【浙教版】2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（1）（含解析）

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2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（1）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则下列等式成立的是（　　）
A． B． C．4x＝3y D．3x＝4y
2．抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣9） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣9）
3．连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第五次抛掷正面朝上的是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定事件
4．如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，CD＝BC．若∠DCB＝100°，则∠ADC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
5．如图，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，若，S△ABC＝27，则＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．13.5
6．关于抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＜0），下列说法错误的是（　　）
A．该抛物线的对称轴是直线x＝1 B．该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）
C．该抛物线与x轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，y随x的增大而增大
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝41°，则∠BCD的大小为（　　）
A．41° B．45° C．49° D．59°
8．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
9．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点（点P与点A，B，C不重合），有下列结论：①当弦PB最长时，PA＝PC；②当∠ACP＝30°时，弦PB最长；③当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC；④当PO⊥AB时，∠ACP＝30°，其中正确结论的个数是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＞2h，则a＞0，m＞0 B．若x1+x2＜2h，则a＞0，m＜0
C．若a＞0，m＜0，则x1+x2＞2h D．若a＜0，m＜0，则x1+x2＞2h
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．抛物线的的对称轴为直线x＝　 　．
12．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 　 　．
13．抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位，向下平移3个单位后经过点P（1，t），则t的值为 　 　．
14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，则树高PQ＝　 　m．
15．已知实数x，y满足x2+5x+y﹣2＝0，则x+y的最大值为 　 　．
16．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10．上述结论中正确的个数是 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围．
18．在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同．
（1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率；
（2）从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率；
（3）向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？
19．二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表．
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）观察表中信息，发现c＝ 　 　，抛物线的对称轴为 　 　；
（2）方程ax2+bx+c＝0的解为 　 　；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围为 　 　．
20．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点P（m，y1），Q（m+2，y2）在该二次函数的图象上，当y1＞y2＞0时，求m的取值范围．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：△DBC是等腰三角形．
（2）若DA＝DF．
①求证：BC2＝DC BF．
②若⊙O的半径为5，BC＝6，求的值．
23．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y的取值范围是m≤y≤n，且满足n﹣m＝t（b﹣a），则称此函数为“t系郡园函数”．
（1）已知正比例函数y＝ax（1≤x≤4）为“1系郡园函数”，则a的值为多少？
（2）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+a2，当1≤x≤3时，y是“t系郡园函数”，求t的取值范围；
（3）已知一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，P（x，y）是函数y＝kx+1上的一点，若不论m取何值二次函数y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1的图象都不经过点P，求满足要求的点P的坐标．
24．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．
（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．
①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；
②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．
（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则下列等式成立的是（　　）
A． B． C．4x＝3y D．3x＝4y
【点拨】利用比例的性质逐一判断即可．
【解析】解：A．因为，所以3x＝4y，，故A不符合题意；
B．因为，所以，，故B不符合题意；
C．因为，所以3x＝4y，，故C不符合题意；
