福建省莆田市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

福建省莆田市第一中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | ≤ 1}， = { | ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. (0,1] B. [0,1) C. (0, +∞) D.
2.已知命题 ： < 0， + 3 > 2 ，则￢ 是( )
A. < 0， + 3 > 2 B. ≥ 0， + 3 > 2
C. < 0， + 3 ≤ 2 D. ≥ 0， + 3 ≤ 2
3.已知 = 30.8， = 40.8， = 30.7，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.用[ ]表示不大于实数 的整数，例如，[ 3.5] = 4，[2.1] = 2，则[ ] > [ ]是 > 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要
1
5.函数 ( ) = | | + 的大致图象是( )

A. B.
C. D.
6.给定数集 = ， = ( ∞, 0)， ， 满足方程 2 + = 0，下列对应关系 为函数的是( )
A. ： → ， = ( ) B. ： → ， = ( )
C. ： → ， = ( ) D. ： → ， = ( )
2 2, ≥
7.函数 ( ) = { 为 上的增函数，则实数 的取值范围是( )
(2 ) + 1, <
1
A. [0,2) B. [1,2) C. [0,1] D. [ , 1]
3
8.若定义在 上的函数 ( ) = + 的最小值为2，则不等式 ( ) > (2 1)的解集为( )
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1 1
A. ( , 1) B. ( ∞, ) ∪ (1, +∞)
3 3
1 1 1 1
C. ( , ) D. ( ∞, ) ∪ ( , +∞)
3 3 3 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
2+1
A. 函数 ( ) = ( ≥ 2)最小值为2

1 2
B. 函数 ( ) = ( ) 2 在[1, +∞)上单调递减
2
C. 无论 取何值，函数 ( ) = 2 + 1( > 0且 ≠ 1)恒过定点(2,2)
D. 若函数 ( )定义域为[1,2]，则 ( + 1)定义域为[2,3]
10.已知函数 ( )为 上的奇函数，且 ≥ 0时， ( ) = 2 + 2 + ，则( )
A. (1) = 1 B. 当 < 0时， ( ) = 2 + 2
C. 当0 < < 1时， ( ) > (√ ) D. 当1 < < 2时， ( ) < ( 2)
11.已知函数 ( )对任意实数 均满足2 ( ) + ( 2 1) = 1，则( )
A. ( )为偶函数 B. (√ 2) = 1
1
C. ( 1) = D. 函数 ( )在区间(√ 2, √ 3)上不单调
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知幂函数 = ( )的图象过点(2, √ 2)，则 (9) =______．
13.已知 > 0， > 0，且 = 4 + + 5，则 的最小值是 ．
14.函数 ：{1,2,3} → {1,2,3}满足 ( ( )) = ( )，则这样的函数个数共有______个.
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
√ 3√
(1)将根式 4 ( > 0)化简为指数式；
√ 2
1 7 2 24
(2)求值：(1.5) 3 × ( )0 + 80.25 × √2 + (√ 5 + 2) 1 √ ( )3；
6 3
3
1 1 2
3
+ 2
(3)已知 2 2 = 1，求 1 1的值．
2+ 2
16.(本小题12分)
为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：
第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；
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第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元的部．分．打8折；
第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，但不超过500元的部．分．打8折，超过500元的部．
分．打7折．
若某顾客一次性购买商品金额为 元，实际支付金额为 元．
(1)求 关于 的函数解析式；
450
(2)若顾客甲、乙购买商品金额分别为 、 元，且 、 满足关系式 = + + 320( ≥ 90)，为享受最
85
大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多
少钱？
17.(本小题12分)
2
已知函数 ( ) = 1
2
．
+1
(1)判断并证明函数 ( )的奇偶性；
(2)讨论 ( )的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若对任意的实数 ， (4 ) + (4 × 2 ) > 0恒成立，求实数 的范围．
18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 2， ( ) = 2| 1|，函数 ( ) = { ( ), ( )}，其中 { , } =
, ≤ ,
{ , ≥ .
(1)若 ( ) ≤ 0的解集为{ |0 ≤ ≤ 1}，求 的值；
(2)若 ≥ 6，
( )求使得 ( ) = ( )成立的 的取值范围；
( )求 ( )在区间[0,6]上的最大值 ( )．
19.(本小题12分)
已知 ( )是定义在 上的函数，若对任意的 1， 2 ∈ ， 1 2 ∈ ，均有 ( 1) ( 2) ∈ ，则称 ( )是 关
联．
(1)判断和证明 ( ) = 2 + 1是否是[0, +∞)关联？是否是[0,1]关联？
(2)若 ( )是{3}关联，当 ∈ [0,3)时， ( ) = 2 2 ，解不等式2 ≤ ( ) ≤ 3；
(3)证明：“ ( )是{1}关联，且是[0, +∞)关联”的充要条件是“ ( )是[1,2]关联”．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】25
14.【答案】10
4 1
√ 3√ ( 3)2 1
15.【答案】解：(1) 64 = 1 = ；
√ 2 2
1 7 2
(2)(1.5) 3 × ( )0 + 80.25
4 2
× √2 + (√ 5 + 2) 1 √ ( )3
6 3
2 1 3 1 1 2 1
= ( )3 + 2 +4 4 + ( )3 = 2 + √ 5 2 = √ 5；
3 √ 5+2 3
1 1
(3) ∵ 2 2 = 1，
3
2
3 1 1 1 1
+ 2 ( 2+ 2

