湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省长沙市芙蓉高级中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4,5,6,7}， = {2,3,6,7}， = {2,3,4,5}，则 ∩ ( ) =( )
A. {6,7} B. {1,7} C. {1,6} D. {1,6,7}
1 1
2.不等式( )( ) > 0的解集是( )
2 3
1 1 1
A. { | < < } B. { | > }
3 2 2
1 1 1
C. { | < } D. { | < 或 > }
3 3 2
√ 9 2
3.函数 ( ) = 的定义域是( )
1
A. [ 3,3] B. ( 3,3) C. ( 3,1) ∪ (1,3) D. [ 3,1) ∪ (1,3]
4.下列函数中，在(0,+∞)上为增函数的是( )
1
A. ( ) = 3 B. ( ) = 2 3 C. ( ) = D. ( ) = | |

3 + 5, ≤ 1
5.已知函数 ( ) = { ，则 [ (2)]的值为( )
2 2 + 8, > 1
A. 11 B. 0 C. 5 D. 4
2 7, ≤ 1
6.已知函数 ( ) = { 是( ∞,+∞)上的增函数，则 的取值范围是( )
, > 1

A. [ 4,0) B. [ 4, 2] C. ( ∞, 2] D. ( ∞,0)
7.已知命题 ： ∈ ， 2 + 2 + 3 > 0为真命题，则实数 的取值范围是( )
1 1 1 1
A. { |0 < ≤ } B. { |0 < < } C. { | ≥ } D. { | > }
2 3 3 3
8.已知函数 ( )是定义域为 的奇函数，且 ( )在[0,+∞)上单调递增.若 (3 + ) + (3 7) > 0，则 的
取值范围为( )
A. ( ∞, 0) B. (0,+∞) C. ( ∞, 1) D. (1,+∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 > > > ，则下列不等式恒成立的是( )
A. > B. + > + C. > D. >
10.已知命题 ： 2 5 + 4 ≤ 0，则命题 成立的一个充分不必要条件是( )
A. 1 ≤ < 2 B. 2 < ≤ 4 C. 1 ≤ D. ≤ 4
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11.已知定义域为 的函数 ( )的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ∈ ， ( ) = ( )；② 1，
( ) ( )
2 ∈ (0,+∞)，当 1 ≠ 2时，都有
2 1 > 0；③ ( 1) = 0，则下列说法正确的是( )
2 1
A. (3) > ( 4)
B. 若 ( 1) < (2)，则 ∈ ( ∞,3)
( )
C. 若 > 0，则 ∈ ( 1,0) ∪ (1,+∞)

D. ∈ ，使得对 ∈ ， ( ) ≥ 恒成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 = ( )的图象如图所示，则函数 ( )的单调递增区间是 ．
13.函数 ( ) = 4√ + ，当0 ≤ ≤ 9时， ( ) ≥ 1恒成立，则实数 的取值范围为______．
14.已知 ( ) = 5 + 3 + 16，且 ( 2) = 10，则 (2) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设集合 = { | 2 < < 3}， = { |3 < ≤ + 1}．
(1)若 ≠ 且 ，求 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题12分)
在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年
固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完，每万台
180 , 0 < ≤ 20
的销售收入 ( )(万元)与年产量 (万台)满足如下关系式： ( ) = { 2000 800070 + , > 20．
( 1)
(1)写出年利润 ( )(万元)关于年产量 (万台)的函数解析式(利润=销售收入 成本)
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
17.(本小题12分)
+ 1 1
已知函数 ( ) = 2 ( , ∈ )，且 (1) = , (2) = ． +4 5 4
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(1)求 和 的值；
(2)判断 ( )在[2,+∞)上的单调性，并根据定义证明．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + + ，满足 (0) = (1) = 1．
(1)求 ， 值；
(2)在[ 1,1]上，函数 ( )的图象总在一次函数 = 2 + 的图象的上方，试确定实数 的取值范围；
(3)设当 ∈ [ , + 2]( ∈ )时，函数 ( )的最小值为 ( )，求 ( )的解析式．
19.(本小题12分)
已知函数 = ( )的定义域为 ，且对任意 ， ∈ ，都有 ( + ) = ( ) + ( )，且当 > 0时， ( ) < 0
恒成立．
(1)证明函数 = ( )在 上的单调性；
(2)讨论函数 = ( )的奇偶性；
(3)若 ( 2 2) + ( ) < 0，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( ∞, 1]和(1,+∞)
13.【答案】 ≥ 5
14.【答案】 42
15.【答案】解：(1)由题意，集合 = { | 2 < < 3}，
因为 ≠ 且 ，
3 < + 1
所以{3 ≥ 2 ，
+ 1 < 3
2 1
解得 ≤ < ，
3 2
2 1
综上所述，实数 的取值范围为[ , )；
3 2
(2)由题意，需分为 = 和 ≠ 两种情形进行讨论：
当 = 时，3 ≥ + 1，
1
解得 ≥ ，满足题意；
2
当 ≠ 时，
因为 ∩ = ，
+ 1 ≤ 2
所以{ ，解得 ≤ 3，
3 < + 1
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3 ≥ 3
或{ ，无解，
3 < + 1
1
综上所述，实数 的取值范围为( ∞, 3] ∪ [ , +∞)．
2
180 , 0 < ≤ 20
16.【答案】解：(1)因为 ( ) = { 2000 8000 ，
70 + , > 20
( 1)
50 + 90 2, 0 < ≤ 20
所以 ( ) = ( ) 50 90 = { 8000 ；
20 + 1950 , > 20
( 1)
(2)当0 < ≤ 20时， ( ) = 50 + 90 2 = ( 45)2 + 1975，
由函数性质可知当 ≤ 45时单调递增，所以当 = 20时， ( ) = 1350，
8000 400
当 > 20时， ( ) = 20 + 1950 = 20[( 1) + ] + 1930，
( 1) 1
400 400
由不等式性质可知 ( ) = 20[( 1) + ] + 1930 ≤ 20 × 2 × √ ( 1) + 1930 = 1130，
1 1
400
当且仅当 1 = ，即 = 21时，等号成立，所以 ( ) = 1130，
1
综上当 = 20时， ( ) = 1350．
1 1
17.【答案】解(1)因为 (1) = , (2) = ，
5 4
+ 1
=
所以{ 5 5 ，解得 = 1， = 0，
2 + 1
=
8 4
即 ， 的值分别为1，0；

