【培优版】北师大版数学八年级上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数字 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2022七下·重庆期中）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设原两位数的个位为x，十位为y， 则这个两位数为10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y则
整理得：
为正整数，且
或 或 或
所以这个两位数为：49，38，27，16.
故答案为：C.
【分析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据两位数=十位上的数字×10+个位上的数字可将原两位数和新两位数表示出来，再根据相等关系“ 新两位数- 原两位数=45”可得关于x、y的方程，由x、y为正整数可求得x、y的四组值，则题意可求解.
2．（2023七下·瑞安期中）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得
，变形得.
故答案为：D
【分析】此题的等量关系为：十位上的数字x=个位上的数字y+1；对调个位与十位上的数字：新数=原数-9，列方程组即可.
3．（初中数学浙教版七下精彩练习2.4一元一次方程组的应用（1））一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好为数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设个位数字为x，十位数字为y，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】 解：设个位数字为x，十位数字为y，
则 .
故答案为：B.
【分析】根据“十位数字与个位数字的和是8"可得方程x+y=7，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数表示为：x+10y， 对调后组成的两位数是10x+y；根据“这个两位数加上18，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”再得方程x+10y+18=10x+y，然后联立两个方程求解即可.
4．（2021七下·垦利期末）一个两位数，个位与十位的数字之和是11；如果原数加45，等于此两位数的数字位置对调后得到的新的两位数，那么原数是多少？若设原数十位数字为x，个位数字为y，则列出的方程组应为（ ）
A． B．
C． D．以上均不对
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设原数十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得 ；
故答案为：C．
【分析】设原数十位数字为x，个位数字为y，即可根据题意列出方程组。
5．（2020八上·宁波开学考）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了2023根火柴，并且正三角形的个数比正六边形的个数多 个，那么能连续搭建的正三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的个数为y个，
由题意得：，
解得：.
故答案为：D.
【分析】设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的个数为y个，看图可知，连续搭建正三角形所用的火柴为2x+1个，连续搭建正六边形所用的火柴为5y+1个，然后根据“正三角形的个数比正六边形的个数多 个和搭建的正三角形和正六边形共用了2023根火柴”，分别列方程，联立求解即可。
6．（2020七下·仁寿期中）一个两位数，个位数比十位数大2，若把各位数字和十位数字对调，则所得的新的两位数比原数的两倍少17．若设原数的个位数为x，十位数字为y，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设原数的个位数字为x，十位数字为y，由两位数的特点表示出原两位数10y+x和新得到的两位数10x+y，
由它的个位数字x比十位数字的数字y大2，
可知x-y=2即x=y+2，
把该两位数的个位上的数字与十位上的数字互换，得到的新数比原数的2倍少17，
可得2（10y+x）-（10x+y）=17，即2（10y+x）-17=10x+y，
将上面的方程联立为 ，
故答案为：C．
【分析】由两位数的特点，可表示原两位数为10y+x，变化后的两位数为10x+y，进而寻找题目信息中的等量关系，列出方程即可．
7．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】关键描述语是：十位上的数字x比个位上的数字y大1；新数比原数小9．
等量关系为：①十位上的数字=个位上的数字+1；②原数=新数+9．
【解答】根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，得方程x=y+1；
根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程10x+y=10y+x+9．
列方程组为
选D
8．（2021八上·扶风期末）爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下
时刻 9：00 9：45 12：00
碑上的数 是一个两位数，数字之和是9 十位与个位数字与9：00时所看到的正好相反 比9：00时看到的两位数中间多了个0
9：00时看到的两位数是（ ）
A．54 B．45 C．36 D．27
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y；
则9：45时看到的两位数为x＋10y，9：00～9：45时行驶的里程数为：（10y＋x） （10x＋y）；
则12：00时看到的数为100x＋y，9：45～12：00时行驶的里程数为：（100x＋y） （10y＋x）；
由题意列方程组得：
，
解得：
所以9：00时看到的两位数是27.
故答案为：D.
