《二次函数的对称性及应用》中考数学专项训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九上·玉溪期末）若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
2．（2024九上·花溪期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
3．（2024九上·启东期中）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如：
x … 0 1 …
y … ﹣6 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【知识点】二次函数的对称性及应用
4．（2024九上·潼南月考）二次函数的部分图象如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．一定有两个不等实数根
D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
5．（2024九上·安宁月考）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：，
二次函数的对称轴为轴，
关于轴对称的点为，
该图象必过点，
故选：B．
【分析】根据解析式可得抛物线的对称轴为y轴，结合抛物线的对称性即可求解.
6．（2024九上·长兴月考）如图所示为关于的二次函数的部分图象，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的对称性及应用
7．（2024九上·乐清期中） 已知抛物线 经过点 和点 ， 则 的最小值是 （ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 抛物线的对称轴为直线x=-，而函数经过 和点 ，
故m=，即有m=p+1；
又-1≤m≤2，即-1≤p+1≤2，得-2≤p≤1
t=p2-2mp=p2-2(p+1)p=-p2-2p，
t是p的二次函数，且-2≤p≤1，对称轴为直线p=-1
当p=1时，t取最小值，即tmin=-1-2=-3.
故答案为：A.
【分析】由A、B纵坐标相同知A、B有关于对称轴对称，得m=p+1，由m的范围可得p的范围，求出t与p之间的关系式，t为p的二次函数，当p=1时，t取最小值.
8．（2024九上·鹤山期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
9．（2024九上·襄阳期中）如图，抛物线 的对称轴是直线，且经过 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．是的一根
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
10．（2024九上·苏州期中）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线：经过点一组抛物线的顶点，，，…（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，…（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的对称性及应用
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2024九上·凉州月考）已知方程的两个根为和5，则抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
12．（2024九上·金华期中）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ ．
【答案】3
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到进而即可求解.
13．（2024九上·普陀期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ．
【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点、，
∴二次函数的对称轴为直线，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称性解题即可．
14．（2024九上·上海市期中）二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x … 0 1 5 …
y … 7 0 7 …
则该二次函数图象的对称轴是 ．
【答案】直线
【知识点】二次函数的对称性及应用
15．（2024九上·平湖月考）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为 ．
【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据图示知，抛物线图象的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性知，抛物线图象与轴的两个交点关于直线对称，即抛物线图象与轴的另一个交点与关于直线对称，
另一个交点的坐标为，
不等式，即，
抛物线的图象在轴及下方，
不等式的解集是或．
故答案为：或．
【分析】先根据抛物线的对称性得到点坐标，再结合函数图象解题即可．
16．（2024九上·凉州月考）如图是拋物线的部分图象，对称轴为直线，与轴的交点，且，则关于的一元二次方程的整数解的和为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
17．（2024九上·海安期中）二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 10 5 2 1 2 …
当时，自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
18．（2024九上·北京市期中）函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用
19．（2024九上·鼓楼期中）若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接）．
【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用
20．（2024九上·上海市期中）在平面直角坐标系中，抛物线（，b、c为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，若是等腰直角三角形，则 ．
【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线；二次函数的对称性及应用
阅卷人 三、解答题
得分
21．（2024九上·义乌月考）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
… …
… …
（1）若，求二次函数的表达式．
（2）在（1）问的条件下，当的取值范围为多少时，随的增大而减小．
（3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
22．（2024九上·黄石期中）已知抛物线．
（1）则该抛物线的对称轴为___________；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，且交于y轴正半轴，求其解析式；
（3）在（2）的条件下，若为该抛物线上三点，且总有，请直接写出与与的大小关系．
【答案】（1）
（2）
（3）当且时，；当时，．
【知识点】二次函数的对称性及应用
23．（2024九上·海安期中）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1），是抛物线上不重合的两点，当时，，求该抛物线的解析式．
（2）是抛物线上一点，且．
①若，当时，求n的最小值．
②当时，n的最小值是5，求m的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
24．（2024九上·北京市期中）已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为．
（1）若，，则_______；
（2）当，时，都有，求的取值范围．
【答案】（1）5
（2）
【知识点】二次函数的对称性及应用
25．（2024九上·北京市期中）已知关于x的二次函数．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点，在抛物线上，则m_________n；（填“＞”，“＜”或“=”）
（3），是抛物线上的任意两个点，若对于且，都有，求t的取值范围．
【答案】（1）x=t
（2）＜
（3）t≤1
【知识点】二次函数的对称性及应用
1 / 1《二次函数的对称性及应用》中考数学专项训练
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九上·玉溪期末）若抛物线经过，两点，则抛物线的对称轴经过的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·花溪期中）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·启东期中）二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如：
