浙江省嘉兴市平湖市平湖中学光启班2024年招生考试数学素养测试
1．（2024·平湖自主招生）据初步核算，2024年中国一季度国内生产总值超290000亿元，同比增长5..数据290000亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·平湖自主招生）已知a，b，c均为实数，且满足，下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·平湖自主招生）用反证法证明"四边形中至少有一个内角不小于"时，首先应假设（ ）
A．至少有一个内角大于 B．四个内角都小于
C．至少有一个内角小于 D．四个内角都大于
4．（2024·平湖自主招生）已知五个数据：1，2，3，6，x.若这组数据的中位数和平均数相等，则的值为（ ）
A．3 B．-2 C．3或0 D．3或-2
5．（2024·平湖自主招生）已知，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．或
6．（2024·平湖自主招生）如图，在中，于点.，则的面积为（ ）
A．60 B．120 C．50 D．100
7．（2024·平湖自主招生）如图钢架中，，焊上等长的钢条，.若，这样的钢条能且只能焊5根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·平湖自主招生）若方程有实数根，则ab的值是（ ）
A．- B．-2 C．2 D．
9．（2024·平湖自主招生）代数式的最大值是（ ）
A．6 B． C． D．不存在
10．（2024·平湖自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点为AD边上一个动点（不与点D，E重合）连接OE，将沿OE折叠，点落在处，OM交边AD于点，当是等腰三角形时，MF的长是（ ）
A． B． C．或1 D．或
11．（2024·平湖自主招生）函数y= 的自变量x的取值范围是 。
12．（2024·平湖自主招生）因式分解：= ．
13．（2024·平湖自主招生）计算： .
14．（2024·平湖自主招生）已知：如图，将边长为的正的三个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的六边形DEFGHI.则阴影部分的面积是 .
15．（2024·平湖自主招生）"杨辉三角"是中国古代重要的数学成就，它比西方的"帕斯卡三角形"早了近300年，如图是一个"杨辉三角"数阵，第1行第1个数是1，第2行第2个数是，则第9行第3个数是 .
16．（2024·平湖自主招生）在菱形ABCD中，边上的高为4，则对角线AC的值是 .
17．（2024·平湖自主招生）如图，在中，，为BC的中点，则AD的最小值是 .
18．（2024·平湖自主招生）已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 .
19．（2024·平湖自主招生）如图，正方形ABCD中，是AB的中点是线段EC上一动点，为DF的中点，连接BM，则当点从点运动到点时，点经过的路径长为 .
20．（2024·平湖自主招生）如图，点是反比例函数图象上的点，轴于点，点的坐标为交轴于点，连结CD，知.若是此反比例函数图象上的点，且满足，
则的取值范围是
21．（2024·平湖自主招生）（1）计算：.
（2）化简：，下面是小李和大李两同学的部分运算过程：
小李同学：解：原式 李同学：解：原式=
请选择一种解法，写出完整的解题过程.
22．（2024·平湖自主招生）（1）已知，且，求的值.
（2）计算：.
23．（2024·平湖自主招生）已知：如图，在中，于点H，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，DE，HF相交于点O.
求证：OE=OF.
24．（2024·平湖自主招生）2024年4月24日是第九个"中国航天日"，今年的"中国航天日"主题为"极目楚天，共襄星汉".为迎接中国航天日，某校八年级举行了航天知识竞赛，为了解整体情况.现将随机抽取的部分学生的竞赛成绩进行整理，将成绩（单位：分）分为四个等级：A级：；B级：；C级：级：.并绘制如图不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请你补全条形统计图，并求扇形图中"A级"所对应的圆心角度数.
（2）被抽取的学生的竞赛成绩的中位数是属于哪个等级
（3）若成绩90分以上为优秀，请你估计该校560名八年级学生中成绩优秀的总人数.
25．（2024·平湖自主招生）某汽车销售公司3月份销售新上市一种新型低能耗汽车20辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达到45辆，并且3月到4月和4月到5月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售该型汽车每次的增长率.
（2）若该型汽车每辆的盈利为3万元，则平均每天可售10辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利24万元，每辆车需降价多少
26．（2024·平湖自主招生）
问题背景 点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，分别在射线AC，BO上取点D，E使得四边形ABED为正方形.如图1，当点在第一象限内，且时，小军测得.通过改变点的位置，小军发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮小军完成以下任务. 图1
任务一 求的值.
