四川天立教育集团2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

四川天立教育集团 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 1：2 + 2 = 0， 2： + 4 + 1 = 0，若 1// 2，则 的值为( )
1
A. 8 B. 2 C. D. 2
2
2.若 + = ( 2, 1,2)， = (4, 3, 2)，则 等于( )
A. 5 B. 1 C. 5 D. 7
5
3.一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4， ，7，8(其中 ≠ 7)，若该组数据的中位数是极差的 ，则
6
该组数据的60%分位数是( )
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6
4.已知圆 ：( 3)2 + ( 3)2 = 72，若直线 + = 0垂直于圆 的一条直径，且经过这条直径的一
个三等分点，则 =( )
A. 2或10 B. 4或8 C. 4或6 D. 2或4
2 2
5.椭圆 + = 1的左、右焦点分别为 1、 2，则椭圆上满足 1 ⊥ 的点 ( ) 25 16 2
A. 有2个 B. 有4个 C. 不一定存在 D. 一定不存在
6. 为⊙ ： 2 + 2 2 2 = 0上一点， 为直线 ： 4 = 0上一点，则线段 长度的最小值( )
2√ 3 2√ 6
A. √ 2 B. C. D. 2√ 2
3 3
7.若半径为 的小球可以在棱长均为8的四棱锥内部自由转动，则 的最大值为( )
A. √ 3+ 1 B. 2(√ 3 + 1) C. 2(√ 6 √ 2) D. 2(√ 6 1)
8.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”
事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与√ ( )2 + ( )2相关的代数问题，
可以转化为点( , )与点( , )之间的距离的几何问题.已知点 ( 1, 1)在直线 1： = + 2，点 ( 2 , 2)在直
线 2： = 上，且 ⊥ 1，结合上述观点，√
2
1 + ( 1 4)
2 +√ ( 2 5)2 +
2
2的最小值为( )
7√ 2 11√ 2
A. B. C. √ 41 √ 2 D. 5
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若事件 ， ， 两两互斥，则 ( ∪ ∪ ) = ( )+ ( ) + ( )成立
B. 若事件 ， ， 两两独立，则 ( ) = ( ) ( ) ( )成立
第 1 页，共 10 页

C. 若事件 ， 相互独立，则 与 也相互独立
D. 若 ( ) > 0， ( ) > 0，则事件 ， 相互独立与 ， 互斥不能同时成立
10.设直线系 ： + ( 2) = 1(0 ≤ ≤ 2 )，则下面四个命题正确的是( )
A. 点(0,2)到 中的所有直线的距离恒为定值
B. 存在定点 不在 中的任意一条直线上
C. 对于任意整数 ( ≥ 3)，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上
D. 中的直线所能围成的三角形面积都相等
11.如图，正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为4， 是侧面 ′ ′上的一个动
点(含边界)，点 在棱 ′上，且| ′| = 1，则下列结论正确的有( )
A. 沿正方体的表面从点 到点 的最短距离为√ 73
B. 保持 与 ′垂直时，点 的运动轨迹长度为3√ 2
4
C. 若保持| | = 2√ 5，则点 的运动轨迹长度
3
D. 平面 ′ 截正方体 ′ ′ ′ ′所得截面为等腰梯形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知空间的一组基底为{ , , }， = + 3 ， = 2 + 2 ，且满足 // ，则 = ______．
13.已知某三棱台的高为2√ 5，上、下底面分别为边长为4√ 3和6√ 3的正三角形，若该三棱台的各顶点都在
球 的球面上，则球 的表面积为______．
3
14.已知实数 ， 满足 2 + 2 = 2 2 ，则 的最大值为______．
+1
四、解答题：本题共 5 小题，共 148 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，已知三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 ⊥平面 ， 1 = 2 = 2 = 4， 为 边上的动
点．
(1)当 = 时，求证： ⊥平面 1 1；
(2)求三棱锥 1 1 的体积．
第 2 页，共 10 页
16.(本小题100分)
为响应国家“学习强国”的号召，培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学
习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的1000名同学的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所
示的频率分布直方图(有数据缺失)：
请大家完成下面的问题：
(1)根据直方图求以下表格中 ， 的值：
成绩 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
频数 250 350 100
(2)求参赛同学初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)若从这1000名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，再在该样本中成绩
不低于80分的同学里任选2人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的2人中恰好1人的分数低于90分且1
人的分数不低于90分的概率．