D．因为，所以3x＝4y，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．抛物线y＝x2﹣4x﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣9） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣9）
【点拨】依据题意，由抛物线为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，进而可以判断得解．
【解析】解：由题意，∵抛物线为y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴其顶点坐标为（2，﹣9）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式进行判断是关键．
3．连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第五次抛掷正面朝上的是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定事件
【点拨】根据随机事件的定义即可判断．
【解析】解：“第五次抛掷正面朝上”是随机事件．
故选：C．
【点睛】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，CD＝BC．若∠DCB＝100°，则∠ADC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【点拨】连接BD，分别求出∠ADB，∠CDB，可得结论．
【解析】解：连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝CB，∠C＝100°，
∴∠CDB＝∠CBDD＝40°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°+40°＝130°．
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，若，S△ABC＝27，则＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．13.5
【点拨】根据可得相似比为1：3，再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解．
【解析】解：△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，若，S△ABC＝27，
∴，
∴，
∴＝S△ABC＝×27＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了位似变换，解答本题的关键是熟练掌握位似图形的性质．
6．关于抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＜0），下列说法错误的是（　　）
A．该抛物线的对称轴是直线x＝1 B．该抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）
C．该抛物线与x轴有两个交点 D．该抛物线在对称轴的左侧部分，y随x的增大而增大
【点拨】依据题意，由抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＜0），从而对称轴是直线x＝﹣＝1，故可判断A；又当x＝1时，y＝a﹣2a+a﹣4＝﹣4，则顶点坐标是（1，﹣4），故可判断B；又Δ＝4a2﹣4a（a﹣4）＝16a，再结合a＜0，
可得Δ＜0，进而判断C；又抛物线开口向下，从而在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故可判断D．
【解析】解：由题意，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a＜0），
∴对称轴是直线x＝﹣＝1，故A正确，不合题意．
由题意，当x＝1时，y＝a﹣2a+a﹣4＝﹣4，
∴顶点坐标是（1，﹣4），故B正确，不合题意．
又Δ＝4a2﹣4a（a﹣4）＝16a，
∵a＜0，
∴Δ＜0．
∴该抛物线与x轴没有交点，故C错误，符合题意．
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故D正确，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝41°，则∠BCD的大小为（　　）
A．41° B．45° C．49° D．59°
【点拨】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【解析】解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝41°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝49°；
∴∠BCD＝∠BAD＝49°．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
【点拨】首先根据抛物线关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，得到满足条件的三点（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2），然后再将点的坐标代入函数关系式得到三元一次方程组，求出a、b、c的值，最后求出当x＝2时的正确值即可．
【解析】解：由题意可知得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，
把三点的坐标代入函数解析式y＝ax2+bx+c中，
，
解得，
所以函数的解析式是y＝﹣3x2+1，
x＝2时y＝﹣11，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的知识，熟练掌握二次函数图象的对称性是解决本题的关键．
9．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点（点P与点A，B，C不重合），有下列结论：①当弦PB最长时，PA＝PC；②当∠ACP＝30°时，弦PB最长；③当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC；④当PO⊥AB时，∠ACP＝30°，其中正确结论的个数是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【点拨】①正确．证明∠ABP＝∠CBP＝30°，可得结论；②错误．分两种情形讨论说明即可；
③正确．分三种情形扫描即可；
④正确．利用垂径定理证明即可．
【解析】解：①如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA．
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
故本选项正确；
②如果点P在P2的位置．
∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形，
CP是⊙O的直径，BP不是最长的弦．当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图2．
如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形，
∴BP是⊙O的直径，即弦BP最长；故本选项错误．
③当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
a．如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合，所以PO⊥AC，正确；b．如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