任务二 设点A，D的横坐标分别为x，z，将关于的函数称为"函数".求这个"Z函数"的表达式.
任务三 如图2，小军只画出了该"函数"的部分图象.过点作一直线，与这个"Z函数"图象仅有一个交点，求此交点的横坐标. 图2
27．（2024·平湖自主招生）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、B两点，点在轴正半轴上，将沿BC折叠，点恰好落在线段AB上.
（1）求点A、B、C的坐标
（2）已知D（6，2），点在轴上，点在直线AB上，是否存在以C、D、P、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，线段AB上有一动点，以OM为一边（在OM的右侧）作菱形OMEF，且，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 数据290000亿用科学记数法可以表示为 ，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：当ab2，原式子不一定成立；
B：当c=0时，，原式子不一定成立；
C：由两边同时乘以-2，得，原式子不成立；
D：由左边减2，右边加2得，式子成立；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可.
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，所得到的不等式仍成立.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的防线，所得的不等式成立.
3．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明"四边形中至少有一个内角不小于"时，首先应假设四个内角都小于，
故答案为：B.
【分析】运用反证法证明命题时，首先必须对结论否定，“至少有一个”的否定是“没有一个”，即可得到假设.
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：当x≤3时，中位数为x，
即，
解得x=3；
当x>3时，中位数是3，
即，
解得x=3（舍去）；
故答案为：A.
【分析】分为x≤3和x>3两种情况列方程解题即可.
5．【答案】D
【知识点】分式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
解得，或，
即，
当x=1时，；
当x=-1时，；
故答案为：D.
【分析】先在等式两边除以x2，然后利用因式分解解得或，然后求出x值代入计算即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，
∵BF⊥AC， ∠BAC =45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF =BF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AFG=90°，
∵∠AGF =∠BGE，
∴∠FBC =∠FAG，
∴△AGF≌△BCF(ASA)，
∴AG=BC = BE+CE=10，
∵∠AEB=∠AEC=90°， ∠FBC=∠FAG，
∴△BEG∽△AEC，
即
∴EG=2，
∴AE=12，
故答案为： B.
【分析】过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，可知△ABF为等腰直角三角形，可推出△AGF≌△BCF和△BEG∽△AEC， 由全等得AG = 10， 由相似的性质可得EG =2， 故AE=12， 即可求得面积.
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；三角形的外角性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6，
∴∠A=∠AP2P1=，，，，，
∵ 这样的钢条能且只能焊5根，
∴，
解得 ，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可得到机组相等的角，再根据三角形的外角性质得到，然后列不等式解题即可.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可知，
0
又
且
故答案为：A.
【分析】根据方程有实数根可以得到然后得到 ，再根据偶次方根的非负性求出a，b的值，代入计算即可.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；数形结合
【解析】【解答】解：，
即表示在x轴上取一点，到点A(0，1)和点B(4，7)的距离和最小，
作点B关于x轴的对称点B1，然后连接AB1，则即为最小值，
这时AC=4，B1C=7+1=8，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据 的几何意义得出在x轴上取一点，到点A(0，1)和点B(4，7)的距离和最小，然后作点B关于x轴的对称点B1，然后连接AB1，然后根据勾股定理解题即可.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图，当OA=AF=时，作OG⊥AD于点G，
∵ ABCD是矩形，
∴AO=OB=OC=OD=AB=OM，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴∠OAD=30°，，
∵OG⊥AD，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当AF=OF时，如图，过点O作OG⊥AD于点G，
则∠FAO=∠AOF=30°，
∴∠FOG=30°，
∴，
∴OF=FA=AG-DF，
∴MF=OM-OF；
故答案为：D.
【分析】分为OA=AF和AF=OF两种情况，过点O作OG⊥AD于点G，然后根据30°角的直角三角形的性质解直角三角形得到，，然后求出OF长，利用FM=OM-OF解题即可.
11．【答案】x≠1
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1≠0，
解得：x≠1.
故答案为：x≠1.
【分析】因为此函数是反比例函数，解析式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为0，列出不等式，解不等式即可.
12．【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
13．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据积的乘方逆运算解题即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由折叠可得AD=DE=BE=，且每个三角形都是全等的等边三角形，
∴ 阴影部分的面积是，
故答案为：.