注：方差公式 2 = ∑ =1(
2
) ．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形，△ 是正三角形，且平面 ⊥平面 ， = 1，
第 3 页，共 10 页
2√ 3
为棱 的中点，四棱锥 的体积为 ．
3
(1)若 为棱 的中点，求证： //平面 ；
2√ 3
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成夹角的余弦值为 ？若存在，求出线段 的长
5
度；若不存在，请说明理由．
18.(本小题12分)
蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自
来.如图，已知圆 的方程为 2 + ( )2 = 2，直线 = 与圆 交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 = 与
圆 交于 ( 3, 3)， ( 4, 4).原点 在圆 内.设 交 轴于点 ， 交 轴于点 ．
1
(1)当 = 0， = √ 5， = ， = 2时，分别求线段 和 的长度；
2
+ +
(2)①求证： 1 2 = 3 4．
1 2 3 4
②猜想| |和| |的大小关系，并证明．
19.(本小题12分)
已知直线 ： + + = 0和点 ( 0 , 0)，点 到直线 的有向距离 ( , )用如下方法规定：若 ≠ 0， ( , ) =
| || 0+ 0+ | + ，若 = 0， ( , ) = 0 ．
√ 2 2+
(1)已知直线 1：3 4 + 12 = 0，直线 2：2 + 3 = 0，求原点 到直线 1， 2的有向距离 ( , 1)， ( , 2)；
(2)已知点 (2,1)和点 (3, 1)，是否存在通过点 的直线 3，使得 ( , 3) = 2？如果存在，求出所有这样的
直线 3，如果不存在，说明理由；
第 4 页，共 10 页
(3)设直线 4： + 2 2 = 0，问是否存在实数 > 0，使得对任意的参数 都有：点 1( , 0)， 2( , 0)
到 4的有向距离 ( 1 , 4)， ( 2 , 4)满足 ( 1 , 4) ( 2 , 4)= 1？如果满足，求出所有满足条件的实数 ；如
果不存在，请说明理由．
第 5 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 6
13.【答案】144
14.【答案】7
15.【答案】解：(1)证明：∵ 1 ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
∵ = ， = ，
∴ ⊥ ，又 1 ⊥ ，且 1 ∩ = ，
∴ ⊥平面 1 1；
(2) ∵ 1 = 2 = 2 = 4， ⊥ ，
∴ = √ 2 + 2 = 2√ 2，
又由(1)知 ⊥平面 1 1，

∴点 到平面 1 1 距离为 = = √ 2， 2
∵三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，
∴四边形 1 1为矩形，
∴当 点在 上运动时，△ 1 1 的面积是定值，
又 1 = 1 = 4， 1 1 = = 2√ 2，
第 6 页，共 10 页
1 1
∴ △ = = × 21 1 1 1 1 √ 2 × 4 = 4√ 2， 2 2
1 8
∴ 1 1 = × 4√ 2 × √ 2 = ． 3 3
16.【答案】解：(1)由直方图可知成绩在[50,60)的频率为0.005× 10 = 0.05，
所以成绩在[50,60)的频数 = 1000× 0.05 = 50，
则成绩在[50,60)的频数 = 1000 50 250 350 100 = 250；
250 1
(2)设[60,70)分组的频率/组距为 ，则 = × = 0.025，
1000 10
1
平均数 = (50× 55 + 250 × 65+ 75 × 350+ 85× 250 + 95 × 100) = 76，
1000
2 = (76 55)2 × 0.05+ (76 65)2 × 0.25 + (76 75)2 × 0.35+ (76 85)2 × 0.25+ (76 95)2 × 0.1 =
109；
(3)从这1000名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，
20 1
则抽样比为 = ，
1000 50
成绩在[80,90)内的有250人，故抽取5人，
成绩在[90,100)的有100人，故抽取2人，
1 12 10
所以从这7人中任取两人，恰好1人的分数低于90分且1人的分数不低于90分的概率 = 52 = ． 7 21
17.【答案】证明：(1)取 的中点 ，连接 ， ，
如图所示：
由于点 、 分别为 、 的中点，
1
所以 // ， = ，
2
由于底面四边形 为矩形， 为棱 的中点，
1
所以 // ， = ，
2
所以 // ， = ，
故四边形 为平行四边形，所以 // ，
由于 平面 ， 平面 ，
第 7 页，共 10 页
所以 //平面 ．
解：(2)假设在棱 上存在点 满足题意，
在等边三角形 中，点 为 的中点，所以 ⊥ ，
由于平面 ⊥平面 ，
平面 ，
所以 ⊥平面 ，
则 为四棱锥 的高，
设 = ， √ 3 = ， 矩形 = ，
2
1 1 √ 3 2√ 3
= ，解得 = 2； 四棱锥 3 矩形 = × =3 2 3
以点 为原点， ， ， 的方向为 轴， 轴和 轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则 (0,0,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,0, √ 3)，
所以 = (1,0,0)， = (1,1,0)， = ( 1,0,√ 3)，
设 = = ( , 0, √ 3 )，(0 ≤ ≤ 1)，
所以 = + = (1 , 0, √ 3 )，
设平面 的法向量为 1 = ( , , )，
1 = (1 ) + √ 3 = 0
故{ ，解得 1 = (√ 3 , √ 3 , 1)，
1 = + = 0
易知平面 的法向量为| 2 | = (0,1,0)，
| | | √ 3 | 2√ 3
所以|cos < 1 , > | =
1 2
2 = =| 1 || 2 | 2 5 ， √ 7 2 +1
2
由于0 ≤ ≤ 1，所以 = ，
3
4
故存在点 ，且 = 满足题意．
3
第 8 页，共 10 页
1
18.【答案】解：(1)当 = 0， = √ 5， = ， = 2时，
2
圆 ： 2 + 2 = 5，
2 + 21 = 5 = 1 = 1
直线 ： = ，由{ 1 { {2 = = 2
或 = 2，故 C( 1,2)， (1, 2)；
2
2 + 2 = 5 = 2 = 2
直线 ： = 2 ，由{ { 或{ ，故 E(2,1)， ( 2, 1)．
= 2 = 1 = 1
+1 +2 5 5
所以直线 ： = ，令 = 0，得 = ，即 ( , 0)；
2+1 1+2 3 3
1 2 5 5
直线 ： = ，令 = 0，得 = ，即 ( , 0)．
2 1 1 2 3 3
5
所以| | = | | = ．
3
(2)①证明：由题意： 2 < 2．
2
{ + ( )
2 = 2
由 ( )2 + ( )2 = 2 ( 2 + 1) 2 2 + 2 2 = 0，
=
则 1， 2是该方程的两个解，
2
2 2
由韦达定理得： 1 + 2 = 2 ， = ， +1 1 2 2+1