c．如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确；
④当PO⊥AB时，PO平分AB，则PO垂直平分AB，
∴∠ACP＝30°；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的破的和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
10．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＞2h，则a＞0，m＞0 B．若x1+x2＜2h，则a＞0，m＜0
C．若a＞0，m＜0，则x1+x2＞2h D．若a＜0，m＜0，则x1+x2＞2h
【点拨】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解析】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，m＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴＞h，
∴x1+x2＞2h．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握函数与方程的关系．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．抛物线的的对称轴为直线x＝　2　．
【点拨】根据二次函数的对称轴公式求解即可．
【解析】解：对称轴为直线．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了二次函数的对称轴公式，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴公式：．
12．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，这些小球除颜色外无其它差别．小峰同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 　　．
【点拨】从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，其中是红球的有6种结果，
∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13．抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位，向下平移3个单位后经过点P（1，t），则t的值为 　0　．
【点拨】利用平移的规律求得平移后的抛物线的解析式，然后代入点P（1，t）求得t的值即可．
【解析】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移1个单位，向下平移3个单位后得到y＝（x﹣1+1）2+2﹣3，即y＝x2﹣1，
∵经过点P（1，t），
∴t＝12﹣1＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，掌握平移的规律是解题的关键．
14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，则树高PQ＝　6　m．
【点拨】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到PQ的长．
【解析】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝0.4m，BD＝0.2m，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴，
即，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．已知实数x，y满足x2+5x+y﹣2＝0，则x+y的最大值为 　6　．
【点拨】用x表示y，将y转化为x的二次代数式即可解决问题．
【解析】解：由题知，
y＝﹣x2﹣5x+2，
则x+y＝﹣x2﹣4x+2
＝﹣x2﹣4x﹣4+6
＝﹣（x+2）2+6．
则当x＝﹣2时，
x+y有最大值为：6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查二次函数的最值，能将x+y转化为x的二次代数式是解题的关键．
16．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝60°；②∠CED＝∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10．上述结论中正确的个数是 　2　．
【点拨】①根据等弧所对的圆心角所对得∠BOD＝60°；根据圆的对称性得∠BOE＝60°；故①正确；②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，故②错误；③根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得∠BMD＝30°，再根据三角形内角和即可得DM⊥CE；故③正确；④作C关于AB的对称点F，连接CF交AB于点N，连接DF交AB于点M，此时CM+DM的值最短，即为DF长，连接CD，根据圆周角定理得∠D＝60°，∠DFC＝30°，再由三角形内角和得∠FCD＝90°，再由圆周角定理得DF是⊙O的直径，即可得出CM+DM的最小值，故④正确．
【解析】解：①∵，
∴∠BOD＝60°；
又∵点E是点D关于AB的对称点，
∴∠BOE＝60°；故①正确；
②∵，故②错误；
③由M为AB上动点，D为定点，
∴DM不一定垂直于CE；故③错误；
④作C关于AB的对称点F，连接CF交AB于点N，连接DF交AB于点M，此时CM+DM的值最短，即为DF长，连接CD，
∵，
∴∠D＝60°，∠DFC＝30°，
∴∠FCD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴DF是⊙O的直径，
∵AB＝10，
∴DF＝10，
∴CM+DM＝DF＝10，故④正确．
故正确的个数为2个
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用—最短距离问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围．
【点拨】（1）把二次函数的解析式化为顶点式，然后问题可求解；
（2）根据二次函数的开口方向和增减性可进行求解．
【解析】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴a＝1＞0，则抛物线开口向上，
而抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2；
（2）令y＝0时，则有x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
由（1）可知：开口向上，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当y＜0时，则x的取值范围是1＜x＜3．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
18．在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同．
（1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率；
（2）从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率；
