【浙教版】2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（3）（含解析）

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2024-2025学年第一学期九年级数学期末模拟试卷（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．tan30°的值是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放动画片”是必然事件
B．“明天太阳从西边升起”是必然事件
C．“掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是5”是随机事件
D．“1个大气压下水加热到100℃时开始沸腾”是不可能事件
3．如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若DO＝2AO，AB＝3cm，则CD的长是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4．圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（　　）
A．6πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．πcm2
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
6．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．当x＝1时，y有最大值3
C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
7．如图，A，B，C是⊙O上的点，tanA＝，BC＝8，则圆的半径为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．
8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为12cm，像距为16cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
9．已知点（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，若y1＞y2，则必有（　　）
A．x1＞x2＞1 B．x1＜x2＜1 C．|x1﹣1|＜|x2﹣1| D．|x1﹣1|＞|x2﹣1|
10．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则＝　 　．
12．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝　 　°．
13．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 　 　．
14．如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则BC长为 　 　．
15．小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为：h＝﹣4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为 　 　m．
16．正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形ABCD（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形EFGH各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如AIK），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个图象的顶点坐标．
18．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下：
抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000
合格频数 42 88 141 176 445 724 901
合格频率 0.84 a 0.94 0.88 0.89 0.91 b
（1）计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率．
（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．
19．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
20．如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）之间满足关系式y＝ax2+x+c，当球运行的水平距离为1.5m时，球离地面高度为3.3m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
21．小刚和小强要测量建筑物AB的高度，小刚站在建筑物对面的教学楼前地面上一点C处，测得建筑物顶端A的仰角为58°，小强站在建筑物对面的教学楼二楼上的点D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，此时两人的水平距离EC为5m，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，E在同一条水平直线上，教学楼二楼上的点D所在的高度DE为10m，根据测得的数据，计算建筑物AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
22．如图， ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H．
①求证：AH CH＝DH GH；
②若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
23．已知抛物线y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）的顶点在y轴右侧．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；
（2）试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是Rt△ABC外接圆上的一点，且∠ACP＝45°．
（1）如图1，求证：AP＝BP；
（2）如图2，连接BP，AP．点M为AP上一点，过P作PD⊥BM于D点，求证：BD＝MD+AM；
（3）如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连PQ，AQ，BQ．求的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．tan30°的值是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解析】解：tan30°＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
2．下列说法正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放动画片”是必然事件
B．“明天太阳从西边升起”是必然事件
C．“掷一枚质地均匀的骰子一次，向上一面的点数是5”是随机事件
D．“1个大气压下水加热到100℃时开始沸腾”是不可能事件
【点拨】根据事件的分类，对每个选项逐个进行分类，判断每个选项是否为不可能事件．