)( + 1 2 2) 1 1
∴ 1 1 = 1 1 = 1 +
1 = ( 2 2)2 + 1 = 12 + 1 = 2．

2+ 2 2+ 2
16.【答案】解：(1)根据题意可得：当0 < ≤ 300时， = ；
当300 < ≤ 500时， = 300 + 0.8( 300) = 0.8 + 60；
当 > 500时， = 300 + 0.8(500 300) + 0.7( 500) = 0.7 + 110，
, 0 < ≤ 300
综合可得 = {0.8 + 60, 300 < ≤ 500；
0.7 + 110, > 500
450
(2)因为式 = + + 320( ≥ 90)，
85
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所以甲乙购买商品的金额之和为：
450
+ = 2 + + 320( ≥ 90)，
85
450 450
而 + = 2 + + 320 = 2( 85) + + 320 + 170
85 85
450
≥ 2√ 2( 85) + 490 = 550(元)，
85
450
当且仅当2( 85) = ，即 = 100， = 550 = 450时，等号成立，
85
因为550 > 500，所以拼单后实付总金额 = 0.7 × 550 + 110 = 495(元)，
所以当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元．
17.【答案】解：(1) ( )是奇函数，证明如下：
2 1
( )的定义域为 ，关于原点对称， ( ) =
2
，
+1
2 1 1 2 2 1
则 ( ) = = = = ( )，
2 +1 1+2 2 +1
所以 ( )为奇函数．
(2) ( )为( ∞, +∞)上的增函数．
证明：任取 1 2 1 21， 2 ∈ ( ∞, +∞)，且 1 < 2，所以2 2 < 0, 2 + 1 > 0，2 + 1 > 0，
2 2 2(2 1 2 2)
则 ( 1) ( 2) = = < 0， 2 2+1 2 1+1 (2 1+1)(2 2+1)
即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在( ∞, +∞)上单调递增．
(3)由(1)(2)可知 ( )为奇函数，且在 上为增函数，
所以 (4 ) > (4 × 2 ) = ( 2 4)恒成立，
所以4 > 2 4恒成立，令 = 2 ( > 0)，则 2 + 4 > 0，
2+4 4
即 < = + 恒成立，

4 4
因为 + ≥ 2√ = 4，当且仅当 = 2，即 = 1取等号，

所以 的范围为{ | < 4}．
18.【答案】解：(1)依题意得 = 0，1为方程 2 + 2 2 = 0的两个根，
则2 2 = 0，即 = 1，此时不等式 2 ≤ 0的解集恰为[0,1]符合题意；
(2)( ) ( ) = 2 + 2 2， ( ) = 2| 1|，
因为 ≥ 6，又 ( ) = { ( ), ( )} = ( )，
①当 ≥ 1时， 2 + 2 2 ≤ 2 2，所以 2 ( + 2) + 2 ≤ 0，
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即( 2)( ) ≤ 0，解得 ∈ [2, ]；
②当 < 1时， 2 + 2 2 ≤ 2 2 ，所以 2 + (2 )( 2) ≤ 0，
因为2 > 0， 2 > 0， 2 ≥ 0，所以 2 + (2 )( 2) > 0，
所以 2 + 2 2 ≤ 2 2 无解，
综上所述： 的取值范围是[2, ]；
( ), 0 ≤ < 2
( )由( )可知： ( ) = { ，
( ), 2 ≤ ≤ 6
2 2 , 0 ≤ < 1
当0 ≤ < 2时， ( ) = { ，所以 ( ) = (0) = 2，所以 ( )2 2,1 ≤ < 2
= 2；