所以 1
+ 2 2 = ．
1
2
2 2

同理可得： 3
+ 4 2 1+ + = ，所以 2 = 3 4．
3
2
4 2 1 2 3 4
②猜测| | = | |，证明如下：
设点 ( , 0)， ( , 0)．
0 0 4 1
因为 ， ， 三点共线，所以： 4 = 1 = 1 4，
4 1 1 4
又因为点 在直线 = 上，所以 1 = 1；点 在直线 = 上，所以 4 = 4．

所以 = 4 1
1 4 = 1
4( )；
1 4 1 4
( )
同理因为 ， ， 三点共线，可得： = 2 3 ．
2 3
+ + 1 1 1 1 1 1 1 1
由①可知： 1 2 = 3 4 + = + = 4 1 = 2 3 1 4 + 2 3 = 0，
1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 2 1 4 2 3 1 4 2 3
1 4( ) 2 3( ) 所以 + = + = ( )( 1 4 + 2
3 ) = 0．
1 4 2 3 1 4 2 3
即 = ，所以| | = | |成立．
第 9 页，共 10 页
19.【答案】解：(1)由直线 1：3 4 + 12 = 0，直线 2：2 + 3 = 0，根据点到直线的有向距离公式得，
| 4||0+0+12| 12 2 0+3 3
( , 1) = = ， ( , 5 2) = = ； 2 2 2
4√ 32+( 4)
12 3
即 ( , 1) = ， ( , 2) = ， 5 2
(2)当直线 3的斜率不存在时，直线 3的方程为 2 = 0，
1×3 2
此时 ( , 3) = = 1 ≠ 2，舍去； 1
当直线 3的斜率存在时，直线 3的方程为 1 = ( 2)，
化为 + 1 + 2 = 0，
|1|| 3 1 1+2 | 4
假设 ( , 3) = = 2，则3
2 4 = 0，解得 = 0或 ．
1×√
2 3
+1
所以存在直线 3的方程为 1 = 0或4 3 5 = 0；
2 2
(3)当 = 0时，直线 4： 2 = 0， ( 1 , 4) = , ( , )= ， cos 2 4 cos
( 2)( 2)
由 ( 1 , 4) ( 2 , 4) = = 1，整理得4
2cos2 = cos2 ，∵ sin2 + cos2 = 1，∴ 2 = 3，
cos2
∵ > 0，即 = √ 3，
当 ≠ 0时，直线 4： + 2 2 = 0，
|2 || 2| |2 || 2|
得 ( 1 , 4) = , ( 2 , 4) = ，
(2 )√ cos2 +4 2 (2 )√ cos2 +4 2
|( 2)( 2)|
由 ( 1 , 4) ( 2 , 4) = cos2 = 1， +4 2
即|4 2cos2 | = cos2 +4 2 = 4 3 2 ，4 2cos2 = 4 3 2 或4 2cos2 = 3 2 4，
解得 2 = 3或( 2 + 3)cos2 = 8，
由题意对任意的参数 都有 ( 1 , 4) ( 2 , 4) = 1恒成立，所以 = √ 3，
综上所述，存在实数 > 0满足题目条件，即 = √ 3．
第 10 页，共 10 页