【分析】设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y；则9：45时看到的两位数为x＋10y；9：00～9：45时行驶的里程数为：(10y＋x) (10x＋y)；12：00时看到的数为100x＋y；9：45～12：00时行驶的里程数为：(100x＋y) (10y＋x)；根据两位数数字之和为9及车的速度不变列出y与x的方程组，求解即可.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2023八上·江津期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，，是“共和数”又如：四位数，，不是“共和数”，若一个“共和数”为，则的值为 ；若一个“共和数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被7整除，则满足条件的的最大值与取小值的差是 ．
【答案】；
【知识点】定义新运算；二元一次方程组的应用-数字问题；数的整除性
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
由题意可得，
，
整理， 可得，
一个“共和数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的差，再减去为：
，
又∵能被7整除，
是整数， 且， ，，
时，原四位数可得最小值，此时只能取，这是四位数为，
当时， ， 此时四位数为，
当时， ， 此时四位数为，
当时， ， 此时四位数为，
当时， ， 此时四位数为(舍去)，
当时， ， 此时四位数为，
取或或时，均不符合题意，
∴满足条件的的最大值与取小值的差是：，
故答案为：；.
【分析】根据递减数的定义列方程求的值，根据递减数的定义先求得， 然后根据题意列出的数能被整除的数的特征分析满足条件的最大值与最小值，求差即可.
10．（2019八上·重庆期中）某餐厅以 、 两种食材，利用不同的搭配方式推出了两款健康餐，其中，甲产品每份含200克 、200克 ；乙产品每份含200克 、100克 .甲、乙两种产品每份的成本价分别为 、 两种食材的成本价之和，若甲产品每份成本价为16元.店家在核算成本的时候把 、 两种食材单价看反了，实际成本比核算时的成本多688元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么餐厅每天实际成本最多为 元.
【答案】824
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：∵甲产品每份含200克 、200克 ，甲产品每份成本价为16元
∴100克A原料和100克B原料的成本为8元
设100克A原料的成本为m元，则100克B种原料的成本为 元，生产甲产品x份，乙产品y份，根据题意可得出：
整理得出：
∴餐厅每天实际成本
∵
∴
∴餐厅每天实际成本的最大值为： （元）.
故答案为：824.
【分析】先求出100克A原料和100克B原料的成本和，再设100克A原料的成本为m元，则100克B种原料的成本为 元，生产甲产品x份，乙产品y份，根据题意列方程求出
11．（2023八上·泗县月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是其中y的值被墨汁盖住了，则b的值是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：把代入得，
解得，
把，代入得，
解得，
故答案为：
【分析】先将x的值代入求出y，进而即可求出b.
12．（2023八上·丰泽期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除，则满足条件的“交替数”的最大值为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；二元一次方程组的应用-数字问题
13．（2023八上·沙坪坝开学考）定义：对于任意一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“不偏不倚数”；将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数，令；将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到个新数，令．若被143除余121，且的千位数字大于百位数字，则满足条件的的最大值为 ．
【答案】9900
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2019七下·武汉月考） 某酒店客房有三人间、双人间客房，收费数据如表所示：
普通（元／间／天） 豪华（元／间／天）
三人间 150 300
双人间 140 400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房多少间？
【答案】解：设三人普通房和双人普通房各住了x、y间．
根据题意，得：
化简，得：
解之，得：
答：三人间普通客房、双人间普通客房各住了8、13间
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题最后的问题是旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间，跟表中的豪华间是没有关系的．那么根据人数和钱数就可以得到两个等量关系：三人普通间的人数+双人普通间的人数=50；三人普通间的钱数+双人普通间的钱数=1510．
15．（2023八上·九龙坡期中）渝高中学校训是：笃行致远，善思愈高，若一个四位自然数，且它的千位数字和十位数字组成的两位数与百位数字和个位数字组成的两位数之和为85，我们称这样的数为“笃行数”，例如：，且，所以是一个“笃行数”，若一个“笃行数”的千位数字与百位数字差的5倍与个位数字、十位数字之和为15，我们则称这样的数为“笃行致远数”．例如：是一个“笃行数”，且，所以是一个“笃行致远数”．
