河南省漯河市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省漯河市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 648.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-28 15:49:47 | ||
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文档简介
漯河市高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题.
1.已知集合和集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6.设函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，实数m，n满足不等式，则下列不等关系成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，且，有下列不等式：①；②；③；，其中成立的不等式的个数有（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题
9.下列式子不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.是奇函数 B.是奇函数
C.是偶函数 D.是偶函数
11.下列说法不正确的是（ ）
A.命题“，都有”的否定是“，使得”
B.集合，，若，则实数的取值集合为
C.“”是“”的充分不必要条件
D.若存在使不等式成立，则实数的取值范围
三、填空题
12.已知关于的不等式的解集为，则_________.
13.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则_________.
14.已知函数的图像在上连续不断，定义：若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“函数”，若函数是上的“2函数”，则实数m的取值范围是_________.
四、解答题
15.（13分）
（1）计算.
（2）计算.
（3）化简：.
（4）已知，求的值.
16.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求实数a的值；
（2）求函数在上的解析式；
（3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.
17，（15分）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量x（单位：个）满足函数：
（1）将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入=总成本+利润）
（2）当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？
（3）当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？
18.（17分）已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值，并证明在上单调递增；
（2）已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.
19.（17分）定义在上的函数满足：对任意，都有，则称函数是上的凹函数.已知二次函数（，）.
（1）求证：函数是凹函数；
（2）求在上的最小值，并求出的值域.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C D A D C C AB BD ABD
1.B【详解】，，.
2.A【详解】函数的对称轴为，由函数在上单调递增可得，即，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A
3.C【分析】首先将转化为或，根据函数单调性解和，进而可以求出结果.
【详解】因为，所以或，
因为在上单调递增，且，所以，
因为在上为奇函数，所以在上单调递增，且，
因此，
综上：不等式的解集为.故选：C.
4.D【详解】因为（且），所以令，则，，所以过定点.故选：D.
5.A【分析】根据已知判断得出函数的奇偶性，结合时，函数值的正负，即可得出答案.
【详解】由已知的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，故C、D错误；
当时，，所以，故B错误.故选：A.
6.D【解析】由条件利用函数的单调性的性质可得，解不等式组即可求解.
【详解】由函数是上的单调递增函数，可得，解得.故实数的取值范围为.故选：D
7.C【解析】有关函数值的不等式，要得出自变量大小关系，考虑利用函数的性质转化，所以先判断函数的奇偶性，将函数化为，得出函数的单调性，即可求出结论.
【详解】的定义域为，
，为奇函数，，
，在上为增函数，且大于0，在上为减函数，
在上为增函数，
化为，等价于，.故选：C.
8.C【分析】对于①，根据，结合即可判断；
对于②，根据，，且，可得，即可判断；
对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；
对于④，可利用基本不等式求的最值，从而得出结果.
【详解】①因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，①正确：②因为，，，所以，所以，②正确；③，当且仅当时等号成立，所以③错误；④，所以，当且仅当时等号成立，④正确；所以有3个不等式成立.
9.AB
10.BD【详解】对于A：令，则，所以A中的函数是偶的数，所以A错误；
对于B：令，则，所以B中的函数为奇函数，故B正确：
对于C：令，则，故C错误；
对于D：令，则，故D正确.故选：BD
11.ABD【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式的值域问题对选项逐一判断.
A选项：命题“，都有”的否定“，使得”，故A错误；
B选项：当时，满足题意，故B错误；
C选项：当时，可推出，但当时，无法推出，故“”是“”的充分不必要条件，C正确；
D选项：令，二次函数开口向上，对称轴为，又因为，所以时，，则，故D错误；故答案：ABD.
12.16【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答.
【详解】因关于的不等式的解集为，则是方程的二根，则有，解得，，所以.故答案为：16.
13.3【解析】由幂函数为偶函数，且在上是单调递减函数，可得，且为偶数，，且.解出即可，
【详解】幂函数为偶函数，且在上是减函数，
，且为偶数，，且.解得，，
且，只有时满足为偶数.，故答案为：3.