【分析】根据翻折可得每个三角形都是全等的等边三角形，然后根据阴影部分面积是解题即可.
15．【答案】36
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第5行的前三个数为1，5，10，
第6行的前三个数为1，6，15，
第7行的前三个数为1，7，21，
第8行的前三个数为1，8，28，
第9行的前三个数为1，9，36，
故答案为：36.
【分析】根据 "杨辉三角"数阵依次得到前3个数计算即可.
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：如图， 若AH在菱形ABCD内部， 连接AC
∵四边形ABCD是菱形
在 中，
如图， 若AH在菱形ABCD外部， 连接AC，
∵四边形ABCD是菱形
在 中，
故答案为： 或 .
【分析】分AH在菱形ABCD内部，若AH在菱形ABCD外部两种情况讨论，由勾股定理可求AC的长.
17．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到点E，使得DE=AD，连接CE，过点A作AF⊥EC交EC的延长线于点F，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
又∵∠CDE=∠ADB，
∴△ADB≌△EDC，
∴∠E=∠EAB，AE=2AD，EC=AB
∴∠FCA=∠E+∠CAD=∠CAB=60°，
设AC=x，则AB=8-x，
∴CF=，，
∴EF=EC+CF=8-x+，
∴，
∴当x=4时，AE最小为，此时AD最小为，
故答案为：.
【分析】延长AD到点E，使得DE=AD，连接CE，过点A作AF⊥EC交EC的延长线于点F，可以得到△ADB≌△EDC，即可得到∠FCA=60°，然后根据勾股定理得到CF=，，然后再根据勾股定理得到，根据二次函数的最值解题即可.
18．【答案】x=9，y=1
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：，
∵ x，y是正整数 ，
∴2x-1能整除17，即2x-1=1或2x-1=17，
解得x=0（舍去）或x=9，
当x=9时，y=1，
故答案为：x=9，y=1.
【分析】把原式化为，然后根据2x-1能整除17可得2x-1=1或2x-1=17，解方程即可.
19．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接DE，取DE的中点P，连接PM并延长交DC于点Q，
则PM∥EC，且，
∴△DPQ∽△DEC，
∴，即，
∵点E是AB的中点，
∴BE=2，
又∵ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，
∴，
∴点M经过的路线长为PQ长，即为，
故答案为：.
【分析】连接DE，取DE的中点P，连接PM并延长交DC于点Q，即可得到，然后根据勾股定理求出EC长，再根据三角形的中位线定理得到点M经过路线PQ的长.
20．【答案】或m>
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，A(0，-1)，
∴AC=2=AD，
又∵cos∠CAD=，
∴∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，BC=AC×tan∠CAD=2，OD=AD×tan∠CAD=，
∴点B的坐标为，
∴，
当m>0时，若时，则DP⊥x轴，
∴点P的横坐标为，
故m>；
当m<0时，若，则点P在直线AB上，
设直线AB的解析式为y=kx+b，代入得：
，解得，
∴，
解方程组得或，
∴当时，，
故答案为：或m>.
【分析】先判断△ACD是等你按三角形，然后得到∠ADC=60°，求出点B的坐标，即可得到k的值，然后分为点P在第一象限和第三象限两种情况解题即可.
21．【答案】（1）解：原式=1+4-3
=2；
（2）解：小李同学：解：原式
=x-3；
大李同学：解：原式=
=x-3 .
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算零次幂、负整数次幂和开立方，然后运用加减法法则解题即可；
（2）小李同学，先同分合并，然后约分即可解题；大李同学运用乘法分配律展开，然后约分，再运用加减法解题即可.
22．【答案】（1）解：∵，
∴a，b是方程的两根，
∴a+b=4，ab=1，
∴；
（2）解：
=
.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；含括号的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）根据题意可得a，b是方程的两根，即可得到a+b=4，ab=1，然后通分整体代入解题即可；
（2）将原式变形为，然后先运算括号内的减法，再运算除法解题即可.
23．【答案】证明：∵ D，E 分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
又∵ ，
∴∠AHB=90°，
又∵ F 是 AB的中点，
∴，
∴∠FHB=∠B，
∴∠FHB=∠EDC，
又∵DE∥AB，
∴∠EFH=∠FHB，∠FED=∠EDH，
∴∠EFH=∠FED，
∴OE=OF.
