【提升版】北师大版数学八年级上册7.5三角形内角和定理 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·宝安期中）中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，，能判定为直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵，，，，，不是直角三角形，∴B符合题意；
C、，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，∴C不符合题意；
D、设，则，，，是直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
2．（2024八上·江门期中）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理及反射定律即可计算出∠4的度数.
3．（2024八上·揭阳期末）如图，直线于点.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长FE交AB于点H，
∵AB∥CD， ，
∴∠GHF=，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴∠BGE=∠GEF-∠GHF=90°-32°=58°.
故答案为：B.
【分析】延长FE交AB于点H，由平行线的性质可得∠GHF=，再利用三角形外角的性质可得∠BGE=∠GEF-∠GHF，据此计算即可.
4．（2023八上·霞山开学考）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠得：∠A=∠A'=α，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA'=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，由由折叠得：∠A=∠A'=α，从而代入可得结论.
5．（2021八上·恩平期中）等腰三角形的一个底角等于 ，则它的顶角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角等于 ，
∴另外一个底角也是55°，
∴它的顶角为： ．
故答案为：C．
【分析】先求出另外一个底角也是55°，再计算求解即可。
6．（初中数学北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角的度数之比为1：2：3 B．三内角的度数之比为3：4：5
C．三边长之比为3：4：5 D．三边长的平方之比为1：2：3
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；
B、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形；
C、因为32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、因为1+2=3，所以是直角三角形．
故选B．
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
7．（2023八上·惠州期末）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，，
，
在中，
，
，
，
在中，
．
故选：A．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理．先利用等腰三角形的性质，用的先表示出．在三角形中，利用三角形的内角和定理用和的表示出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角定理，利用角的运算可求出的度数．
8．（2023八上·廉江月考）如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-40°-70°=70°，
∵ED垂直平分线段AB，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=70°-40°=30°.
故答案为：A.
【分析】由题意先根据三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，然后根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得EA=EB，由等边对等角可得∠EBA=∠A，再根据角的构成∠CBE=∠ABC-∠EBA可求解.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·东莞期中）在中，，是边上的高，，则的度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：，
∵，
∴；
②如图，当顶角为钝角三角形时：
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：或．
【分析】本题考查三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质.①当顶角为锐角三角形时：画出图形，先利用角的运算可得：，再根据， 利用等腰三角形的性质可得：，再进行计算可求出答案； ②当顶角为钝角三角形时，画出图形，利用角的运算可得：，再根据， 利用等腰三角形的性质可得：，再进行计算可求出答案．．
10．（2019八上·湛江期中）等边三角形的每个内角为 度。
【答案】60
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形的内角和等于180°，等边三角形的三个角都相等
∴等边三角形的每个内角为180°÷3=60°。
【分析】利用三角形的内角和定理和等边三角形的三个角都相等的性质求解。
11．（2024八上·东莞期中）一副三角板如图叠放在一起，则图中α的度数为 ．
【答案】75°
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠B=45°，∠DEF=60°，
∴∠BAE=∠DEF-∠B=15°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=75°，即 ，
故答案为：75°．
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠BAE=∠DEF-∠B=15°，再利用角的运算求出∠CAE=∠BAC-∠BAE=75°即可.
12．（2024八上·江门期中）一个零件的形状如图所示，按规定应等于．已知，分别是和，李伯伯量得，则这个零件是否合格？ ．（填“合格”或“不合格）
【答案】不合格
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：这个零件不合格．理由如下：
如图，延长交于点E．
∵是的一个外角，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∴．
∴这个零件不合格．
故答案为：不合格．
【分析】延长交于点E．由三角形的外角性质可以得到∠BDC等于∠A、∠B、∠C的和，先计算出∠BDC的度数，再与146°比较，若相等则合格，若不相等则不合格.
13．（2024八上·福田开学考）如图，将沿经过点的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点落在边上的处，若，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由翻折可知：
∵∠AED是△BDE的外角
∴∠C=65°
在中，
∴．
故答案为：.
【分析】先根据翻折可知：，再根据三角形外角的性质计算出，再根据三角形的内角和定理可得：，最后根据计算出
的度数即可.
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·广州开学考）如图，中，已知为的平分线，于，，，求的度数．
【答案】解：，
，
，
，
，，
，
平分，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】由直角三角形的量锐角互余求出∠ADC的度数，再利用三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”求出∠DCB的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题．
15．（2023八上·新兴期末）如图，是内一点，.
（1）若，，求的度数.
（2）若，分别为，的平分线，求的度数.
【答案】（1）解：，.
，，，
（2）解：由（1）知.