14.【分析】根据函数在上恒成立，分离得在上恒成立，求出的最值，即可得解.
【详解】由题可得函数在上恒成立即在上恒成立，，故答案为
15.（1）（2）5；（3）（4）
【详解】（1）
（4）因为，两边同时平方可得：，
再将两边同时平方可得：，
所以.
16.（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由题利用即可求解；
（2）当，则，根据函数为奇函数及当时，，可得函数在时的解析式，进而得到函数在上的解析式；
（3）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合指数函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数t的取值范围.
【详解】解：（1）函数是定义在上的奇函数，，解得
（2）由（1）
当，又是奇函数，，
，
（3）由及函数是定义在上的奇函数
得，由的图像知为上的增函数，
，，.
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键.
17.（1）
（2）当月产量为300个时利润最大，最大利润为25000元
（3）当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得.
（2）由二次函数和一次函数的性质，分段求出的最值，即可求出答案.
（3）设零件的单位利润为，得到的解析式，再结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
故.
（2）当时，；故当时，；
当时，是减函数，故.
所以当月产量为300个时，自行车厂的利湤最大，最大利淘为25000元.
（3）设零件的单位利润为，
则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
18.（1），证明见解析
（2）
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）略
【详解】略
19.（1）证明见解析
（2），值域为
【分析】（1）代入求出，的表达式，作差化简，即可得出证明；
（2）先求出二次函数的对称轴为，根据对称轴与的关系，得出在各段上的表达式，根据函数的性质即可得出函数的值域.
【详解】（1），有，
，
则
因为，所以，
所以，.
根据凹函数的定义可知，函数是凹函数.
（2）因为，所以二次函数的对称轴.
当，即时，
根据二次函数的性质可知，在上单调递增.
所以，，且；
当，即时，
根据二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
且根据反比例函数的性质可知，在上单调递增，
所以，.
又，所以.
综上所述，，的值域为.
一、单选题.
1.已知集合和集合，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6.设函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，实数m，n满足不等式，则下列不等关系成立的是（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，且，有下列不等式：①；②；③；，其中成立的不等式的个数有（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、多选题
9.下列式子不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.是奇函数 B.是奇函数
C.是偶函数 D.是偶函数
11.下列说法不正确的是（ ）
A.命题“，都有”的否定是“，使得”
B.集合，，若，则实数的取值集合为
C.“”是“”的充分不必要条件
D.若存在使不等式成立，则实数的取值范围
三、填空题
12.已知关于的不等式的解集为，则_________.
13.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则_________.
14.已知函数的图像在上连续不断，定义：若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“函数”，若函数是上的“2函数”，则实数m的取值范围是_________.
四、解答题
15.（13分）
（1）计算.
（2）计算.
（3）化简：.
（4）已知，求的值.
16.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求实数a的值；
（2）求函数在上的解析式；
（3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围.
17，（15分）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q（单位：元）关于产量x（单位：个）满足函数：
（1）将利润P（单位：元）表示为产量x的函数；（总收入=总成本+利润）
（2）当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？
（3）当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？
18.（17分）已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值，并证明在上单调递增；
（2）已知且，若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.
19.（17分）定义在上的函数满足：对任意，都有，则称函数是上的凹函数.已知二次函数（，）.
（1）求证：函数是凹函数；
（2）求在上的最小值，并求出的值域.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C D A D C C AB BD ABD
1.B【详解】，，.
2.A【详解】函数的对称轴为，由函数在上单调递增可得，即，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A
3.C【分析】首先将转化为或，根据函数单调性解和，进而可以求出结果.
【详解】因为，所以或，
因为在上单调递增，且，所以，
因为在上为奇函数，所以在上单调递增，且，
因此，
综上：不等式的解集为.故选：C.
4.D【详解】因为（且），所以令，则，，所以过定点.故选：D.
5.A【分析】根据已知判断得出函数的奇偶性，结合时，函数值的正负，即可得出答案.
