2024-2025学年福建省福州市鼓楼区福州二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市鼓楼区福州二中高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设两个向量和，其中，，为实数若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，是的垂心若，，则( )
A. B. C. D.
3.设，，为实数，，记集合，若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
4.在棱长为的正方体中，为正方形的中心，，，分别为，，的中点，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足：，且当时，，若存在实数，使得关于的方程有且仅有四个不等实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的奇函数，满足，当时，，若函数，在区间上有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是( )
A.
B. 多面体的体积为定值
C. 侧面上存在点，使得
D. 直线与直线所成的角可能为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，函数则下列说法正确的是( )
A. 当时，函数有个零点
B. 当时，函数只有个零点
C. 当时，函数有个零点
D. 存在实数，使得函数没有零点
10.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则( )
A. 球与圆柱的表面积之比为：
B. 平面截得球的截面面积最小值为
C. 四面体的体积的取值范围为
D. 若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
11.当时，不等式成立．若，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数满足，且在区间上恰有两个最值，则实数的取值范围为______．
13.已知为锐角三角形的外心，若，，则的最大值______．
14.已知，，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据．成绩分为，，，，五个等级等级，，，，分别对应分，分，分，分，分某班学生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为的考生有人．
求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为的人数；
若该班共有人得分大于分，其中有人分，人分，人分．从这人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为，求．
从该班得分大于分的人中选人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止．通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是，，，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？只需写出结论
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别记作，，已知的周长为，且有．
求的面积；
设内心为，外心为，，求外接圆半径．
注：在中，有，其中和分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
17.本小题分
已知函数的定义域为，实数和满足，若在区间上不存在最小值，则称在上具有性质．
若，判断函数在下列区间上是否具有性质；；；
若对任意实数都成立，当时，，若在区间上具有性质，求实数的取值范围；
对于满足的任意实数和，在区间上都有性质，且对于任意，当时，均满足设，，试判断数列的单调性，并说明理由．
18.本小题分
某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐不计厚度，长度单位：米，其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，为圆柱的高，为球的半径，假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元设该储油罐的建造费用为千元．
写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
求该储油罐的建造费用最小时的的值．
19.本小题分
如图，已知三棱柱，平面平面，，，，点、分别是棱、的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求直线与平面所成角的余弦值．
Ⅲ求二面角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由直方图可知，数学素养能力测试为的频率是，
故该班“数学素养能力测试”的科目平均分为，
语文素养能力测试为的频率是，故而该班有人．
所以，“数学素养能力测试”科目成绩为的人数人．
依题：的取值可为，，，，，．
，，，
，，，
，
．
乙，甲，丙．
16.解：因为，
整理可得：，
即，
解得；
可知内切圆的半径为，则，可得，
连接、，设，则，
不妨设外接圆半径为，则，
由角度关系可得，
所以，
整理：，
右式，
由于，
因此，解得．
17.解：，对称轴为，
当时，有最小值，不具有性质；
当时，递增，无最小值，具有性质．
由题知，当时，，
则当，即时，，
所以当时，，
所以，
那么，当时，无最小值，符合题意；
当时，需满足，即，解得；
当时，无最小值，符合题意．
综上所述，．
由在区间上都有性质，
则在，上，且，
又，所以，
即，
对于，因，
令，因，
所以，
所以，
即，
所以数列是单调递增的．
18.解：，
分
分
，
上是增函数 分
当时，储油罐的建造费用最小．分
19.Ⅰ证明：连接，如图所示，
因为，点是棱的中点，所以，
又平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以，
以点为坐标原点，平面内过点作的垂线为轴，、所在直线分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知，，，点、分别是棱、的中点，
设，则，，，
所以点到轴的距离为，点到轴的距离为，
则，，，
，，，
所以，，
因为，所以．
Ⅱ解：设直线与平面所成角为，
由Ⅰ得，，，
所以，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以，，
所以，
又，所以，
故直线与平面所成角的余弦值为．
Ⅲ解：由Ⅰ知平面的法向量为，
设二面角的平面角为，由图知为锐角，
因为，
又为锐角，所以，
故二面角的正弦值为．
第1页，共1页