x … 0 1 …
y … ﹣6 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．（2024九上·潼南月考）二次函数的部分图象如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．一定有两个不等实数根
D．
5．（2024九上·安宁月考）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·长兴月考）如图所示为关于的二次函数的部分图象，抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
7．（2024九上·乐清期中） 已知抛物线 经过点 和点 ， 则 的最小值是 （ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
8．（2024九上·鹤山期中）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·襄阳期中）如图，抛物线 的对称轴是直线，且经过 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．是的一根
10．（2024九上·苏州期中）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线：经过点一组抛物线的顶点，，，…（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，…（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2024九上·凉州月考）已知方程的两个根为和5，则抛物线的对称轴为直线 ．
12．（2024九上·金华期中）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝ ．
13．（2024九上·普陀期中）已知二次函数的图象经过点、，那么该二次函数图象的对称轴为直线 ．
14．（2024九上·上海市期中）二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：
x … 0 1 5 …
y … 7 0 7 …
则该二次函数图象的对称轴是 ．
15．（2024九上·平湖月考）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为 ．
16．（2024九上·凉州月考）如图是拋物线的部分图象，对称轴为直线，与轴的交点，且，则关于的一元二次方程的整数解的和为 ．
17．（2024九上·海安期中）二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 10 5 2 1 2 …
当时，自变量x的取值范围是 ．
18．（2024九上·北京市期中）函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 ．
19．（2024九上·鼓楼期中）若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是 ．（用“＜”连接）．
20．（2024九上·上海市期中）在平面直角坐标系中，抛物线（，b、c为常数）的顶点为A，与y轴交于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，若是等腰直角三角形，则 ．
阅卷人 三、解答题
得分
21．（2024九上·义乌月考）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
… …
… …
（1）若，求二次函数的表达式．
（2）在（1）问的条件下，当的取值范围为多少时，随的增大而减小．
（3）若在、、这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．
22．（2024九上·黄石期中）已知抛物线．
（1）则该抛物线的对称轴为___________；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，且交于y轴正半轴，求其解析式；
（3）在（2）的条件下，若为该抛物线上三点，且总有，请直接写出与与的大小关系．
23．（2024九上·海安期中）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1），是抛物线上不重合的两点，当时，，求该抛物线的解析式．
（2）是抛物线上一点，且．
①若，当时，求n的最小值．
②当时，n的最小值是5，求m的值．
24．（2024九上·北京市期中）已知点，在抛物线的图象上，设抛物线的对称轴为．
（1）若，，则_______；
（2）当，时，都有，求的取值范围．
25．（2024九上·北京市期中）已知关于x的二次函数．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点，在抛物线上，则m_________n；（填“＞”，“＜”或“=”）
（3），是抛物线上的任意两个点，若对于且，都有，求t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
2．【答案】D
【知识点】二次函数的对称性及应用
3．【答案】B
【知识点】二次函数的对称性及应用
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：，
二次函数的对称轴为轴，
关于轴对称的点为，
该图象必过点，
故选：B．
【分析】根据解析式可得抛物线的对称轴为y轴，结合抛物线的对称性即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次函数的对称性及应用
7．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 抛物线的对称轴为直线x=-，而函数经过 和点 ，
故m=，即有m=p+1；
又-1≤m≤2，即-1≤p+1≤2，得-2≤p≤1
t=p2-2mp=p2-2(p+1)p=-p2-2p，
t是p的二次函数，且-2≤p≤1，对称轴为直线p=-1
当p=1时，t取最小值，即tmin=-1-2=-3.
故答案为：A.
【分析】由A、B纵坐标相同知A、B有关于对称轴对称，得m=p+1，由m的范围可得p的范围，求出t与p之间的关系式，t为p的二次函数，当p=1时，t取最小值.
8．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
10．【答案】B
【知识点】二次函数的对称性及应用
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
12．【答案】3
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到进而即可求解.
13．【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点、，
∴二次函数的对称轴为直线，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的对称性解题即可．
14．【答案】直线
【知识点】二次函数的对称性及应用
15．【答案】或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据图示知，抛物线图象的对称轴是直线，与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性知，抛物线图象与轴的两个交点关于直线对称，即抛物线图象与轴的另一个交点与关于直线对称，
另一个交点的坐标为，
不等式，即，
抛物线的图象在轴及下方，
不等式的解集是或．
故答案为：或．
【分析】先根据抛物线的对称性得到点坐标，再结合函数图象解题即可．
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
17．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的对称性及应用
18．【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用
19．【答案】
【知识点】二次函数的对称性及应用
20．【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线；二次函数的对称性及应用
21．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
22．【答案】（1）
（2）
（3）当且时，；当时，．
【知识点】二次函数的对称性及应用
23．【答案】（1）
（2）①；②
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
24．【答案】（1）5
（2）
【知识点】二次函数的对称性及应用
25．【答案】（1）x=t
（2）＜
（3）t≤1
【知识点】二次函数的对称性及应用
1 / 1