【详解】由已知的定义域为，关于原点对称，
且，所以是偶函数，故C、D错误；
当时，，所以，故B错误.故选：A.
6.D【解析】由条件利用函数的单调性的性质可得，解不等式组即可求解.
【详解】由函数是上的单调递增函数，可得，解得.故实数的取值范围为.故选：D
7.C【解析】有关函数值的不等式，要得出自变量大小关系，考虑利用函数的性质转化，所以先判断函数的奇偶性，将函数化为，得出函数的单调性，即可求出结论.
【详解】的定义域为，
，为奇函数，，
，在上为增函数，且大于0，在上为减函数，
在上为增函数，
化为，等价于，.故选：C.
8.C【分析】对于①，根据，结合即可判断；
对于②，根据，，且，可得，即可判断；
对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；
对于④，可利用基本不等式求的最值，从而得出结果.
【详解】①因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，①正确：②因为，，，所以，所以，②正确；③，当且仅当时等号成立，所以③错误；④，所以，当且仅当时等号成立，④正确；所以有3个不等式成立.
9.AB
10.BD【详解】对于A：令，则，所以A中的函数是偶的数，所以A错误；
对于B：令，则，所以B中的函数为奇函数，故B正确：
对于C：令，则，故C错误；
对于D：令，则，故D正确.故选：BD
11.ABD【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式的值域问题对选项逐一判断.
A选项：命题“，都有”的否定“，使得”，故A错误；
B选项：当时，满足题意，故B错误；
C选项：当时，可推出，但当时，无法推出，故“”是“”的充分不必要条件，C正确；
D选项：令，二次函数开口向上，对称轴为，又因为，所以时，，则，故D错误；故答案：ABD.
12.16【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答.
【详解】因关于的不等式的解集为，则是方程的二根，则有，解得，，所以.故答案为：16.
13.3【解析】由幂函数为偶函数，且在上是单调递减函数，可得，且为偶数，，且.解出即可，
【详解】幂函数为偶函数，且在上是减函数，
，且为偶数，，且.解得，，
且，只有时满足为偶数.，故答案为：3.
14.【分析】根据函数在上恒成立，分离得在上恒成立，求出的最值，即可得解.
【详解】由题可得函数在上恒成立即在上恒成立，，故答案为
15.（1）（2）5；（3）（4）
【详解】（1）
（4）因为，两边同时平方可得：，
再将两边同时平方可得：，
所以.
16.（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由题利用即可求解；
（2）当，则，根据函数为奇函数及当时，，可得函数在时的解析式，进而得到函数在上的解析式；
（3）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合指数函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数t的取值范围.
【详解】解：（1）函数是定义在上的奇函数，，解得
（2）由（1）
当，又是奇函数，，
，
（3）由及函数是定义在上的奇函数
得，由的图像知为上的增函数，
，，.
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键.
17.（1）
（2）当月产量为300个时利润最大，最大利润为25000元
（3）当产量为20个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，即可直接求得.
（2）由二次函数和一次函数的性质，分段求出的最值，即可求出答案.
（3）设零件的单位利润为，得到的解析式，再结合基本不等式的公式，即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
故.
（2）当时，；故当时，；
当时，是减函数，故.
所以当月产量为300个时，自行车厂的利湤最大，最大利淘为25000元.
（3）设零件的单位利润为，
则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
18.（1），证明见解析
（2）
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）略
【详解】略
19.（1）证明见解析
（2），值域为
【分析】（1）代入求出，的表达式，作差化简，即可得出证明；
（2）先求出二次函数的对称轴为，根据对称轴与的关系，得出在各段上的表达式，根据函数的性质即可得出函数的值域.
【详解】（1），有，
，
则
因为，所以，
所以，.
根据凹函数的定义可知，函数是凹函数.
（2）因为，所以二次函数的对称轴.
当，即时，
根据二次函数的性质可知，在上单调递增.
所以，，且；
当，即时，
根据二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
且根据反比例函数的性质可知，在上单调递增，
所以，.
又，所以.
综上所述，，的值域为.