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据三角形的中位线性质和直角三角形斜边上中线的性质得到，DE∥AB，，即可得到∠EDC=∠FHB=∠B，然后根据平行线的性质得到∠EFH=∠FED，然后根据等角对等边解题即可.
24．【答案】（1）解：抽取的总人数为16÷40%=40人，
∴ "A级"所对应的圆心角度数为，
C级人数为：40-6-16-5=13人，
补全条形统计图为：
（2）解：该班级竞赛成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而这2个数据均在B组中，
所以该班级竞赛成绩的中位数属于B组；
（3）解：(人)，
答：估计该校560名九年级学生中成绩优秀的总人数约为84人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)由B级人数及其所占百分比得出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C级人数，从而补全图形，用 乘以A级人数所占比例即可；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可.
25．【答案】（1）解：设该公司销售该型汽车平均增长率为x，
根据题意列方程：
解得 (不合题意，舍去)，
答：该公司销售该型汽车的平均增长率为50%.
（2）解：设每辆车需降价y元，
据题意得：
解得 （舍去），，
因题意要尽快减少库存，所以x取15000.
答：每辆车需降价15000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该公司销售该型汽车的平均增长率为x.等量关系为：3月份的销售量 增长率 月份的销售量，把相关数值代入求解即可.
(2)设每辆车需降价y元，根据利润=单利润×销售量可列方程解题即可.
26．【答案】解：任务一：
∵四边形ABED是正方形，
轴， 轴，
∴四边形ABOC是矩形，
∴A(4，1)，
任务二：由题意，
，
任务三：图象如图所示.
设直线的解析式为 把(3，2)代入得到，
，
∴直线的解析式为 ，
由 消去z得到，
当 时，当 时，
解得 或2，
当 时，方程为 解得
当 时，方程为 解得
当 时.方程的解为 符合题意，
另外直线 ，也符合题意，此时交点的横坐标为3
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】任务一：求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可.
任务二：求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可.
任务三利用描点法画出图象，由题意可知直线的解析式为 构建方程组，利用 求出k可得结论，另外直线 也符合题意.
27．【答案】（1）解：当x=0时，y=6；令y=0，则，解得x=8，
∴ 点A的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(0，6)，
即OA=8，OB=6，
∴，
设折叠后点O落在点G上，
由折叠可得：BG=OB=6，OC=CG，
∴AG=AB-BG=10-6=4，
在Rt△AGC中，，即，
解得：OC=3，
∴点C的坐标为(3，0)；
（2）解：存在，设点Q的坐标为(n，），点 的坐标为(0，m)，
∵C的坐标为(3，0)， D（6，2），
①当CD为平行四边形的边时，0-n=6-3，m-()=2-0或0-n=3-6，m-()=0-2，
解得n=3，m=或n=-3，m=，
∴点P的坐标为(0，)或(0，)；
②当CD为平行四边形的对角线时，，，
解得：n=9，，
∴点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为(0，)或(0，)或；
（3）解：作∠BON=120°，且截取ON=OB=4，连接FN，如图，
∵ OMEF是菱形，
∴OM=OF，
又∵∠MOF=120° = ∠BON ，
∴∠BOM=∠FON，
∴△OBM≌△ONF，
∴∠ONF=∠OBM，
即点F在与ON的夹角为∠OBM的直线上运动，
当点M在B处时，点F的坐标为，
当点M在A处时，点F的坐标为，
∴ 点运动的路径长为：.
【知识点】菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-SAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据x=0，y=0分别求出纵坐标和横坐标即可得到点B、A的坐标，然后利用勾股定理和翻折的性质得到，求出OC长即可得到点C的坐标；
（2）设设点Q的坐标为(n，），点 的坐标为(0，m)，然后分为①当CD为平行四边形的边时，利用平移的性质解题即可；②当CD为平行四边形的对角线时，利用中点坐标公式解题即可；
（3）作∠BON=120°，且截取ON=OB=4，连接FN，可以得到△OBM≌△ONF，即可得到点F在与ON的夹角为∠OBM的直线上运动，然后求出两个端点坐标，利用两点间距离公式计算即可.