，分别平分，，
，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再由，，得出，再由三角形内角和定理，即可求解；
（2）由（1）知，，根据，分别为，的平分线的性质可得出，再由三角形内角和定理可得出答案．
16．（2024八上·深圳期末）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（问题应用）
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．
【答案】（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
∵AB∥CD，
∴∠α＝∠AFC，
∵∠AFC是△AFP的一个外角，
∴∠AFC＝∠CPA+∠β，
∴∠CPA＝∠AFC﹣∠β＝∠α﹣∠β；
②如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α；
∵AB∥CD，
∴∠β＝∠AFC，
∵∠AFC是△AFP的一个外角，
∴∠AFC＝∠CPA+∠α，
∴∠CPA＝∠AFC﹣∠α＝∠β﹣∠α；
综上所述：∠CPA＝∠α﹣∠β或者∠CPA＝∠β﹣∠α．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】本题考查平行线的性质和判定、三角形内角和定理的证明、外角的性质．
（1）过点P作PE∥AB，根据平行公理可推出：PE∥AB∥CD，利用平行线性质：两直线平行同旁内角互补，可求出∠APE＝50°，∠CPE＝60°，利用角的运算可求出∠APC．
（2）过P作PE∥AD交AC于E，根据平行公理可推出：PE∥AB∥CD，根据平行线的性质可推出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，利用角的运算可求出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，利用三角形外角的性质可求出答案；
17．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中 ，猜想得到与、的数量关系为 ；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
18．（2023八上·小榄期中）如图，在中，点为边上一点，连结并延长到点，过点作交于点，交于点．
（1）若，求证：；
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
由（1）知，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠E=∠CBD，从而结合对顶角相等，由ASA判断出△BCD≌△EFD，最后根据全等三角形对应边相等得CD=DF；
（2）由等边对等角得∠GBE=∠E=25°，由（1）知∠E=∠CBD=25°，则由角的和差可求出∠ABC的度数，最后根据三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
19．（2022八上·蓬江期中）如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F．
（1）若∠BAC=80°，∠ACB=40°，求∠AFC的度数；
（2）若∠B=80°，求∠AFC的度数；
（3）若∠B=x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数．
【答案】（1）解：∵∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC=∠BAC=40°，∠FCA=∠ACB=20°，
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°．
（2）解：∵∠B=80°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=100°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=∠BAC+∠ACB=50°，
∴∠AFC=180°-（∠BAC+∠BCA）=130°．
（3）解：∵∠B=x°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-x°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=（180°-x°），
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-（180°-x°）=90°+x°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠FAC=∠BAC=40°，∠FCA=∠ACB=20°，然后根据三角形内角和，即可求得∠AFC的度数；
（2）利用三角形内角和定理可得∠BAC+∠BCA的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出∠AFC的度数；
（3）同（2）方法解答即可.
（1）解：∵∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC=40°，∠FCA=20°，
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°．
（2）解：∵∠B=80°，
∴∠BAC+∠BCA=100°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=50°，
∴∠AFC=130°．
（3）解：∵∠B=x°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-x°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=（180°-x°），
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-（180°-x°）=90°+x°．
20．（2022八上·宝安期末）如图
（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；
（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B
（2）6
（3）解：由（1）可知：，
，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
得：
，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）结论为：，理由如下：
∵，
又∵，
∴；
故答案为：
（2）交点有点、、，
以为交点有1个，为与，
以为交点有4个，为与，与，与，与，
以为交点有1个，为与，
综上所述，“8字形”图形共有6个；
故答案为：6
（4）关系：，
由（1）可知：，，
∴，，
∵、分别是和的角平分线，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，．
【分析】（1）利用三角形的内角和及对顶角的性质可得；
（2）根据“8字形”的定义求解即可；
（3）先根据求出，再将数据代入求出即可；
（4）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后化简可得。
1 / 1【提升版】北师大版数学八年级上册7.5三角形内角和定理 同步练习
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024八上·宝安期中）中，、、的对边分别是、、，下列条件不能判定是直角三角形的（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·江门期中）如图，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即，．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·揭阳期末）如图，直线于点.若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·霞山开学考）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使点落在处的处，折痕为.如果，，，那么下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·恩平期中）等腰三角形的一个底角等于 ，则它的顶角等于（ ）
A． B． C． D．
6．（初中数学北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角的度数之比为1：2：3 B．三内角的度数之比为3：4：5
C．三边长之比为3：4：5 D．三边长的平方之比为1：2：3
7．（2023八上·惠州期末）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
8．（2023八上·廉江月考）如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024八上·东莞期中）在中，，是边上的高，，则的度数为 ．
10．（2019八上·湛江期中）等边三角形的每个内角为 度。
11．（2024八上·东莞期中）一副三角板如图叠放在一起，则图中α的度数为 ．
12．（2024八上·江门期中）一个零件的形状如图所示，按规定应等于．已知，分别是和，李伯伯量得，则这个零件是否合格？ ．（填“合格”或“不合格）
13．（2024八上·福田开学考）如图，将沿经过点的直线折叠，使边所在的直线与边所在的直线重合，点落在边上的处，若，，则 ．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2024八上·广州开学考）如图，中，已知为的平分线，于，，，求的度数．
15．（2023八上·新兴期末）如图，是内一点，.
