2024-2025学年北京五十中分校高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京五十中分校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
5.如图，在四面体中，，，点在上，且，为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.圆与圆的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
7.已知空间中四点，，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知点，，若直线：与线段相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体如图，已知一个正八面体的棱长为，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线与的交点坐标为______．
12.已知向量，，且，则的值为______．
13.已知方程表示半径为的圆，则实数________．
14.若，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则______．
15.如图，已知正方体的棱长为，点是内包括边界的动点，则下列结论中正确的序号是______填所有正确结论的序号
若，则平面；
若，则直线与所成角的余弦值为；
若，则的最大值为；
若平面与正方体各个面都相交，且，则截面多边形的周长一定为．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知．
求的值；
若，求实数的值．
17.本小题分
已知是正方体，点为的中点，点为的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知顶点、、．
求边的垂直平分线的方程；
若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
19.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ若圆与直线：交于，两点，_____，求的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件：；条件：．
20.本小题分
如图，菱形中，，，于将沿翻折到，使，如图．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ设为线段上一点，若平面，求的值．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆：及点，．
若直线平行于，与圆相切，求直线的方程；
在圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由；
对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
参考答案
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16.解：已知，
则，则；
因为，则，
又，，
则，化简整理可得，，解得．
17.证明：依题意以为原点，，，所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体棱长为，
则，，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
所以，
，
所以，所以．
解：因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，令，则，，
所以，
，
因为二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
18.解：由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即；
当直线过坐标原点时，，此时直线：，符合题意；
综上所述，直线的方程为或．
19.解：Ⅰ设圆心坐标为，半径为．
圆的圆心在直线上，．
又圆与轴相切于点，，．
圆的圆心坐标为，．
则圆的方程为；
Ⅱ如果选择条件，
，，
圆心到直线的距离．
则，解得或．
如果选择条件，
，，
圆心到直线的距离．
则，解得或．
20.Ⅰ证明：在菱形中，因为，
所以，，所以．
因为，，，平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
Ⅱ解：由Ⅰ知，，，如图建立空间直角坐标系，
则，，， ，，
所以，，．
设平面的法向量，
由，得，所以．
令，则，，
所以，所以．
又，，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
Ⅲ由Ⅱ可知，，，
设，则．
因为平面，所以，
即，
所以，即，所以．
21.解：圆：，可得，，半径为，
平行于，点，，可得，
设直线的方程为，
则圆心到直线之距，解得，
直线的方程为或．
假设圆上存在点，设，则，
又，即，
，
则圆与圆相交，点的个数为．
对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，
设点，，，由于点是线段的中点，则，
又，都在半径为的圆上，
，，即，
由方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，
对恒成立，
又，且，解得，
又在圆外，恒成立，
，即，
的半径的取值范围为．
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