1 / 1浙江省嘉兴市平湖市平湖中学光启班2024年招生考试数学素养测试
1．（2024·平湖自主招生）据初步核算，2024年中国一季度国内生产总值超290000亿元，同比增长5..数据290000亿用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 数据290000亿用科学记数法可以表示为 ，
故答案为：A.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案
2．（2024·平湖自主招生）已知a，b，c均为实数，且满足，下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：当ab2，原式子不一定成立；
B：当c=0时，，原式子不一定成立；
C：由两边同时乘以-2，得，原式子不成立；
D：由左边减2，右边加2得，式子成立；
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可.
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，所得到的不等式仍成立.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的防线，所得的不等式成立.
3．（2024·平湖自主招生）用反证法证明"四边形中至少有一个内角不小于"时，首先应假设（ ）
A．至少有一个内角大于 B．四个内角都小于
C．至少有一个内角小于 D．四个内角都大于
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明"四边形中至少有一个内角不小于"时，首先应假设四个内角都小于，
故答案为：B.
【分析】运用反证法证明命题时，首先必须对结论否定，“至少有一个”的否定是“没有一个”，即可得到假设.
4．（2024·平湖自主招生）已知五个数据：1，2，3，6，x.若这组数据的中位数和平均数相等，则的值为（ ）
A．3 B．-2 C．3或0 D．3或-2
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：当x≤3时，中位数为x，
即，
解得x=3；
当x>3时，中位数是3，
即，
解得x=3（舍去）；
故答案为：A.
【分析】分为x≤3和x>3两种情况列方程解题即可.
5．（2024·平湖自主招生）已知，则的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-2或2 D．或
【答案】D
【知识点】分式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
解得，或，
即，
当x=1时，；
当x=-1时，；
故答案为：D.
【分析】先在等式两边除以x2，然后利用因式分解解得或，然后求出x值代入计算即可.
6．（2024·平湖自主招生）如图，在中，于点.，则的面积为（ ）
A．60 B．120 C．50 D．100
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图， 过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，
∵BF⊥AC， ∠BAC =45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF =BF，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AFG=90°，
∵∠AGF =∠BGE，
∴∠FBC =∠FAG，
∴△AGF≌△BCF(ASA)，
∴AG=BC = BE+CE=10，
∵∠AEB=∠AEC=90°， ∠FBC=∠FAG，
∴△BEG∽△AEC，
即
∴EG=2，
∴AE=12，
故答案为： B.
【分析】过点B作BF⊥AC， 交AC于点F， 交AE于点G，可知△ABF为等腰直角三角形，可推出△AGF≌△BCF和△BEG∽△AEC， 由全等得AG = 10， 由相似的性质可得EG =2， 故AE=12， 即可求得面积.
7．（2024·平湖自主招生）如图钢架中，，焊上等长的钢条，.若，这样的钢条能且只能焊5根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；三角形的外角性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6，
∴∠A=∠AP2P1=，，，，，
∵ 这样的钢条能且只能焊5根，
∴，
解得 ，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质可得到机组相等的角，再根据三角形的外角性质得到，然后列不等式解题即可.
8．（2024·平湖自主招生）若方程有实数根，则ab的值是（ ）
A．- B．-2 C．2 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；偶次方的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可知，
0
又
且
故答案为：A.
【分析】根据方程有实数根可以得到然后得到 ，再根据偶次方根的非负性求出a，b的值，代入计算即可.
9．（2024·平湖自主招生）代数式的最大值是（ ）
A．6 B． C． D．不存在
【答案】B
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；数形结合
【解析】【解答】解：，
即表示在x轴上取一点，到点A(0，1)和点B(4，7)的距离和最小，
作点B关于x轴的对称点B1，然后连接AB1，则即为最小值，
这时AC=4，B1C=7+1=8，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据 的几何意义得出在x轴上取一点，到点A(0，1)和点B(4，7)的距离和最小，然后作点B关于x轴的对称点B1，然后连接AB1，然后根据勾股定理解题即可.
10．（2024·平湖自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点为AD边上一个动点（不与点D，E重合）连接OE，将沿OE折叠，点落在处，OM交边AD于点，当是等腰三角形时，MF的长是（ ）
A． B． C．或1 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：如图，当OA=AF=时，作OG⊥AD于点G，
∵ ABCD是矩形，
∴AO=OB=OC=OD=AB=OM，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴∠OAD=30°，，
∵OG⊥AD，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当AF=OF时，如图，过点O作OG⊥AD于点G，
则∠FAO=∠AOF=30°，
∴∠FOG=30°，
∴，
∴OF=FA=AG-DF，
∴MF=OM-OF；
故答案为：D.