（1）最大的“笃行数”是______，最小的“笃行数”是______．
（2）求出所有的“笃行致远数”．
【答案】（1）；；
（2），，，，．
【知识点】二元一次方程的解；一元一次不等式组的特殊解；二元一次方程组的应用-数字问题
16．（2022八上·渝中期中）阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个正整数是两个相差为的正整数的乘积，即：，其中为正整数，则称为“自信数”，为的“自信起点”，例如：，则是“自信数”，为的“自信起点”．
材料二：一个三位正整数A，去掉百位数字后得到一个新数，记这个新数与A的百位数字的平方的差为，例如：．
（1）填空：自信数的自信起点是 ； ；
（2）若和都是“自信数”，且的“自信起点”为，的“自信起点”为，当时，求的值；
（3）若是以为“自信起点”的“自信数”，（其中，，且、都是正整数），若能被整除，求的最大值．
【答案】（1）7；27；
（2）解：根据题意可知：，，
∵，
∴，整理可得：，
∵a、b为正整数，
∴，，
∵或，
∴或，
解得：或，
∴当时，，，此时；
当时，，，此时；
综上所述：或；
（3）解：根据题意可知：，，，
若想使最大，则n越大越好，m越小越好，
∵，，能被整除，
∴当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，能被整除；
∴当，时，有最大值为：．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：设自信数的自信起点是t，则，
解得：或（舍去），
故自信数的自信起点是7；
，
故答案为：7；27.
【分析】（1）设自信数的自信起点是t，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）根据题意可得，，根据题干中的定义及计算方法可得或，求出或，再将其代入可得或；
（3）先求出，，，再分析可得使最大，则n越大越好，m越小越好，再分析求解即可.
（1）解：设自信数的自信起点是t，则，解得：或（舍去），
故自信数的自信起点是7；
，
故答案为：7；27；
（2）解：由题意可知：，，
∵，
∴，整理可得：，
∵a、b为正整数，
∴，，
∵或，
∴或，
解得：或，
∴当时，，，此时；
当时，，，此时；
综上所述：或；
（3）解：由题意可知：，，，
若想使最大，则n越大越好，m越小越好，
∵，，能被整除，
∴当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，能被整除；
∴当，时，有最大值为：．
17．（2023八上·沙坪坝开学考）如果一个三位自然数M的各个数位上的数均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：，∵，∴321是“沙磁数”．
又如：，∵，∴534不是“沙磁数”．
（1）判断853，632是否是“沙磁数” 并说明理由；
（2）若M是一个“沙磁数”，将M的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数A，在M的末位之后添加数字1得到一个四位数字B，若能被11整除，求出所有满足条件的M．
【答案】（1）853是“沙磁数”，632不是“沙磁数”；
（2）满足条件的M有431，972，844，716．
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
18．（2018八上·靖远期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？
【答案】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，
根据题意得：
解得：
∴10y+x＝53．
答：原两位数是53．
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【分析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入10y＋x即可得出结论．
19．（2020八上·甘州月考）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来两位数.
【答案】解：设个位上的数字为x，十位上的数字为y，
依题意有 ，
解得 ，
答：原来两位数为56.
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字与十位上的数字之和是11，得x+y=11
把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9， ,解方程组即可.
20．（2021八上·印台期末）将一批抗疫物资运往武汉，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来.
【答案】（1）解：设每辆甲种货车可装 吨货，每辆乙种货车可装 吨货，
依题意，得： ，
解得： ，
答：每辆甲种货车可装4吨货，每辆乙种货车可装3吨货
（2）解：设租用 辆甲种货车， 辆乙种货车，
依题意，得： ，
∴ ，
∵ ， 均为正整数，且 必须是3的倍数，
∴ ， ， ，
∴有三种租车方案：租用 辆甲种货车， 辆乙种货车；租用 辆甲种货车， 辆乙种货车；租用 辆甲种货车， 辆乙种货车.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设每辆甲种货车可装 吨货，每辆乙种货车可装 吨货，根据前两次租用这两种货车的记录情况表，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用 辆甲种货车， 辆乙种货车，根据一次要运45吨货，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，结合 ， 均为正整数即可得出结论.