【解析】解：A．“打开电视，正在播放动画片”是随机事件，此选项不符合题意；
B．“明天太阳从西边升起”是不可能事件，此选项不符合题意；
C．“掷一次质地均匀的骰子，向上一面的点数是5”是随机事件，此选项符合题意；
D．“1个大气压下水加热到100℃时开始沸腾”是必然事件，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，若DO＝2AO，AB＝3cm，则CD的长是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【点拨】首先根据AB∥CD可得出△OAB和△ODC相似，然后利用相似三角形的性质可求出CD的长．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，
∵DO＝2AO，AB＝3cm，
∴，
∴CD＝6（cm），
故选：D．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
4．圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（　　）
A．6πcm2 B．3πcm2 C．9πcm2 D．πcm2
【点拨】根据扇形的面积公式S＝计算可得答案．
【解析】解：扇形的面积公式＝＝3πcm2，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形的面积公式．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【点拨】由旋转性质知△ABC≌△DEC，据此得∠ACB＝∠DCE＝30°、AC＝DC，继而可得答案．
【解析】解：由题意知△ABC≌△DEC，
则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
6．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下 B．当x＝1时，y有最大值3
C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．函数图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0）
【点拨】由抛物线解析式可直接得出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，可判断A、B、D，令y＝0，解关于x的一元二次方程则可求得答案．
【解析】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
故A正确，不符合题意；
∴当x＝1时，y有最大值，最大值为4，
故B不正确，符合题意；
当x＜1时，y随x的增大而增大，
故C正确，不符合题意；
令y＝0可得﹣（x﹣1）2+4＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
故C正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
7．如图，A，B，C是⊙O上的点，tanA＝，BC＝8，则圆的半径为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．
【点拨】接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，根据垂径定理及圆周角定理求出BD＝4，∠A＝∠BOD，解直角三角形求出OD＝3，根据勾股定理求解即可．
【解析】解：如图，连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝BC＝4，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠BOD＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝∠BOD，
∴tan∠BOD＝tanA＝，
∴＝，
∴OD＝3，
∴OB＝＝5，
∴圆的半径为5，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
8．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为12cm，像距为16cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【点拨】依题意，△ABO∽△DCO，根据物距为12cm，像距为16cm，得，即可作答．
【解析】解：如图，连接AB、CD：
依题意，△ABO∽△DCO，
∵物距为12cm，像距为16cm，
∴，
∵蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，
∴，
∴AB＝6cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
9．已知点（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，若y1＞y2，则必有（　　）
A．x1＞x2＞1 B．x1＜x2＜1 C．|x1﹣1|＜|x2﹣1| D．|x1﹣1|＞|x2﹣1|
【点拨】由抛物线的解析式得到开口向上，对称轴为直线x＝1，然后判断A、B两点到对称轴的距离即可得出结论．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），
∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上，y1＞y2，
∴A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）到对称轴的距离，
∴|x1﹣1|＞|x2﹣1|．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
10．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解析】解：∵F为的中点，
∴＝，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴＝，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴的度数+的度数＝180°，
∴+＝+＝+＝+，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．若，则＝　　．
【点拨】设x＝2k，y＝7k，再求出答案即可．
【解析】解：设x＝2k，y＝7k，
则
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果＝，那么ad＝bc．
12．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝　55　°．
【点拨】设AB与CD相交于点E，根据垂直定义可得∠DEB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角可得互余∠B＝55°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠B＝55°，即可解答．
【解析】解：设AB与CD相交于点E，
∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径），
∴AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，
∴∠C＝∠B＝55°，
故选：55．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．