当2 ≤ ≤ 6时， ( )的对称轴为 = ≥ 3，所以 ( ) = { (2), (6)} = {2,34 4 }， 2
34 4 , 6 ≤ ≠ 8
令34 4 = 2， = 8，所以 ( ) = { ， 2, ≥ 8
34 4 , 6 ≤ < 8
综上 ( ) = { ．
2, ≥ 8
19.【答案】解：(1) ( ) = 2 1在[0, +∞)关联；在[0,1]不关联；
证明：任取 2 1 ∈ [0, +∞)，则 ( 2) ( 1) = 2( 2 1) ∈ [0, +∞)，
∴ ( ) = 2 1在[0, +∞)关联；
取 1 = 0， 2 = 1，则 2 1 = 1 ∈ [0,1]，
∵ ( 2) ( 1) = 2( 2 1) = 2 [0,1]，
∴ ( ) = 2 1在[0,1]不关联；
(2) ∵ ( )是{3}关联的，
∴对于任意 2 1 = 3，都有 ( 2) ( 1) = 3，
∴对任意 ，都有 ( + 3) ( ) = 3，
∵ ∈ [0,3)时， ( ) = 2 2 ，
∴ ( )在 ∈ [0,3)的值域为[ 1,3)，
∴ ( )在 ∈ [3,6)的值域为[2,6)，
∴ 2 ≤ ( ) ≤ 3仅在 ∈ [0,3)或 ∈ [3,6)上有解，
当 ∈ [0,3)时， ( ) = 2 2 ，
令2 ≤ 2 2 ≤ 3，解得√ 3 + 1 ≤ < 3；
当 ∈ [3,6)时， ( ) = ( 3) + 3 = 2 8 + 18，
令2 ≤ 2 8 + 18 ≤ 3，解得3 ≤ ≤ 5；
∴ 2 ≤ ( ) ≤ 3的解为[√ 3 + 1,5]；
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(3)①先证明：必要性：
即由 ( )是{1}关联的，且是在[0, +∞)关联的，
得出( )在[1,2]是关联的，
由已知条件可得， ( + 1) = ( ) + 1，
∴ ( + ) = ( ) + ， ∈ ，
又∵ ( )是在[0, +∞)关联的，
∴任意任取 2 > 1， ( 2) > ( 1)成立，
若1 ≤ 2 1 ≤ 2，
∴ 1 + 1 ≤ 2 ≤ 1 + 2，
∴ ( 1 + 1) ≤ ( 2) ≤ ( 1 + 2)，
即 ( 1) + 1 ≤ ( 2) ≤ ( 1) + 2，
∴ 1 ≤ ( 2) ( 1) ≤ 2，
∴ ( )是[1,2]关联，
②再证明充分性：
即由 ( )在[1,2]是关联的，得出 ( )是在{1}关联的，且是在[0, +∞)关联的，
∵ ( )是[1,2]关联，
∴任取 2 1 ∈ [1,2]，都有 ( 2) ( 1) ∈ [1,2]成立，
即满足1 ≤ 2 1 ≤ 2，都有1 ≤ ( 2) ( 1) ≤ 2，
下面用反证法证明 ( + 1) ( ) = 1，
若 ( + 1) ( ) > 1，则 ( + 2) ( ) = ( + 2) ( + 1) + ( + 1) ( ) > 2，
与 ( )在[1,2]是关联的矛盾，
若 ( + 1) ( ) < 1，而 ( )在[1,2]是关联的，则 ( + 1) ( ) ≥ 1，矛盾，
∴ ( + 1) ( ) = 1成立，即 ( )是在{1}关联的，
再证明 ( )是在[0, +∞)关联的，
任取 2 1 ∈ [ , +∞)( ∈ )，则存在 ∈ ，使得任取 2 1 ∈ [ , + 1]( ∈ )，
∵ 1 ≤ 2 ( 1) 1 ≤ 2，
∴ [ 2 ( 1)] ( 1) = ( 2) ( 1) ( 1) ∈ [1,2]，
∴ ( 2) ( 1) [ , + 1] [0, +∞)，
∴ ( )是在[0, +∞)关联的；
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综上所述， ( )是{1}关联的，且是在[0, +∞)关联的，当且仅当“ ( )在[1,2]是关联的”，
故得证．
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