（1）若，，求的度数.
（2）若，分别为，的平分线，求的度数.
16．（2024八上·深圳期末）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC的度数；
（问题迁移）
（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（问题应用）
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．
17．（2024八上·南山期末）【问题呈现】
如图①，已知线段，相交于点，连结，，我们把形如这样的图形称为“字型”．
（1）证明：．
（2）【问题探究】
继续探究，如图②，、分别平分、，、交于点，求与、之间的数量关系．为了研究这一问题，尝试代入、的值求的值，得到下面几组对应值：
表中 ，猜想得到与、的数量关系为 ；
（3）证明（）中猜想得到的与、的数量关系；
（单位：度）
（单位：度）
（单位：度）
18．（2023八上·小榄期中）如图，在中，点为边上一点，连结并延长到点，过点作交于点，交于点．
（1）若，求证：；
（2）若，，，求的度数．
19．（2022八上·蓬江期中）如图，在△ABC中，AE，CD分别是∠BAC， ∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F．
（1）若∠BAC=80°，∠ACB=40°，求∠AFC的度数；
（2）若∠B=80°，求∠AFC的度数；
（3）若∠B=x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数．
20．（2022八上·宝安期末）如图
（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系： ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 个；
（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，，，能判定为直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵，，，，，不是直角三角形，∴B符合题意；
C、，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，∴C不符合题意；
D、设，则，，，是直角三角形，∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理及反射定律即可计算出∠4的度数.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：延长FE交AB于点H，
∵AB∥CD， ，
∴∠GHF=，
∵GE⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴∠BGE=∠GEF-∠GHF=90°-32°=58°.
故答案为：B.
【分析】延长FE交AB于点H，由平行线的性质可得∠GHF=，再利用三角形外角的性质可得∠BGE=∠GEF-∠GHF，据此计算即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠得：∠A=∠A'=α，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA'=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，由由折叠得：∠A=∠A'=α，从而代入可得结论.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一个底角等于 ，
∴另外一个底角也是55°，
∴它的顶角为： ．
故答案为：C．
【分析】先求出另外一个底角也是55°，再计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；
B、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形；
C、因为32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、因为1+2=3，所以是直角三角形．
故选B．
【分析】根据三角形的内角和定理及勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，，
，
在中，
，
，
，
在中，
．
故选：A．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理．先利用等腰三角形的性质，用的先表示出．在三角形中，利用三角形的内角和定理用和的表示出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角定理，利用角的运算可求出的度数．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°-40°-70°=70°，
∵ED垂直平分线段AB，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=70°-40°=30°.
故答案为：A.
【分析】由题意先根据三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，然后根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得EA=EB，由等边对等角可得∠EBA=∠A，再根据角的构成∠CBE=∠ABC-∠EBA可求解.
9．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：，
∵，
∴；
②如图，当顶角为钝角三角形时：
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：或．
【分析】本题考查三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质.①当顶角为锐角三角形时：画出图形，先利用角的运算可得：，再根据， 利用等腰三角形的性质可得：，再进行计算可求出答案； ②当顶角为钝角三角形时，画出图形，利用角的运算可得：，再根据， 利用等腰三角形的性质可得：，再进行计算可求出答案．．
10．【答案】60
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵三角形的内角和等于180°，等边三角形的三个角都相等
∴等边三角形的每个内角为180°÷3=60°。
【分析】利用三角形的内角和定理和等边三角形的三个角都相等的性质求解。
11．【答案】75°
【知识点】角的运算；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠B=45°，∠DEF=60°，
∴∠BAE=∠DEF-∠B=15°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=75°，即 ，
故答案为：75°．
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠BAE=∠DEF-∠B=15°，再利用角的运算求出∠CAE=∠BAC-∠BAE=75°即可.
12．【答案】不合格
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：这个零件不合格．理由如下：
如图，延长交于点E．
∵是的一个外角，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∴．
∴这个零件不合格．
故答案为：不合格．
【分析】延长交于点E．由三角形的外角性质可以得到∠BDC等于∠A、∠B、∠C的和，先计算出∠BDC的度数，再与146°比较，若相等则合格，若不相等则不合格.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：由翻折可知：
∵∠AED是△BDE的外角
∴∠C=65°
在中，
∴．
故答案为：.