【分析】分为OA=AF和AF=OF两种情况，过点O作OG⊥AD于点G，然后根据30°角的直角三角形的性质解直角三角形得到，，然后求出OF长，利用FM=OM-OF解题即可.
11．（2024·平湖自主招生）函数y= 的自变量x的取值范围是 。
【答案】x≠1
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1≠0，
解得：x≠1.
故答案为：x≠1.
【分析】因为此函数是反比例函数，解析式为分式，根据分式有意义的条件，分母不为0，列出不等式，解不等式即可.
12．（2024·平湖自主招生）因式分解：= ．
【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
13．（2024·平湖自主招生）计算： .
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据积的乘方逆运算解题即可.
14．（2024·平湖自主招生）已知：如图，将边长为的正的三个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的六边形DEFGHI.则阴影部分的面积是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由折叠可得AD=DE=BE=，且每个三角形都是全等的等边三角形，
∴ 阴影部分的面积是，
故答案为：.
【分析】根据翻折可得每个三角形都是全等的等边三角形，然后根据阴影部分面积是解题即可.
15．（2024·平湖自主招生）"杨辉三角"是中国古代重要的数学成就，它比西方的"帕斯卡三角形"早了近300年，如图是一个"杨辉三角"数阵，第1行第1个数是1，第2行第2个数是，则第9行第3个数是 .
【答案】36
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第5行的前三个数为1，5，10，
第6行的前三个数为1，6，15，
第7行的前三个数为1，7，21，
第8行的前三个数为1，8，28，
第9行的前三个数为1，9，36，
故答案为：36.
【分析】根据 "杨辉三角"数阵依次得到前3个数计算即可.
16．（2024·平湖自主招生）在菱形ABCD中，边上的高为4，则对角线AC的值是 .
【答案】或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：如图， 若AH在菱形ABCD内部， 连接AC
∵四边形ABCD是菱形
在 中，
如图， 若AH在菱形ABCD外部， 连接AC，
∵四边形ABCD是菱形
在 中，
故答案为： 或 .
【分析】分AH在菱形ABCD内部，若AH在菱形ABCD外部两种情况讨论，由勾股定理可求AC的长.
17．（2024·平湖自主招生）如图，在中，，为BC的中点，则AD的最小值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到点E，使得DE=AD，连接CE，过点A作AF⊥EC交EC的延长线于点F，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
又∵∠CDE=∠ADB，
∴△ADB≌△EDC，
∴∠E=∠EAB，AE=2AD，EC=AB
∴∠FCA=∠E+∠CAD=∠CAB=60°，
设AC=x，则AB=8-x，
∴CF=，，
∴EF=EC+CF=8-x+，
∴，
∴当x=4时，AE最小为，此时AD最小为，
故答案为：.
【分析】延长AD到点E，使得DE=AD，连接CE，过点A作AF⊥EC交EC的延长线于点F，可以得到△ADB≌△EDC，即可得到∠FCA=60°，然后根据勾股定理得到CF=，，然后再根据勾股定理得到，根据二次函数的最值解题即可.
18．（2024·平湖自主招生）已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 .
【答案】x=9，y=1
【知识点】分式的化简求值-拆项变形法
【解析】【解答】解：，
∵ x，y是正整数 ，
∴2x-1能整除17，即2x-1=1或2x-1=17，
解得x=0（舍去）或x=9，
当x=9时，y=1，
故答案为：x=9，y=1.
【分析】把原式化为，然后根据2x-1能整除17可得2x-1=1或2x-1=17，解方程即可.
19．（2024·平湖自主招生）如图，正方形ABCD中，是AB的中点是线段EC上一动点，为DF的中点，连接BM，则当点从点运动到点时，点经过的路径长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接DE，取DE的中点P，连接PM并延长交DC于点Q，
则PM∥EC，且，
∴△DPQ∽△DEC，
∴，即，
∵点E是AB的中点，
∴BE=2，
又∵ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°，
∴，
∴点M经过的路线长为PQ长，即为，
故答案为：.
【分析】连接DE，取DE的中点P，连接PM并延长交DC于点Q，即可得到，然后根据勾股定理求出EC长，再根据三角形的中位线定理得到点M经过路线PQ的长.
