层函数的定义域；
④由外层函数的定义域求出外层函数的值域；
⑤外层函数的值域即为复合函数的值域.
（2）复合函数的单调性的判断方法
同增异减：内外两层函数单调性相同，复合函数单调递增内外两层函数单调性相反，复合函数单调递减.
二、函数的奇偶性
1.函数奇偶性的概念
偶函数：函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．
奇函数：函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．
2.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法： (2)图象法：
1.函数奇偶性常用结论：
3.奇偶函数的性质
①（定义域关于原点对称）
②
③
④
⑤
⑥
4.奇偶函数的常见模型
（1）奇函数模型
函数模型 具体举例
（1）特殊复合型
（2）分数指数型
（3）对数分数型
（4）对数根式型
（5）双绝对值型
（2）偶函数模型
函数模型 具体举例
（1）特殊复合型
（2）特殊二次函数型
（3）对数二倍型
（4）双绝对值型
三、函数的对称性
（一）函数图象本身的对称性（自身对称）
1.轴对称：
①=函数图象关于轴对称；
②函数图象关于对称
；
③ 的图象关于直线对称。
2.中心对称：
①=－函数图象关于原点对称；
②函数图象关于对称
；
③函数图象关于成中心对称
④的图象关于点对称。
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）
1.若函数定义域为，则两函数与的图象关于直线 对称。
推论1：函数与函数的图象关于直线对称；
推论2：函数与函数的图象关于直线对称；
推论3：函数与图象关于直线对称。
2.若定义域为，则两函数与的图象关于点对称。
推论：函数与函数图象关于点对称。
3.特殊地：
①函数与图象关于轴对称。
②函数与图象关于轴对称。
③函数与图象关于原点对称
④函数的图象与其反函数的图象关于直线对称。
⑤简单分式函数, 由变量分离法得对称中心.
高考真题训练：
1．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）已知的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．