江苏省常州市前黄高级中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省常州市前黄高级中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1,2}， = { | 1 < < 2}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. { 1,1} C. { 1,0,1} D. {0,1,2}
2.已知 = log1.10.9， = 0.9
1.1， = 1.10.9，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
1
3.已知命题“ ∈ ，使2 2 + ( 1) + ≤ 0”是假命题，则实数 的取值范围是( )
2
A. { | ≤ 1} B. { | 1 < < 3} C. { | 1 ≤ ≤ 3} D. { | 3 < < 1}
4.函数 = √ 3 + 2 2的值域为( )
A. ( ∞, 2] B. [2, +∞) C. [0,2] D. (0,2)
2 3
5.函数 ( ) = 的图象大致为( ) 2 2
A. B. C. D.
6.已知函数 ( ) = 1( 2 + 2 )在[1, +∞)上单调递减，则实数 的取值范围是( )
2
A. ( ∞, 1) B. [ 2, +∞) C. [ 2,1) D. ( ∞, 2]
9
7.函数 ( ) = ， ( ) = 2 + 2.若存在 1, 2 … , ∈ [0, ]，使得 ( 1) + ( 2) + + ( 1) + ( ) =2
( 1) + ( 2) + + ( 1) + ( )，则 的最大值是( )
A. 8 B. 11 C. 14 D. 18
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
3
8.幂函数 ( ) = √ 2，则( )
1
A. ( )的图象过点( 1,1) B. ( )的图象过点(8, )
4
C. ( )为奇函数 D. ( )为偶函数
9.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( )，当 > 0时， ( ) > 0， (2) = 6，则下面有关
结论正确的有( )
A. (1) = 3 B. ( )是奇函数
1
C. ( )在(0, +∞)上单调递减 D. 当 > 时， ( ) 3 < (3 )
2
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10.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为
几何问题加以解决，如：对于形如√ ( )2 + ( )2的代数式，可以转化为平面上点 ( , )与 ( , )的
距离加以考虑.结合综上观点，对于函数 ( ) = |√ 2 + 2 + 5 √ 2 6 + 13|，下列说法正确的是( )
A. = ( )的图象是轴对称图形
B. = ( )的值域是[0,4]
C. ( )先减小后增大
D. 方程 ( ( )) = √ 13 √ 5有且仅有一个解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
11.函数 = 2(2 1) + 的定义域为______． √ 1
(3 2) + 3 , < 1 (
12.已知 ( ) = { 满足对于任意不相等的实数 、 都有 1
) ( 2)
1 2 < 0成立，则实数 , ≥ 1 1 2
的取值范围是______．
1 1
13.已知函数 ( ) = | + | + 1，对任意实数 1， 2， 3 ∈ [ , 3]，使得以 ( 1)， ( 2)， ( 3)数值为边 3
长可构成三角形，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
1 1 1
(1)计算：( ) 2 2√ (√ 3 2)2
3
( )2 × √ 8 + ( 3)0；
4 2
(2)若 + 1 = 3，求下列式子的值：
1 1
① 2 2；
1 1
② 2 + 2．
15.(本小题12分)
设函数 ( ) = 2 + ( 2) + 3．
(1)若不等式 ( ) > 0的解集为( 1,1)，求实数 ， 的值；
(2)若 (1) = 0，且 ∈ ，使 ( ) < 4成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发
车时间间隔 (单位：分钟)满足2 ≤ ≤ 20，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔 相关，当10 ≤ ≤
20时列车为满载状态，载客量为500人，当2 ≤ < 10时，载客量会减少，减少的人数与(10 )的平方成
正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为 ( )．
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(1)求 ( )的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
8 ( ) 2656
(2)若该线路每分钟的净收益为 ( ) = 60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的

净收益最大，并求出最大值．
17.(本小题12分)

已知函数 ( ) = 2是定义在[ 1,1]上的奇函数，且 (1) = 1． 1+
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断 ( )在[ 1,1]上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式 ( 1) + ( 2) > (0)．
18.(本小题12分)
取名于荷兰数学家鲁伊兹 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满
足一定条件的图象连续不间断的函数 ( )，在其定义域内存在一点 0，使得 ( 0) = 0，则称 0为函数 ( )
的一个“不动点”.若 ( ( 0)) = 0，则称 0为 ( )的“稳定点”.将函数 ( )的“不动点”和“稳定点”的
集合分别记为 和 ，即， = { | ( ) = }， = { | ( ( )) = }.已知函数 ( ) = 2 ( + 1) + ．
(1)当 = 1， = 2时，求函数 ( )的不动点；
1
(2)若对于任意 ∈ [ , 0]，函数 ( )恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围；
4
(3)若 = 1时，且 = ≠ ，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
1
11.【答案】( , 1)
2
1 2
12.【答案】[ , )
3 3
5 7 11
13.【答案】( ∞, ) ∪ ( , 3) ∪ ( , +∞)
3 3 3
1 1 3 1 √ 6
14.【答案】解：(1)( ) 2 2√ (√ 3 2)2 ( )2 × √ 8 + ( 3)0 = 2 2(2 √ 3) × 2√ 2 + 1
4 2 2
= 2 + 2√ 3 2√ 3 + 1 = 1；
(2)若 + 1 = 3，
1 1
①( 2 2)2 = + 1 2 = 1，
1 1
故 2 2 = ±1；
1 1
②( + 2 2)2 = + 1 + 2 = 5，
1 1
又 2 + 2 > 0，
1 1
故 2 + 2 = √ 5．
15.【答案】解：(1)由题意可知：方程 2 + ( 2) + 3 = 0的两根是 1，1，
2
= 1 + 1 = 0
所以{ ，
3
= ( 1) × 1 = 1

