江苏省无锡市太湖高级中学2024-2025学年高一上学期12月段考数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省无锡市太湖高级中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月段考数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程log2 + = 2的解所在的区间为( )
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
2.使式子log(2 1)(2 )有意义的 的取值范围是( )
A. > 2 B. < 2
1 1
C. < < 2 D. < < 2，且 ≠ 1
2 2
3.命题“ ≤ 0， 2 + 2 1 ≤ 0”的否定为( )
A. > 0， 2 + 2 1 > 0 B. ≤ 0， 2 + 2 1 > 0
C. > 0， 2 + 2 1 ≤ 0 D. ≤ 0， 2 + 2 1 ≥ 0
4.2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星
.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 (单位： / )和燃料的质量 (单位： )、火箭(除燃料外)

的质量 (单位： )的函数关系是 = (1 + )( 是参数).当 = 5000 时， 大约为( )(参考数据：

1 2 ≈ 0.3010)
A. 2.097 B. 3.699 C. 3.903 D. 4.699
5.函数 ( ) = 2| |的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.“幂函数 = ( 2 + 5) 的图象分布在第一、二象限”是“ = 3或2”的( )
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A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
1 2
7.函数 = ( )√ 4 3的单调递增区间是( )
3
A. ( ∞, 2] B. [ 2, +∞) C. [ 3, 2] D. [ 2, 1]
1
2 + 1 , ≤ < 1
8.已知函数 ( ) = { 273 ，若 ( ) = ( )( < )，则 的取值范围为( )
2 , 1 ≤ ≤ 2
4 17 28 80
A. (0, ] B. (0, ] C. (0, ] D. (0, ]
3 9 27 27
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若 = 3，则 为第三象限角

B. 若角 是第一象限角，则 是第一或第二象限角
2
13
C. 与角 终边相同的角 的集合可以表示为{ | = 2 + , ∈ }
6 6
D. 小于90°的角一定是锐角
10.下列各式中，最小值是6的有( )
9 2+ 2+4 8 +10
A. + B. C. 2 2 + 2 D. +1 √ +1
11.给出下列命题，其中正确的命题有( )
A. 函数 ( ) = log (2 1) 1的图象过定点(1,0)
B. 已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≤ 0时 ( ) = ( + 1)，则 ( )的解析式为 ( ) = 2 | |
5
C. 函数 ( ) = log (5 )，( > 0, ≠ 1)在(1,3)上是减函数，则 的取值范围是1 < ≤ 3
D. 若2 2 > ln( )( > 0, < 0)，则 + < 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地
1
描述这些数据的规律：① = 2 ；② = ( 2 1)；③ = log 2 ；④ = 2 .其中最接近的一个是______. (2
只填序号)
2 2.99 4 5 6.02
4 8.02 15.99 32 64.01
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13.已知扇形的周长为6 ，圆心角为2 ，则该扇形的面积是______ 2．
| |,0 < < 2
14.已知函数 ( ) = |2 1|， ( ) = { 2 ，且方程 ( ) = 有两个不同的解，则实数 的
3 , 2
取值范围为 ，方程 [ ( )] = 解的个数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算求值：
1 2
(1)( ) 3 + 25 + 4 + 7 72；
64
1 1
(2)若 2 + 2 = √ 5，求 2 + 2的值．
16.(本小题15分)
从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并
1
解答下列问题：已知集合 = { | ≤ 2 ≤ 32}， = { | 2 4 + 4 2 ≤ 0, ∈ }．
4
(1)若 = 3，求 ∪ ；
(2)若存在正实数 ，使得“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的_____，求正实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = | 1|．
(1)解关于 的不等式： ( ) < 1；
1 4
(2)若 ( ) = ( )( ≠ )，求 + 的最小值．