（3）向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？
【点拨】（1）根据概率公式计算，即可得到答案；
（2）根据概率公式计算，即可得到答案；
（3）设向袋中加黑球的数量为x，结合概率公式，通过求解分式方程，即可得到答案．
【解析】解：（1）根据题意，小球共3+3+2＝8个，
∴从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
∵白球3个，
∴从袋中随机地摸出1个球，摸出白球的概率＝；
（2）结合（1）的结论，得：从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
∵黑球2个，
∴从袋中随机地摸出1个球，摸出黑球的概率＝＝；
（3）设向袋中加黑球的数量为x，
∴从袋中随机地摸出1个球，共（8+x）种情况，
∵摸出红球的概率为，且红球3个，
∴＝，
∴x＝4，
∵x＝4时，8+x≠0，
∴x＝4是方程的解，
∴向袋中加4个黑球，可以使摸出红球的概率变为．
【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率和分式方程的性质，从而完成求解．
19．二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表．
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）观察表中信息，发现c＝ 　﹣3　，抛物线的对称轴为 　直线x＝1　；
（2）方程ax2+bx+c＝0的解为 　x＝﹣1或x＝3　；
（3）当0＜x＜3时，y的取值范围为 　﹣4≤y＜0　．
【点拨】（1）根据当x＝0时，y＝﹣3，可得c＝﹣3；根据对称性可求出对称轴；
（2）根据当y＝ax2+bx+c＝0时，x＝﹣1或x＝3即可得到答案；
（3）根据表格中的数据可判断出函数开口向上，进而可得当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜0．
【解析】解：（1）∵当x＝0时，y＝﹣3，
∴c＝﹣3；
∵当x＝0时和当x＝2时的函数值相同，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线，
故答案为：﹣3；直线x＝1；
（2）∵当y＝ax2+bx+c＝0时，x＝﹣1或x＝3，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1或x＝3，
故答案为：x＝﹣1或x＝3；
（3）顶点的纵坐标小于其它位置的纵坐标，即函数有最小值，
∴函数开口向上，
∴当0＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜0，
故答案为：﹣4≤y＜0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系，正确进行计算是解题关键．
20．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
【点拨】（1）根据：∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A即可解答．
（2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知＝，从而列出方程解出x的值．
【解析】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵AE＝4，AC＝9，
∴＝，
解得：x＝（负值舍去），
∴BD的长是．
【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于x轴于点A（﹣1，0），B（5，0），交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点P（m，y1），Q（m+2，y2）在该二次函数的图象上，当y1＞y2＞0时，求m的取值范围．
【点拨】（1）根据题意设函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），然后代入点C（0，2），利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征得到，解不等式组即可．
【解析】解：（1）由题意得y＝a（x+1）（x﹣5），
代入点C（0，2）得，﹣5a＝2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣5），
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵二次函数的表达式为y＝﹣x2+x+2；
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵点P（m，y1），Q（m+2，y2）在该二次函数的图象上，且y1＞y2＞0，
∴，
解得1＜m＜3．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二函数的性质是解答此题的关键．
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：△DBC是等腰三角形．
（2）若DA＝DF．
①求证：BC2＝DC BF．
②若⊙O的半径为5，BC＝6，求的值．
【点拨】（1）由题意易得∠BCD+∠BAD＝180°，则有∠EAD＝∠BCD，进而可得∠EAD＝∠DAC，则∠BCD＝∠CBD，然后问题可求证；
（2）①由题意易证△DAF∽△DBC，则有∠ADF＝∠BDC，进而可得∠DFA＝∠DCB，再由相似三角形的判定得出△FBC∽△BCD，利用其性质即可证明；
②连接DO交BC于G，由题意易得D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，进而可得DO⊥BC且BG＝GC＝3，则有DG＝4+OD＝9，由①得，根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定得出△AFD∽△BFC，利用其性质即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∵∠DAB+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠BCD＝∠CBD，
∴DB＝DC，
∴△DBC是等腰三角形；
（2）①证明：∵DA＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠DFA＝∠CBD＝∠BCD，
∴△DAF∽△DBC，
∴∠ADF＝∠BDC，
∴∠DFA＝∠DCB，
∵∠DBC＝∠FBC，
∴△FBC∽△BCD，
∴，
∴BC2＝BD BF，
∵DB＝DC，
∴BC2＝DC BF；
②解：⊙O的半径OB为5，BC＝6，如图，连接DO交BC于G，
∵BD＝DC，OB＝OC，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴DO⊥BC且BG＝GC＝BC＝×6＝3，
在Rt△BOG中，OG＝4，
∴DG＝4+OD＝9，
在Rt△BDG中，由勾股定理得：，
∵△FBC∽△BCD，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠BFC，
∴△AFD∽△BFC，
∴，
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y的取值范围是m≤y≤n，且满足n﹣m＝t（b﹣a），则称此函数为“t系郡园函数”．
（1）已知正比例函数y＝ax（1≤x≤4）为“1系郡园函数”，则a的值为多少？
（2）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+a2，当1≤x≤3时，y是“t系郡园函数”，求t的取值范围；