(2)由(1)知： ( ) = 2 ， +4
( )在[2,+∞)上的单调递减，
证明如下：
在[2,+∞)上任取 1， 2，且2 ≤ 1 < 2，
2+4 2 4 ( 4)( )
( 1) (
1
2) = 2
2 = 1 2 1 2 1 2 = 1 2 2 1 ，
1+4
2
2+4 (
2
1+4)(
2
2+4) (
2
1+4)(
2
2+4)
因为2 ≤ 1 < 2，
所以 > 0， 4 > 0，( 22 1 1 2 1 + 4)(
2
2 + 4) > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，所以 ( 1) > ( 2)，
即证得 ( )在[2,+∞)上的单调递减．
18.【答案】解：(1)根据题意，因为二次函数 ( ) = 2 + + 满足 (0) = (1) = 1，
= 1 = 1
则{ ，解得{ ．
1 + + = 1 = 1
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(2)由(1)可知： ( ) = 2 + 1，
若在[ 1,1]上，函数 ( )的图象总在一次函数 = 2 + 的图象的上方，
则 2 + 1 > 2 + 在[ 1,1]上恒成立，即 2 3 + 1 > 在[ 1,1]上恒成立，
3
因为 = 2 3 + 1开口向上，对称轴为 = ，
2
可知 = 2 3 + 1在[ 1,1]上单调递减，则 = | =1 = 1，可得 < 1，
所以实数 的取值范围为( ∞, 1)．
(3)因为 ( ) = 2
1
+ 1是对称轴为 = ，开口向上的二次函数，
2
1
当 ≥ 时， ( )在[ , + 2]上单调递增，则 ( ) = ( ) = 2 + 1；
2
1 3
当 + 2 ≤ ，即 ≤ 时， ( )在[ , + 2]上单调递减，则 ( ) = ( + 2) = 2 + 3 + 3；
2 2
1 3 1 1
当 < < + 2，即 < < 0时， ( )在[ , ]上单调递减，在( , + 2]上单调递增，
2 2 2 2
1 3
可知 ( ) = ( ) = ；
2 4
2
1
+ 1, ≥
23 3 1
综上所述： ( ) = , < < ．
4 2 2
2 3
{ + 3 + 3, ≤ 2
19.【答案】解：(1)证明：设 1 > 2，则 1 2 > 0，
而 ( + ) = ( ) + ( )
∴ ( 1) ( 2) = [( 1 2) + 2] ( 2)
= ( 1 2) + ( 2) ( 2)
= ( 1 2)，
又当 > 0时， ( ) < 0恒成立，即 ( 1 2) < 0，
∴ ( 1) < ( 2)，
∴函数 = ( )是 上的减函数；
(2)由 ( + ) = ( ) + ( )，
令 = = 0可得 (0) = (0) + (0)，
解得 (0) = 0，
令 = , = 可得 ( ) = ( ) + ( )，
即 ( ) + ( ) = (0)，而 (0) = 0，
∴ ( ) = ( )，
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即函数 = ( )是奇函数．
(3)(方法一)由 ( 2 2) + ( ) < 0，
得 ( 2 2) < ( )，
又 = ( )是奇函数，
即 ( 2 2) < ( )，
又 = ( )在 上是减函数，
∴ 2 2 > 解得 > 1或 < 2．
故 的取值范围是{ | > 1或 < 2}．
(方法二)由 ( 2 2) + ( ) < 0且 (0) = 0，
得 ( 2 2 + ) < (0)，
又 = ( )在 上是减函数，
∴ 2 2 + > 0，
解得 > 1或 < 2．
故 的取值范围是{ | > 1或 < 2}．
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