13．衣橱里挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 　　．
【点拨】画树状图，共有9种等可能结果，其中它们取自同一套的有3种可能，再由概率公式求解即可．
【解析】解：令3件上衣分别为A、B、C，对应的裤子分别为a、b、c，
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中取自同一套的有3种可能，
所以它们取自同一套的概率为＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图，把两张宽度都是5cm的纸条交错的叠在一起，相交成角α．则BC长为 　　．
【点拨】根据菱形的判定和性质定理以及三角函数的定义即可得到结论．
【解析】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠BCE＝α，
过B作BE⊥DC于E，
∵BE＝5，
∵∠ABE＝α，
∴BC＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，正确地找出辅助线是解题的关键．
15．小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为：h＝﹣4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为 　9　m．
【点拨】a＝﹣4开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案．
【解析】解：∵h＝﹣4t2+12t，
a＝﹣4，b＝12，c＝0，
∴足球距地面的最大高度是：＝9m，
故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握二次函数的顶点坐标公式．
16．正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形ABCD（如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形EFGH各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如AIK），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是 　　．
【点拨】先利用勾股定理得到EH＝3，进而证明四边形EFGH是正方形，则可得到，过点K作KT⊥EH，延长TK分别交PQ，FG于L、S，则，利用勾股定理得到；证明四边形TSGH是矩 形，得到，由对称性可知 则，证明四边形MQLK是矩形，得到 ，∠TKM＝90°；如图所示，过点M作 MW⊥EH于W，则四边形TKMW是矩形，可得 ，再证明，得 ，则即点H，M之间的距 ．
【解析】解：∵点E，F是正方形ABCD边AB，AD，
∴AE＝AH＝3，
∴∠AEH＝∠AHE＝45° ，
同理可得∠DHG＝45°，∴EH＝HG＝FG＝EF，∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，四边形EFGH各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形，
∴，
如图所示，过点K作KT⊥EH，延长TK分别交 PQ，FG于L、S，
∴，
∴；
∵THG＝∠HJS＝∠HTS＝90°，
∴四边形TSGH是矩形，
∴，
由对称性可知 ，
∴，
∵K、L分别为正方形NMQP边MN，PQ的中点，
∴MK＝QL，MK∥QL，
∴四边形MQLK是矩形，
∴，∠TKM＝90°，
如图所示，过点M作MW⊥EH于W，则四边形TKMW是矩形，
∴，
∵EJ＝HI，TJ＝TI，，
∴，
∴，
∴点H，M之间的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和矩形是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个图象的顶点坐标．
【点拨】（1）直接把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；
（2）利用配方法把y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣3）2﹣4，则根据二次函数的性质得到该抛物线的顶点坐标．
【解析】解：（1）根据题意得，解得，
所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
18．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频率表如下：
抽取件数 50 100 150 200 500 800 1000
合格频数 42 88 141 176 445 724 901
合格频率 0.84 a 0.94 0.88 0.89 0.91 b
（1）计算表中a，b的值并估计任抽一件衬衣是合格品的概率．
（2）估计出售2000件衬衣，其中次品大约有几件．
【点拨】（1）根据频率＝合格频数÷抽取件数可得a、b的值，再根据大量重复实验下，频率稳定的数值即可估计任抽一件衬衣是合格品的概率；
（2）用总数量×（1﹣合格的概率）列式计算即可．
【解析】解：（1）a＝88÷100＝0.88，b＝901÷1000＝0.901，
估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.90；
（2）次品的件数约为2000×（1﹣0.90）＝200（件）．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
19．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
【点拨】（1）连接BD，容易得到∠GBE和∠DBE相等，利用ASA证明△BGE和△BDE全等即可；
（2）连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，根据ED＝EG容易求出OE＝，再根据垂径定理求出AE的值，最后在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值即可．
【解析】（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∵∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，关键是结合勾股定理和全等三角形证明垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
20．如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）之间满足关系式y＝ax2+x+c，当球运行的水平距离为1.5m时，球离地面高度为3.3m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？
【点拨】利用待定系数法确定函数的解析式，然后配方成顶点式的形式即可确定答案．
【解析】解：依题意，抛物线y＝ax2+x+c经过点（1.5，3.3）和（4，3.05），∴，
解得，
∴y＝﹣0.2x2+x+2.25＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
∴当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度为3.5m．
【点睛】本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．