1 / 1【培优版】北师大版数学八年级上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数字 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2022七下·重庆期中）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大45，这样的两位数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023七下·瑞安期中）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（初中数学浙教版七下精彩练习2.4一元一次方程组的应用（1））一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好为数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设个位数字为x，十位数字为y，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·垦利期末）一个两位数，个位与十位的数字之和是11；如果原数加45，等于此两位数的数字位置对调后得到的新的两位数，那么原数是多少？若设原数十位数字为x，个位数字为y，则列出的方程组应为（ ）
A． B．
C． D．以上均不对
5．（2020八上·宁波开学考）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六边形共用了2023根火柴，并且正三角形的个数比正六边形的个数多 个，那么能连续搭建的正三角形的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020七下·仁寿期中）一个两位数，个位数比十位数大2，若把各位数字和十位数字对调，则所得的新的两位数比原数的两倍少17．若设原数的个位数为x，十位数字为y，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小9，求这个两位数所列的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021八上·扶风期末）爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下
时刻 9：00 9：45 12：00
碑上的数 是一个两位数，数字之和是9 十位与个位数字与9：00时所看到的正好相反 比9：00时看到的两位数中间多了个0
9：00时看到的两位数是（ ）
A．54 B．45 C．36 D．27
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2023八上·江津期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，，是“共和数”又如：四位数，，不是“共和数”，若一个“共和数”为，则的值为 ；若一个“共和数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被7整除，则满足条件的的最大值与取小值的差是 ．
10．（2019八上·重庆期中）某餐厅以 、 两种食材，利用不同的搭配方式推出了两款健康餐，其中，甲产品每份含200克 、200克 ；乙产品每份含200克 、100克 .甲、乙两种产品每份的成本价分别为 、 两种食材的成本价之和，若甲产品每份成本价为16元.店家在核算成本的时候把 、 两种食材单价看反了，实际成本比核算时的成本多688元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么餐厅每天实际成本最多为 元.
11．（2023八上·泗县月考）若关于x，y的二元一次方程组的解是其中y的值被墨汁盖住了，则b的值是 ．
12．（2023八上·丰泽期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除，则满足条件的“交替数”的最大值为 ．
13．（2023八上·沙坪坝开学考）定义：对于任意一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“不偏不倚数”；将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新数，令；将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到个新数，令．若被143除余121，且的千位数字大于百位数字，则满足条件的的最大值为 ．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2019七下·武汉月考） 某酒店客房有三人间、双人间客房，收费数据如表所示：
普通（元／间／天） 豪华（元／间／天）
三人间 150 300
双人间 140 400
为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房多少间？
15．（2023八上·九龙坡期中）渝高中学校训是：笃行致远，善思愈高，若一个四位自然数，且它的千位数字和十位数字组成的两位数与百位数字和个位数字组成的两位数之和为85，我们称这样的数为“笃行数”，例如：，且，所以是一个“笃行数”，若一个“笃行数”的千位数字与百位数字差的5倍与个位数字、十位数字之和为15，我们则称这样的数为“笃行致远数”．例如：是一个“笃行数”，且，所以是一个“笃行致远数”．
（1）最大的“笃行数”是______，最小的“笃行数”是______．
（2）求出所有的“笃行致远数”．
16．（2022八上·渝中期中）阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个正整数是两个相差为的正整数的乘积，即：，其中为正整数，则称为“自信数”，为的“自信起点”，例如：，则是“自信数”，为的“自信起点”．
材料二：一个三位正整数A，去掉百位数字后得到一个新数，记这个新数与A的百位数字的平方的差为，例如：．
（1）填空：自信数的自信起点是 ； ；
（2）若和都是“自信数”，且的“自信起点”为，的“自信起点”为，当时，求的值；
（3）若是以为“自信起点”的“自信数”，（其中，，且、都是正整数），若能被整除，求的最大值．
17．（2023八上·沙坪坝开学考）如果一个三位自然数M的各个数位上的数均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：，∵，∴321是“沙磁数”．
又如：，∵，∴534不是“沙磁数”．
（1）判断853，632是否是“沙磁数” 并说明理由；
（2）若M是一个“沙磁数”，将M的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数A，在M的末位之后添加数字1得到一个四位数字B，若能被11整除，求出所有满足条件的M．
18．（2018八上·靖远期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？
19．（2020八上·甘州月考）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9，求原来两位数.