【分析】先根据翻折可知：，再根据三角形外角的性质计算出，再根据三角形的内角和定理可得：，最后根据计算出
的度数即可.
14．【答案】解：，
，
，
，
，，
，
平分，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】由直角三角形的量锐角互余求出∠ADC的度数，再利用三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”求出∠DCB的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题．
15．【答案】（1）解：，.
，，，
（2）解：由（1）知.
，分别平分，，
，
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再由，，得出，再由三角形内角和定理，即可求解；
（2）由（1）知，，根据，分别为，的平分线的性质可得出，再由三角形内角和定理可得出答案．
16．【答案】（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①如图所示，当P在BD延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
∵AB∥CD，
∴∠α＝∠AFC，
∵∠AFC是△AFP的一个外角，
∴∠AFC＝∠CPA+∠β，
∴∠CPA＝∠AFC﹣∠β＝∠α﹣∠β；
②如图所示，当P在DB延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α；
∵AB∥CD，
∴∠β＝∠AFC，
∵∠AFC是△AFP的一个外角，
∴∠AFC＝∠CPA+∠α，
∴∠CPA＝∠AFC﹣∠α＝∠β﹣∠α；
综上所述：∠CPA＝∠α﹣∠β或者∠CPA＝∠β﹣∠α．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】本题考查平行线的性质和判定、三角形内角和定理的证明、外角的性质．
（1）过点P作PE∥AB，根据平行公理可推出：PE∥AB∥CD，利用平行线性质：两直线平行同旁内角互补，可求出∠APE＝50°，∠CPE＝60°，利用角的运算可求出∠APC．
（2）过P作PE∥AD交AC于E，根据平行公理可推出：PE∥AB∥CD，根据平行线的性质可推出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，利用角的运算可求出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，利用三角形外角的性质可求出答案；
17．【答案】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，
∴；
（2）；
（3）证明：∵、分别平分、，
∴，
由（）得，①，②，
由，得：，
∴，
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（）解：由表格可得，
当时，有，
当时，有，
∴，
解得，
由此猜想，
故答案为：，；
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等，即可证明；
（2）根据表格中的数据可得，猜想得，即可得解；
（3）根据角平分线的定义得到，，再根据“字型”得到，，两等式相减得到，即可得解．
18．【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
由（1）知，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠E=∠CBD，从而结合对顶角相等，由ASA判断出△BCD≌△EFD，最后根据全等三角形对应边相等得CD=DF；
（2）由等边对等角得∠GBE=∠E=25°，由（1）知∠E=∠CBD=25°，则由角的和差可求出∠ABC的度数，最后根据三角形的内角和定理可算出∠A的度数.
19．【答案】（1）解：∵∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC=∠BAC=40°，∠FCA=∠ACB=20°，
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°．
（2）解：∵∠B=80°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=100°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=∠BAC+∠ACB=50°，
∴∠AFC=180°-（∠BAC+∠BCA）=130°．
（3）解：∵∠B=x°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-x°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=（180°-x°），
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-（180°-x°）=90°+x°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠FAC=∠BAC=40°，∠FCA=∠ACB=20°，然后根据三角形内角和，即可求得∠AFC的度数；
（2）利用三角形内角和定理可得∠BAC+∠BCA的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计算出∠AFC的度数；
（3）同（2）方法解答即可.
（1）解：∵∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC=40°，∠FCA=20°，
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°．
（2）解：∵∠B=80°，
∴∠BAC+∠BCA=100°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=50°，
∴∠AFC=130°．
（3）解：∵∠B=x°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-x°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=（180°-x°），
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-（180°-x°）=90°+x°．
20．【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B
（2）6
（3）解：由（1）可知：，
，
∵和的平分线和相交于点，
∴，，
得：
，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（4）解：
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）结论为：，理由如下：
∵，
又∵，
∴；
故答案为：
（2）交点有点、、，
以为交点有1个，为与，
以为交点有4个，为与，与，与，与，
以为交点有1个，为与，
综上所述，“8字形”图形共有6个；
故答案为：6
（4）关系：，
由（1）可知：，，
∴，，
∵、分别是和的角平分线，
∴，
∴，即，
∴，
整理得，．
【分析】（1）利用三角形的内角和及对顶角的性质可得；
（2）根据“8字形”的定义求解即可；
（3）先根据求出，再将数据代入求出即可；
（4）根据角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，最后化简可得。
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