（3）已知一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，P（x，y）是函数y＝kx+1上的一点，若不论m取何值二次函数y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1的图象都不经过点P，求满足要求的点P的坐标．
【点拨】（1）在正比例函数y＝ax中，令x＝1得y＝a，令x＝4得y＝4a，①当a＞0时，4a﹣a＝1×（4﹣1），可得a＝1，②当a＜0时，a﹣4a＝1×（4﹣1），可得a＝﹣1；
（2）二次函数 y＝﹣x2+2ax+a2 的对称轴为直线x＝a，求出当x＝1时，y＝a2+2a﹣1，当x＝3时，y＝a2+6a﹣9，当x＝a，y＝2a2；①当a≥3时，（3﹣1）t＝n﹣m＝（a2+6a﹣9）﹣（a2+2a﹣1）＝4a﹣8，可得t＝2a﹣4，知2a﹣4≥2，故t≥2；②当2≤a＜3时，（3﹣1）t＝n﹣m＝2a2﹣（a2+2a﹣1）＝a2﹣2a+1，可得，故；③当1＜a＜2时，2t＝n﹣m＝a2﹣6a+9，同理得；④当a≤1时，同理得t≥2；
（3）根据一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，有（kb+1）﹣（ka+1）＝2（b﹣a），故k＝2，y＝2x+1，而y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1＝m（x2+x﹣2）﹣2x+1，可知抛物线过定点（1，﹣1），（﹣2，5），在y＝2x+1中，令x＝1得y＝3，令x＝﹣2得y＝﹣3，即得P为（1，3），（﹣2，﹣3），求出过点 （1，﹣1），（﹣2，5）的直线为y＝﹣2x+1，联立，可解得两直线y＝﹣2x+1，y＝2x+1相交于（0，1），又抛物线也不会过点（0，1），从而可知点P的坐标为（1，3），（﹣2，﹣3），（0，1）．
【解析】解：（1）在正比例函数y＝ax中，令x＝1得y＝a，令x＝4得y＝4a，
①当a＞0时，4a＞a，
∴4a﹣a＝1×（4﹣1），
解得a＝1，
②当a＜0时，a＞4a，
∴a﹣4a＝1×（4﹣1），
∴a＝﹣1，
综上所述，a的值是±1；
（2）二次函数 y＝﹣x2+2ax+a2 的对称轴为直线x＝a，
当x＝1时，y＝a2+2a﹣1，
当x＝3时，y＝a2+6a﹣9，
当x＝a，y＝2a2；
①当a≥3时，n＝a2+6a﹣9，m＝a2+2a﹣1，
∵y是“t系郡园函数”，
∴（3﹣1）t＝n﹣m＝（a2+6a﹣9）﹣（a2+2a﹣1）＝4a﹣8，
∴t＝2a﹣4，
∵a≥3，
∴2a﹣4≥2，
∴t≥2；
②当2≤a＜3时，n＝2a2，m＝a2+2a﹣1，
∴（3﹣1）t＝n﹣m＝2a2﹣（a2+2a﹣1）＝a2﹣2a+1，
∴，
∵2≤a＜3，
∴；
③当1＜a＜2时，n＝2a2，m＝a2+6a﹣9，
∴2t＝n﹣m＝a2﹣6a+9，
∴，
∴；
④当a≤1时，n＝a2+2a﹣1，m＝a2+6a﹣9，
∴2t＝n﹣m＝﹣4a+8，
∴t＝﹣2a+4，
∴t≥2，
综上所述，t的取值范围为；
（3）∵一次函数y＝kx+1（a≤x≤b且k＞0）为“2系郡园函数”，
∴（kb+1）﹣（ka+1）＝2（b﹣a），
解得k＝2，
∴一次函数解析式为y＝2x+1，
∵y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+1＝m（x2+x﹣2）﹣2x+1，
∴当x2+x﹣2＝0 时，y是定值，即函数图象过定点，
由x2+x﹣2＝0得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴y1＝﹣1，y2＝5，
∴抛物线过定点（1，﹣1），（﹣2，5），
在y＝2x+1中，令x＝1得y＝3，令x＝﹣2得y＝﹣3，
∴直线y＝2x+1过点（1，3），（﹣2，﹣3），
∴P为（1，3），（﹣2，﹣3），
由待定系数法知，过点 （1，﹣1），（﹣2，5）的直线为y＝﹣2x+1，
联立，
解得，
∴两直线y＝﹣2x+1，y＝2x+1相交于（0，1），
∴抛物线也不会过点（0，1），
∴点P的坐标为（1，3），（﹣2，﹣3），（0，1）．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂“t系郡园函数”的定义及分类讨论思想的应用．
24．在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．
（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．
①如图1，若BC＝AB，求∠AFD的度数；
②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．
（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．
【点拨】（1）①由矩形的性质和锐角三角函数定义得∠ABD＝60°，再由折叠的性质得AF＝AB，则△ABF是等边三角形，即可得出结论；
②由折叠的性质得BF⊥AE，EF＝EB，则BC＝2BE，再证△ABE∽△BCD，即可解决问题；
（2）分三种情况，a、证△CDE≌△B'AD（AAS），得DE＝AD＝4，再由勾股定理得CE＝4，即可解决问题；
b、证∠DAE＝∠AED，得DE＝AD＝4，再由勾股定理等CE＝4，即可得出结论；
c、E与C重合时，BE＝BC＝4．
【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵BC＝AB，
∴AD＝AB，
∴tan∠ABD＝＝，
∴∠ABD＝60°，
由折叠的性质得：AF＝AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠AFB＝60°，
∴∠AFD＝180°﹣∠AFB＝120°；
②由折叠的性质得：BF⊥AE，EF＝EB，
∴∠BGE＝90°，
∵EF＝EC，
∴EF＝EB＝EC，
∴BC＝2BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CBD＝90°，
∴∠BAE＝∠CBD，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴△ABE∽△BCD，
∴＝，即＝，
解得：BC＝4（负值已舍去），
即BC的长为4；
（2）当点E，C'，D三点共线时，分三种情况：
a、如图3，由②可知，BC＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝4，AD∥BC，
∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠B'DA，
由折叠的性质得：AB'＝AB＝4，∠B'＝∠ABC＝90°，
∴∠DCE＝∠B'，DC＝AB'，
∴△CDE≌△B'AD（AAS），
∴DE＝AD＝4，
∴CE＝＝＝4，
∴BE＝BC+CE＝4+4；
b、如图4，
由折叠的性质得：∠AEC'＝∠AEC，
∵∠BEC'＝∠DEC，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴DE＝AD＝4，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE＝＝＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣4；
c、E与C重合时，BE＝BC＝4；
综上所述，BE的长为4+4或4﹣4或4．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
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