20．（2021八上·印台期末）将一批抗疫物资运往武汉，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设原两位数的个位为x，十位为y， 则这个两位数为10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y则
整理得：
为正整数，且
或 或 或
所以这个两位数为：49，38，27，16.
故答案为：C.
【分析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据两位数=十位上的数字×10+个位上的数字可将原两位数和新两位数表示出来，再根据相等关系“ 新两位数- 原两位数=45”可得关于x、y的方程，由x、y为正整数可求得x、y的四组值，则题意可求解.
2．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得
，变形得.
故答案为：D
【分析】此题的等量关系为：十位上的数字x=个位上的数字y+1；对调个位与十位上的数字：新数=原数-9，列方程组即可.
3．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】 解：设个位数字为x，十位数字为y，
则 .
故答案为：B.
【分析】根据“十位数字与个位数字的和是8"可得方程x+y=7，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数表示为：x+10y， 对调后组成的两位数是10x+y；根据“这个两位数加上18，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”再得方程x+10y+18=10x+y，然后联立两个方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设原数十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得 ；
故答案为：C．
【分析】设原数十位数字为x，个位数字为y，即可根据题意列出方程组。
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的个数为y个，
由题意得：，
解得：.
故答案为：D.
【分析】设连续搭建正三角形的个数为x个，连续搭建正六边形的个数为y个，看图可知，连续搭建正三角形所用的火柴为2x+1个，连续搭建正六边形所用的火柴为5y+1个，然后根据“正三角形的个数比正六边形的个数多 个和搭建的正三角形和正六边形共用了2023根火柴”，分别列方程，联立求解即可。
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设原数的个位数字为x，十位数字为y，由两位数的特点表示出原两位数10y+x和新得到的两位数10x+y，
由它的个位数字x比十位数字的数字y大2，
可知x-y=2即x=y+2，
把该两位数的个位上的数字与十位上的数字互换，得到的新数比原数的2倍少17，
可得2（10y+x）-（10x+y）=17，即2（10y+x）-17=10x+y，
将上面的方程联立为 ，
故答案为：C．
【分析】由两位数的特点，可表示原两位数为10y+x，变化后的两位数为10x+y，进而寻找题目信息中的等量关系，列出方程即可．
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】关键描述语是：十位上的数字x比个位上的数字y大1；新数比原数小9．
等量关系为：①十位上的数字=个位上的数字+1；②原数=新数+9．
【解答】根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，得方程x=y+1；
根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程10x+y=10y+x+9．
列方程组为
选D
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y；
则9：45时看到的两位数为x＋10y，9：00～9：45时行驶的里程数为：（10y＋x） （10x＋y）；
则12：00时看到的数为100x＋y，9：45～12：00时行驶的里程数为：（100x＋y） （10y＋x）；
由题意列方程组得：
，
解得：
所以9：00时看到的两位数是27.
故答案为：D.
【分析】设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y；则9：45时看到的两位数为x＋10y；9：00～9：45时行驶的里程数为：(10y＋x) (10x＋y)；12：00时看到的数为100x＋y；9：45～12：00时行驶的里程数为：(100x＋y) (10y＋x)；根据两位数数字之和为9及车的速度不变列出y与x的方程组，求解即可.
9．【答案】；
【知识点】定义新运算；二元一次方程组的应用-数字问题；数的整除性
【解析】【解答】解：由题意可得，
解得，
由题意可得，
，
整理， 可得，
一个“共和数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的差，再减去为：
，
又∵能被7整除，
是整数， 且， ，，
时，原四位数可得最小值，此时只能取，这是四位数为，
当时， ， 此时四位数为，
当时， ， 此时四位数为，
当时， ， 此时四位数为，
当时， ， 此时四位数为(舍去)，
当时， ， 此时四位数为，
取或或时，均不符合题意，
∴满足条件的的最大值与取小值的差是：，
故答案为：；.
【分析】根据递减数的定义列方程求的值，根据递减数的定义先求得， 然后根据题意列出的数能被整除的数的特征分析满足条件的最大值与最小值，求差即可.