20．（2024·平湖自主招生）如图，点是反比例函数图象上的点，轴于点，点的坐标为交轴于点，连结CD，知.若是此反比例函数图象上的点，且满足，
则的取值范围是
【答案】或m>
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，A(0，-1)，
∴AC=2=AD，
又∵cos∠CAD=，
∴∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，BC=AC×tan∠CAD=2，OD=AD×tan∠CAD=，
∴点B的坐标为，
∴，
当m>0时，若时，则DP⊥x轴，
∴点P的横坐标为，
故m>；
当m<0时，若，则点P在直线AB上，
设直线AB的解析式为y=kx+b，代入得：
，解得，
∴，
解方程组得或，
∴当时，，
故答案为：或m>.
【分析】先判断△ACD是等你按三角形，然后得到∠ADC=60°，求出点B的坐标，即可得到k的值，然后分为点P在第一象限和第三象限两种情况解题即可.
21．（2024·平湖自主招生）（1）计算：.
（2）化简：，下面是小李和大李两同学的部分运算过程：
小李同学：解：原式 李同学：解：原式=
请选择一种解法，写出完整的解题过程.
【答案】（1）解：原式=1+4-3
=2；
（2）解：小李同学：解：原式
=x-3；
大李同学：解：原式=
=x-3 .
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算零次幂、负整数次幂和开立方，然后运用加减法法则解题即可；
（2）小李同学，先同分合并，然后约分即可解题；大李同学运用乘法分配律展开，然后约分，再运用加减法解题即可.
22．（2024·平湖自主招生）（1）已知，且，求的值.
（2）计算：.
【答案】（1）解：∵，
∴a，b是方程的两根，
∴a+b=4，ab=1，
∴；
（2）解：
=
.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；含括号的有理数混合运算
【解析】【分析】（1）根据题意可得a，b是方程的两根，即可得到a+b=4，ab=1，然后通分整体代入解题即可；
（2）将原式变形为，然后先运算括号内的减法，再运算除法解题即可.
23．（2024·平湖自主招生）已知：如图，在中，于点H，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，DE，HF相交于点O.
求证：OE=OF.
【答案】证明：∵ D，E 分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
又∵ ，
∴∠AHB=90°，
又∵ F 是 AB的中点，
∴，
∴∠FHB=∠B，
∴∠FHB=∠EDC，
又∵DE∥AB，
∴∠EFH=∠FHB，∠FED=∠EDH，
∴∠EFH=∠FED，
∴OE=OF.
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据三角形的中位线性质和直角三角形斜边上中线的性质得到，DE∥AB，，即可得到∠EDC=∠FHB=∠B，然后根据平行线的性质得到∠EFH=∠FED，然后根据等角对等边解题即可.
24．（2024·平湖自主招生）2024年4月24日是第九个"中国航天日"，今年的"中国航天日"主题为"极目楚天，共襄星汉".为迎接中国航天日，某校八年级举行了航天知识竞赛，为了解整体情况.现将随机抽取的部分学生的竞赛成绩进行整理，将成绩（单位：分）分为四个等级：A级：；B级：；C级：级：.并绘制如图不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请你补全条形统计图，并求扇形图中"A级"所对应的圆心角度数.
（2）被抽取的学生的竞赛成绩的中位数是属于哪个等级
（3）若成绩90分以上为优秀，请你估计该校560名八年级学生中成绩优秀的总人数.
【答案】（1）解：抽取的总人数为16÷40%=40人，
∴ "A级"所对应的圆心角度数为，
C级人数为：40-6-16-5=13人，
补全条形统计图为：
（2）解：该班级竞赛成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，而这2个数据均在B组中，
所以该班级竞赛成绩的中位数属于B组；
（3）解：(人)，
答：估计该校560名九年级学生中成绩优秀的总人数约为84人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)由B级人数及其所占百分比得出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C级人数，从而补全图形，用 乘以A级人数所占比例即可；
(2)根据中位数的定义求解即可；
(3)用总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可.
25．（2024·平湖自主招生）某汽车销售公司3月份销售新上市一种新型低能耗汽车20辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达到45辆，并且3月到4月和4月到5月两次的增长率相同.
（1）求该公司销售该型汽车每次的增长率.
