高数人教A版（2019）选择必修第二册 5.2.2 导数的四则运算法则课件（23页ppt）

(共23张PPT)
选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.2 导数的四运算法则
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解并掌握函数的和、差、积、商的求导法则． 1.数学运算素养.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数法则求 函数的导数 ． 2.数学运算素养和逻辑思维素养.
温故知新
1.基本初等函数的导数公式
①若f (x)＝c（c为常数）,
则f '(x)＝0；
②若f (x)＝(α∈Q，且α≠0),
则f '(x)＝；
③若f (x)＝,
则f '(x)＝；
④若f (x)＝,
则f '(x)＝；
⑤若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝；
⑥若f (x)＝(a>0，且a≠1),
则f '(x)＝；
特别地，若f (x)＝,
则f '(x)＝.
温故知新
⑴求函数y=f(x)的导数；求函数y=f(x)的导数；
2.求过曲线y=f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程的基本步骤：
⑵代入P点的横坐标x0，得切线的斜率k;
⑶利用点斜式求得切线方程.
同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加、减形式的组合，组合后的函数，又如何求导，这将是我们本节课要学习的内容．
新知探究
设y=f(x)+g(x)=x2+x,
∵
在例2中，当p0=5时，p(t)=5×1.05t. 这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数. 一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢
设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′, 它们与f'(x)和g'(x)有什么关系 再取几组函数试试, 上述关系仍然成立吗 由此你能想到什么
.
.
∴[f(x)+g(x)]′.
新知探究
设y=f(x)+g(x)=x2+x,
而f'(x)=,g'(x)=(x)'=1,
在例2中，当p0=5时，p(t)=5×1.05t. 这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数. 一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢
设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x)+g(x)]′与[f(x)-g(x)]′, 它们与f'(x)和g'(x)有什么关系 再取几组函数试试, 上述关系仍然成立吗 由此你能想到什么
∴[f(x)+g(x)]′=f'(x)+g'(x).
同样地，对于上述函数，[f(x)-g(x)]′=f'(x)-g'(x).
知新探究
导数的运算法则1
一般地，对于两个函数和(或差)的导数，我们有如下法则：
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
和与差的运算法则可推广：
即:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差).
[f 1(x)±f 2(x)±…±fn (x)]′＝f 1′(x)±f2 ′(x)±…±f n′(x).
知新探究
【例1】求下列函数的导数：
⑴y＝x3－x＋3; ⑵ .
解：
⑴y′＝(x3－x＋3)′
＝(x3)′－(x)′＋(3)′＝3x2－1;
⑵y′＝(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′
＝2x ln 2－sin x．
初试身手
⑴y′＝(3x＋)′
=(3x)′＋()′＝3x ln 3＋;
1.求下列函数的导数:
⑴y＝3x＋ ⑵y＝lg x＋x-2－3.
解：
⑵y'=(lg x＋x-2－3)′
=(lg x)′＋(x-2)′－(3)′＝-2x-3．
知新探究
同样地，′与也不相等.
通过计算可知 [f(x) g(x)]′=(x3)′=3x2,
f′(x)g′(x)=2x 1=2x,
设f(x)=x2, g(x)=x, 计算[f(x) g(x)]′与f′(x)g′(x), 它们是否相等 f (x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商
因此 [f(x) g(x)]′≠ f′(x)g′(x).
知新探究
导数的运算法则2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
(g(x)≠0).
两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.
事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的积(或商)的导数，我们有如下法则：
两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数.
导数的运算法则3
知新探究
由函数的乘积的导数法则可以得出：
(f(x)≠0).
[cf(x)]′=cf′(x) .
由函数的商的导数法则可以得出：
[cf(x)]′=c′f(x)+cf′(x)= cf′(x) ；
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
即
.
知新探究
【例2】求下列函数的导数:
⑴; ⑵
解：
⑴y'=(x3ex)'
=3x2ex+x3ex.
=(x3)′ex+x3(ex)'
⑵y'=()'=
.
初试身手
⑴函数y＝是函数f (x)＝x2与g(x)＝ln x的商，
2.求下列函数的导数:
⑴y＝; ⑵y＝x2(ln x＋sin x)．
解：
根据导数公式表分别得出f ′(x)＝2x，g′(x)＝．
y'＝.
根据求导的除法法则，可得
初试身手
⑵函数y＝x2(ln x＋sin x)是函数f (x)＝x2与g(x)＝ln x＋sin x的积．
2.求下列函数的导数:
⑴y＝; ⑵y＝x2(ln x＋sin x)．
解：
根据导数公式表及求导的加法法则分别得出
y'＝[x2(ln x＋sin x)]′＝2x(ln x＋sin x)＋x2·
f ′(x)＝2x，g′(x)＝+cos x．
根据求导的乘法法则，可得
＝x＋2x ln x＋2x sin x＋x2cos x．
知新探究
【例3】日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
⑴90%； ⑵98%．
解：
净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
c′(x)＝
＝
＝
＝．
知新探究
【例3】日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80＜x＜100)．
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
⑴90%； ⑵98%．
解：
⑴∵c′(90)＝=52.84，
∴净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
⑵∵c′(98)＝=1321，
∴净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数f (x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c′(98)＝25c′(90)．它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
初试身手
f ′(x)＝+(2x)′ln x＋2x(ln x)′
3.求曲线f (x)＝＋2x ln x在点(1，0)处的切线的方程．
解：
＝＋(2x ln 2)ln x＋=－＋2x ln 2ln x＋．
∴曲线f (x)＝＋2x ln x在点(1，0)处的切线的方程为y＝(x－1)，
即y＝x－．
根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得
将x＝1代入f ′(x)，得所求切线的斜率为f ′(1)＝．
课堂小结
导数的四则运算法则
导数的运算法则1
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x).
导数的运算法则2
[f(x) g(x)]′=f′(x) g(x)+f (x) g′(x)；
(g(x)≠0).
导数的运算法则3
[cf(x)]′=cf′(x) .
.
作业布置
作业： P81 习题5.2 第1⑶⑷⑸⑹,3，4，5题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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