10．【答案】824
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：∵甲产品每份含200克 、200克 ，甲产品每份成本价为16元
∴100克A原料和100克B原料的成本为8元
设100克A原料的成本为m元，则100克B种原料的成本为 元，生产甲产品x份，乙产品y份，根据题意可得出：
整理得出：
∴餐厅每天实际成本
∵
∴
∴餐厅每天实际成本的最大值为： （元）.
故答案为：824.
【分析】先求出100克A原料和100克B原料的成本和，再设100克A原料的成本为m元，则100克B种原料的成本为 元，生产甲产品x份，乙产品y份，根据题意列方程求出
11．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：把代入得，
解得，
把，代入得，
解得，
故答案为：
【分析】先将x的值代入求出y，进而即可求出b.
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；二元一次方程组的应用-数字问题
13．【答案】9900
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
14．【答案】解：设三人普通房和双人普通房各住了x、y间．
根据题意，得：
化简，得：
解之，得：
答：三人间普通客房、双人间普通客房各住了8、13间
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】本题最后的问题是旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间，跟表中的豪华间是没有关系的．那么根据人数和钱数就可以得到两个等量关系：三人普通间的人数+双人普通间的人数=50；三人普通间的钱数+双人普通间的钱数=1510．
15．【答案】（1）；；
（2），，，，．
【知识点】二元一次方程的解；一元一次不等式组的特殊解；二元一次方程组的应用-数字问题
16．【答案】（1）7；27；
（2）解：根据题意可知：，，
∵，
∴，整理可得：，
∵a、b为正整数，
∴，，
∵或，
∴或，
解得：或，
∴当时，，，此时；
当时，，，此时；
综上所述：或；
（3）解：根据题意可知：，，，
若想使最大，则n越大越好，m越小越好，
∵，，能被整除，
∴当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，能被整除；
∴当，时，有最大值为：．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：设自信数的自信起点是t，则，
解得：或（舍去），
故自信数的自信起点是7；
，
故答案为：7；27.
【分析】（1）设自信数的自信起点是t，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）根据题意可得，，根据题干中的定义及计算方法可得或，求出或，再将其代入可得或；
（3）先求出，，，再分析可得使最大，则n越大越好，m越小越好，再分析求解即可.
（1）解：设自信数的自信起点是t，则，解得：或（舍去），
故自信数的自信起点是7；
，
故答案为：7；27；
（2）解：由题意可知：，，
∵，
∴，整理可得：，
∵a、b为正整数，
∴，，
∵或，
∴或，
解得：或，
∴当时，，，此时；
当时，，，此时；
综上所述：或；
（3）解：由题意可知：，，，
若想使最大，则n越大越好，m越小越好，
∵，，能被整除，
∴当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，不能被整除；
当，时，能被整除；
∴当，时，有最大值为：．
17．【答案】（1）853是“沙磁数”，632不是“沙磁数”；
（2）满足条件的M有431，972，844，716．
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
18．【答案】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，
根据题意得：
解得：
∴10y+x＝53．
答：原两位数是53．
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【分析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入10y＋x即可得出结论．
19．【答案】解：设个位上的数字为x，十位上的数字为y，
依题意有 ，
解得 ，
答：原来两位数为56.
【知识点】二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字与十位上的数字之和是11，得x+y=11
把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大9， ,解方程组即可.
20．【答案】（1）解：设每辆甲种货车可装 吨货，每辆乙种货车可装 吨货，
依题意，得： ，
解得： ，
答：每辆甲种货车可装4吨货，每辆乙种货车可装3吨货
（2）解：设租用 辆甲种货车， 辆乙种货车，
依题意，得： ，
∴ ，
∵ ， 均为正整数，且 必须是3的倍数，
∴ ， ， ，
∴有三种租车方案：租用 辆甲种货车， 辆乙种货车；租用 辆甲种货车， 辆乙种货车；租用 辆甲种货车， 辆乙种货车.
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设每辆甲种货车可装 吨货，每辆乙种货车可装 吨货，根据前两次租用这两种货车的记录情况表，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用 辆甲种货车， 辆乙种货车，根据一次要运45吨货，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，结合 ， 均为正整数即可得出结论.
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