= 3
解得{ ．
= 2
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(2)由 (1) = 0得 = 1， ∈ ， ( ) < 4成立，即使 2 + ( 2) 1 < 0恒成立，
又因为 = 1，代入上式可得 2 ( + 3) 1 < 0恒成立，
当 = 0时，显然上式不恒成立；
当 ≠ 0时，要使 2 ( + 3) 1 < 0恒成立，
< 0
所以{ 2 ， = ( + 3) + 4 < 0
解得 9 < < 1，
综上可知 的取值范围是( 9, 1)．
16.【答案】解：(1)由题设，当2 ≤ < 10时，令 ( ) = 500 (10 )2，
又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，
∴ (2) = 500 (10 2)2 = 372，解得 = 2．
300 + 40 2 2, 2 ≤ < 10
∴ ( ) = { ，
500,10 ≤ ≤ 20
故 = 5时， (5) = 500 2 × (10 5)2 = 450，
所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为450人．
256
260 16 , 2 ≤ < 10
(2)由(1)知： ( ) = { ，
1344
60,10 ≤ ≤ 20

256
∵ 2 ≤ < 10时， ( ) ≤ 260 2√ 16 = 132当且仅当 = 4等号成立，

∴ 2 ≤ < 10上 ( ) = (4) = 132，
而10 ≤ ≤ 20上， ( )单调递减，则 ( ) = (10) = 74.4，
综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元．

17.【答案】解：(1)函数 ( ) = 是定义在[ 1,1]上的奇函数，
1+ 2

( ) = ( )；
1+ 2
= 2，解得 = 0， 1+

∴ ( ) = ，而 (1) = 1，解得 = 2，
1+ 2
2
∴ ( ) = 2， ∈ [ 1,1]． 1+
2
(2)函数 ( ) = 在[ 1,1]上为减函数；
1+ 2
证明如下：任意 1， 2 ∈ [ 1,1]且 1 < 2，则
2 1 2 2 2( 1 )(1 ) ( 1) ( 2) = 2 2 =
2 1 2
1+ 1 1+ 2 (1+
2
1)(1+
2
2)
因为 1 < 2，所以 1 2 < 0，又因为 1， 2 ∈ [ 1,1]，
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所以1 1 2 > 0，所以 ( 1) ( 2) > 0，
即 ( 1) > ( 2)，所以函数 ( 1) > ( 2)在[ 1,1]上为减函数．
(3)由题意， ( 1) + ( 2) > (0)，又 (0) = 0，所以 ( 1) + ( 2) > 0，
即解不等式 ( 2) > ( 1)，所以 ( 2) > (1 )，
1 < 2 < 1
√ 5 1
所以{ 1 < 1 < 1，解得0 < < ， 2
2 < 1
√ 5 1
所以该不等式的解集为(0, )．
2
18.【答案】解：(1)当 = 1， = 2时， ( ) = 2 2 + 2，
设 0为不动点，因此
2
0 2 0 + 2 = 0，
即 20 3 0 + 2 = 0，( 0 1)( 0 2) = 0，
解得 0 = 1或 0 = 2，
所以1，2为函数 ( )的不动点．
(2)因为 ( )恒有两个不动点，
即 2 ( + 1) + = 恒有两个不等实根，
整理为 2 ( + 2) + = 0，
≠ 0
所以{ 0恒成立．
= ( + 2)2 4 > 0
1
即对于任意 ∈ [ , 0]， 4 + 2 + 4 + 4 > 0恒成立．
4
令 ( ) = 4 + 2 + 4 + 4，
1
( ) > 0 2
则有{ 4 ，即{ + 5 + 4 > 02 ，
(0) > 0 + 4 + 4 > 0
故 < 4或 > 1，又 ≠ 0，
∈ ( ∞, 4) ∪ ( 1,0) ∪ (0, +∞)；
(3) = 1时， ( ) = 2 2 + ，
因为 ≠ ，所以 2 2 + = 有实根，
9
所以 ′ = 9 4 ≥ 0，所以 ≤ ，
4
= 2 2 +
记 = ( )，则关于 的方程 ( ( )) = 的解为方程组{ 2 的解 的值， = 2 +
两式相减可得( )( + 1) = 0，
因为 = ，即要使 ( ) = 与 ( ) = 有相同的解，
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则 = 0与( )( + 1) = 0的 的解集相同，
所以方程 + 1 = 0无解或其解与 = 0相同，
1
即 2 + 1 = 0无解或其解为 = ，
2
所以 ′′ = ( 1)2 4( 1) ≤ 0，
5
所以 ≥ ，
4
5 9 5 9
综上 ≤ ≤ ，所以实数 的取值范围是[ , ]．
4 4 4 4
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