（2）若该型汽车每辆的盈利为3万元，则平均每天可售10辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利24万元，每辆车需降价多少
【答案】（1）解：设该公司销售该型汽车平均增长率为x，
根据题意列方程：
解得 (不合题意，舍去)，
答：该公司销售该型汽车的平均增长率为50%.
（2）解：设每辆车需降价y元，
据题意得：
解得 （舍去），，
因题意要尽快减少库存，所以x取15000.
答：每辆车需降价15000元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设该公司销售该型汽车的平均增长率为x.等量关系为：3月份的销售量 增长率 月份的销售量，把相关数值代入求解即可.
(2)设每辆车需降价y元，根据利润=单利润×销售量可列方程解题即可.
26．（2024·平湖自主招生）
问题背景 点在反比例函数的图象上，轴于点轴于点，分别在射线AC，BO上取点D，E使得四边形ABED为正方形.如图1，当点在第一象限内，且时，小军测得.通过改变点的位置，小军发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮小军完成以下任务. 图1
任务一 求的值.
任务二 设点A，D的横坐标分别为x，z，将关于的函数称为"函数".求这个"Z函数"的表达式.
任务三 如图2，小军只画出了该"函数"的部分图象.过点作一直线，与这个"Z函数"图象仅有一个交点，求此交点的横坐标. 图2
【答案】解：任务一：
∵四边形ABED是正方形，
轴， 轴，
∴四边形ABOC是矩形，
∴A(4，1)，
任务二：由题意，
，
任务三：图象如图所示.
设直线的解析式为 把(3，2)代入得到，
，
∴直线的解析式为 ，
由 消去z得到，
当 时，当 时，
解得 或2，
当 时，方程为 解得
当 时，方程为 解得
当 时.方程的解为 符合题意，
另外直线 ，也符合题意，此时交点的横坐标为3
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】任务一：求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可.
任务二：求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可.
任务三利用描点法画出图象，由题意可知直线的解析式为 构建方程组，利用 求出k可得结论，另外直线 也符合题意.
27．（2024·平湖自主招生）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、B两点，点在轴正半轴上，将沿BC折叠，点恰好落在线段AB上.
（1）求点A、B、C的坐标
（2）已知D（6，2），点在轴上，点在直线AB上，是否存在以C、D、P、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，线段AB上有一动点，以OM为一边（在OM的右侧）作菱形OMEF，且，当点从点运动到点的过程中，求点运动的路径长.
【答案】（1）解：当x=0时，y=6；令y=0，则，解得x=8，
∴ 点A的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(0，6)，
即OA=8，OB=6，
∴，
设折叠后点O落在点G上，
由折叠可得：BG=OB=6，OC=CG，
∴AG=AB-BG=10-6=4，
在Rt△AGC中，，即，
解得：OC=3，
∴点C的坐标为(3，0)；
（2）解：存在，设点Q的坐标为(n，），点 的坐标为(0，m)，
∵C的坐标为(3，0)， D（6，2），
①当CD为平行四边形的边时，0-n=6-3，m-()=2-0或0-n=3-6，m-()=0-2，
解得n=3，m=或n=-3，m=，
∴点P的坐标为(0，)或(0，)；
②当CD为平行四边形的对角线时，，，
解得：n=9，，
∴点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为(0，)或(0，)或；
（3）解：作∠BON=120°，且截取ON=OB=4，连接FN，如图，
∵ OMEF是菱形，
∴OM=OF，
又∵∠MOF=120° = ∠BON ，
∴∠BOM=∠FON，
∴△OBM≌△ONF，
∴∠ONF=∠OBM，
即点F在与ON的夹角为∠OBM的直线上运动，
当点M在B处时，点F的坐标为，
当点M在A处时，点F的坐标为，
∴ 点运动的路径长为：.
【知识点】菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-SAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先根据x=0，y=0分别求出纵坐标和横坐标即可得到点B、A的坐标，然后利用勾股定理和翻折的性质得到，求出OC长即可得到点C的坐标；
（2）设设点Q的坐标为(n，），点 的坐标为(0，m)，然后分为①当CD为平行四边形的边时，利用平移的性质解题即可；②当CD为平行四边形的对角线时，利用中点坐标公式解题即可；
（3）作∠BON=120°，且截取ON=OB=4，连接FN，可以得到△OBM≌△ONF，即可得到点F在与ON的夹角为∠OBM的直线上运动，然后求出两个端点坐标，利用两点间距离公式计算即可.
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