21．小刚和小强要测量建筑物AB的高度，小刚站在建筑物对面的教学楼前地面上一点C处，测得建筑物顶端A的仰角为58°，小强站在建筑物对面的教学楼二楼上的点D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，此时两人的水平距离EC为5m，已知点A，B，C，D，E在同一平面内，点B，C，E在同一条水平直线上，教学楼二楼上的点D所在的高度DE为10m，根据测得的数据，计算建筑物AB的高度．（结果保留整数）
参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
【点拨】作DF⊥AB于F，根据矩形的性质得到FB＝DE＝10m，DF＝BE，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．
【解析】解：由题意得∠ADF＝45°，∠ACB＝58°，CE＝5m，DE＝10m，
∴四边形BFDE是矩形，
∴FB＝DE＝10m，FD＝BE，
设AB＝x m，则AF＝（x﹣10）m，
在Rt△AFD中，，∠ADF＝45°，
∴FD＝＝＝（x﹣10）m，
在Rt△ABC中，，∠ACB＝58°，
∴，
∵FD＝BE，
∴，
解得 ．
答：建筑物AB的高度约为40m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．如图， ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AB；
（2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H．
①求证：AH CH＝DH GH；
②若AG＝2，FG＝6，求GH的长．
【点拨】（1）先根据AAS证明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根据平行线分线段成比例定理可得结论；
（2）①先根据（1）可得：AB＝AF＝8，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG＝GF＝6，证明△DCH∽△AGH，进而得证；
②利用△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的长．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
∴△CDE≌△FAE（AAS），
∴CE＝EF，
∵AE∥BC，
∴＝＝1，
∴AF＝AB；
（2）①证明：∵AG＝2，FG＝6，
∴AF＝FG+AG＝6+2＝8，
∴AB＝AF＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD，
∴∠F＝∠FCG，
∴CG＝FG＝6，
∵CD∥AF，
∴△DCH∽△AGH，
∴＝，
∴AH CH＝DH GH；
②解：由①得△DCH∽△AGH，
∴＝，即＝，
∴GH＝1.2．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键．
23．已知抛物线y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）的顶点在y轴右侧．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）；
（2）试说明无论a为何值．该抛物线一定经过一个定点，并求出这个定点的坐标；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【点拨】（1）直接用顶点的坐标公式，代值进行计算；
（2）将二次函数表达式进行因式分解，即可求解；
（3）由（2）可得二次函数图象与x轴交点坐标，设两交点分别为C，D，由于顶点在y轴右侧，所以顶点横坐标大于0，由此求得a＞1，所以CD＝a+1，由题意可得，A在x轴上方，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，所以CD≤3，否则，A点和交点不可能在x轴异侧，由此得到a+1≤3，即可求解．
【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣（x根据顶点坐标公式可得，
顶点的横坐标为：﹣＝，纵坐标为：＝，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（，）；
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a＝﹣[x2﹣（a﹣1）x﹣a]＝﹣（x+1）（x﹣a），
∴该抛物线一定经过定点（﹣1，0）；
（3）∵二次函数图象顶点在y轴右侧，
∴，
∴a＞1，
设二次函数图象与x轴交点分别为C，D，C在D左侧，
令y＝0，则﹣（x+1）（x﹣a）＝0，
∴x＝﹣1或a，
∴C（﹣1，0），D（a，0），
∴CD＝a+1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴A在CD上方，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，如图，
∴CD≤3，
∴a+1≤3，
∴a≤2，
∴1＜a≤2．
备注：a的范围还可以详述为：
由题意得：a＞1，
由n＞0得：﹣1＜m＜a，
则2＜m+3＜a+3，
∵抛物线和x＝m+3的交点在x轴的下方，
故m+3＞a，
即当m+3＞2时，都有m+3＞a成立，
故a≤2，
故1＜a≤2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的三种表现形式，二次函数的图象与x轴交点坐标问题，根据题意，理解A点和（m+3，0）两点之间的关系，是解决问题的突破口．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P是Rt△ABC外接圆上的一点，且∠ACP＝45°．
（1）如图1，求证：AP＝BP；
（2）如图2，连接BP，AP．点M为AP上一点，过P作PD⊥BM于D点，求证：BD＝MD+AM；
（3）如图3，点Q是上一动点（不与A，P重合），连PQ，AQ，BQ．求的值．
【点拨】（1）由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（2）作PE⊥AM，交AM的延长线于E，如图2，证明△PBD≌△PAE（AAS），由全等三角形的性质可得出PD＝PE，BD＝AE，证出四边形PDME为正方形，得出MD＝ME，则可得出结论；
（3）作PD⊥BQ于D，如图3，由（2）得BD＝DQ+AQ，证出△PDQ为等腰直角三角形，得出PQ＝DQ，则可得出答案．
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∵，
∴∠ACP＝∠ABP＝45°，
∴∠ABP＝∠BAP＝45°，
∴AP＝BP；
（2）证明：作PE⊥AM，交AM的延长线于E，如图2，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为直径，
∴∠AMB＝90°，
∵PD⊥BM，
∴四边形PDME为矩形，
在△PBD和△PAE中，
，
∴△PBD≌△PAE（AAS），
∴PD＝PE，BD＝AE，
∴四边形PDME为正方形，
∴MD＝ME，
∴BD＝AE＝ME+AM＝MD+AM；
（3）解：作PD⊥BQ于D，如图3，
由（2）得BD＝DQ+AQ，
∴BQ﹣AQ＝BD+DQ﹣AQ＝DQ+AQ+DQ﹣AQ＝2DQ，
∴，
∵∠PQB＝∠PAB＝45°，
∴△PDQ为等腰直角三角形，
∴PQ＝DQ，
∴．
【点睛】本题考是圆的综合题，考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长是解题的关键．
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