18.(本小题17分)
去年某商户销售某品牌服装#替#换#丆#换#替9000套，每套服装利润为50元.为提高销售利润，今年计划投
入适当的广告费进行产品促销.经市场调研发现，若广告费用为 (万元)，则该#品牌服装的年销售量将增长
80
%.请你预算该品牌服装的净利润(净利润为销售利润减去广告费用)．
+4
1
(1)若使得今年净利润比去年至少增长 ，请你预算广告费用的范围？
3
(2)当广告费用多少万元时，品牌服装的净利润最大？
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln( + 6) ln(2 )．
(1)证明： ( ) = ( 2)是奇函数；
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(2)判断 ( )的单调性，并用定义证明；
(3)若对任意的 ∈ (0,1)，都有 (4 2) + ( 2 ) > 0，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】④
9
13.【答案】
4
14.【答案】(0,1)；4
1 2
15.【答案】解：(1)( ) 3 + 25 + 4 + 7 72
64
1 2
= ( ) ×33 + lg(25 × 4) + 2
4
= 16 + 2 + 2 = 20；
1 1
(2)若 2 + 2 = √ 5，则 + 1 + 2 = 5，即 + 1 = 3，
所以 2 + 2 + 2 = 9，即 2 + 2 = 7．
16.【答案】解：(1)依题意，2 2 ≤ 2 ≤ 25，解得 2 ≤ ≤ 5，即 = [ 2,5]，
当 = 3时，解不等式 2 4 5 ≤ 0得： 1 ≤ ≤ 5，即 = [ 1,5]，
所以 ∪ = [ 2,5]．
(2)选①，由(1)知， = [ 2,5]， > 0，
解不等式 2 4 + 4 2 ≤ 0得：2 ≤ ≤ 2 + ，即 = [2 , 2 + ]，
因为“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的充分不必要条件，所以 ，
2 < 2 2 ≤ 2
于是得{ 或{ ，
2 + ≥ 5 2 + > 5
解得 > 4或 ≥ 4，即有 ≥ 4，
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所以正实数 的取值范围是{ | ≥ 4}．
选②，由(1)知， = [ 2,5]， > 0，
解不等式 2 4 + 4 2 ≤ 0得：2 ≤ ≤ 2 + ，即 = [2 , 2 + ]，
因为“ ∈ ”是“ ∈ ”成立的必要不充分条件，则有 ，
于是得 2 < 2 < 2 + ≤ 5或 2 ≤ 2 < 2 + < 5，
解得0 < ≤ 3或0 < < 3，即有0 < ≤ 3，
所以正实数 的取值范围是{ |0 < ≤ 3}．
17.【答案】解：(1)由题意可得
若| 1| < 1，即 1 < 1 < 1，
可得0 < < 2，即 1 < < 100，
解得1 < < 100，
所以不等式的解集为{ |1 < < 100}；
(2)不妨设 < ，
令 ( ) = 0，得 = 10
易得函数 ( )在(0,10)上单调递减，在(10, +∞)单调递增，
要使 ( ) = ( )，即| 1| = | 1|，
即1 = 1，即 + = 2，可得 = 100，
且 > 0， > 0，
1 4 +4 1 1 1 2
所以 + = = ( + 4 ) ≥ 2√ 4 = 2√ 4 × 100 = ，
100 100 100 5
当且仅当 = 4 ，即 = 5， = 20时取等号，
1 4 2
即 + 的最小值为 ．
5
80
50×0.9×(1+ %) 50×0.9 1 0.8 1 +4
18.【答案】解：(1)由题意得{ ≥50×0.9 3，整理得{
≥
+4 45 3，
> 0 > 0
∴ 2 17 + 60 ≤ 0，解得5 ≤ ≤ 12，
1
故使得今年净利润比去年至少增长 ，广告费用的范围为[5,12]；
3
(2)设品牌服装的净利润为 ，
80 36 144
由题意得 = 50 × 0.9 × (1 + %) = + 45 = 85 ( + + 4)，
+4 +4 +4
144 144 144
又 + + 4 ≥ 2√ ( + 4) = 24，当且仅当 = + 4，即 = 8时等号成立，
+4 +4 +4
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144
∴ = 85 ( + + 4) ≤ 85 24 = 61，
+4
故当广告费用为8万元时，品牌服装的净利润最大．
19.【答案】(1)证明：由题意得， ( ) = ln( + 4) ln(4 )，
+ 4 > 0
所以{ ，即 4 < < 4，
4 > 0
( ) = ln(4 ) ln(4 + ) = ( )，
所以 ( )为奇函数；
(2)解： ( )在( 6,2)上单调递增，证明如下：
6+
因为 ( ) = ln 的定义域为( 6,2)，
2
6+ 8
( ) = = 1 ，
2 2
任取 6 < 1 < 2 < 2，
8 8 8( )
则 ( 1) ( 2) = =
1 2 < 0，
2 2 1 2 ( 1 2)( 2 2)
所以 ( 1) < ( 2)， ( 1) < ( 2)，
则 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在( 6,2)上单调递增；
(3)由题意得， ( 2) = ( 2)，
若对任意的 ∈ (0,1)，都有 (4 2) + ( 2 ) > 0，
则 (4 2) > ( 2 + 2 2) = ( 2 4)，
因为 ( )在( 6,2)上单调递增，
所以2 > 4 2 > 2 4 > 6，

则{4 2 > 2
4，
2 4 > 6
1
即 (2 + ) < < 21
2
，
因为 (2
1
+ ) ≤ 2，当且仅当 = 0时取等号，而 > 0， 2
故 ≥ 2，
又 ∈ (0,1)，
21 > 1，
所以 ≤ 1，
故 的取值范围为[ 2,1]．
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