宁夏银川市第二中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试卷（PDF版，含答案）

宁夏银川市第二中学 2024-2025 学年高二上学期第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 2 = 8 的准线方程为( )
A. = 2 B. = 1 C. = 1 D. = 2
2.若直线 + 2 + 1 = 0与直线 + 2 = 0互相垂直，那么 的值等于( )
1 2
A. 1 B. C. D. 2
3 3
3.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.运送“神
十八”的长征二号 运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 ，以后每秒钟通过的路程都增加3 ，在
达到离地面222 的高度时，火箭开始进入转弯程序.则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是( )秒．
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
4.下列命题中正确的是( )
A. 点 (3,2,1)关于平面 对称的点的坐标是( 3,2, 1)
B. 若直线 的方向向量为 = (1, 1,2)，平面 的法向量为 = (6,4, 1)，则 ⊥
C. 若直线 的方向向量与平面 的法向量的夹角为120°，则直线 与平面 所成的角为30°
1 1
D. 已知 为空间任意一点， ， ， ， 四点共面，且任意三点不共线，若 = + ，则 =
2 2
5.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，
思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线 ： 2 + 2 = | | + | |是
一条形状优美的曲线，曲线 围成的图形的面积是( )
A. 2 B. 4 + C. 2 + D.
6.已知点 (5,0)，点 在圆( 1)2 + 2 = 4上运动，则线段 的中点 的轨迹方程是( )
A. 2 + 2 6 + 8 = 0 B. 2 + 2 6 + 5 = 0
C. 2 + 2 +6 + 8 = 0 D. 2 + 2 + 6 +5 = 0
7.已知椭圆 1与双曲线 2有相同的左右焦点 1、 2， 为椭圆 1与双曲线 2在第一象限内的一个公共点，设
1 1
椭圆 1与双曲线 2的离心率为 1， 2，且 = ，若∠ = ，则双曲线 3 1 2 3 2
的渐近线方程为( )
2
√ 3 √ 2
A. ± = 0 B. ± = 0 C. ± = 0 D. ± 2 = 0
3 2
2 2
8.已知点 为椭圆 ： + = 1上任意一点，直线 过⊙ ： 2 + 2 4 + 3 = 0的圆心且与⊙ 交于 ，
16 12
两点，则 的取值范围是( )
A. [3,35] B. (3,35] C. [2,6] D. (2,6]
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 双曲线 2 2 = 1与直线 + 2 = 0有且只有一个公共点
B. 平面内满足|| | | || = 2 ( > 0)的动点 的轨迹为双曲线
2 2
C. 若方程 + = 1表示焦点在 轴上的双曲线，则 > 4
4 1
2
D. 已知双曲线的焦点在 轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为 = √ 3 ，则双曲线的标准方程为 2 = 1
3
10.设{ }是等差数列， 是其前 项的和，且 6 > 7， 7 = 8 > 9，则下列结论正确的是( )
A. 8 = 0 B. > 0
C. 7与 8均为 的最大值 D. 8为 的最小值
11.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的准线 与圆 ： 2 + ( 8)2 = 4相切， 为 上的动点， 是圆 上的
动点，过 作 的垂线，垂足为 ， 的焦点为 ，则下列结论正确的是( )
A. 点 的坐标为 (2,0)
B. | | + | |的最小值为2√ 17 2
C. 存在两个 点，使得| | = | |
D. 若△ 为正三角形，则圆 与直线 相离
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等差数列{ }满足 2 + 5 + 8 = 15，记{ }的前 项和为 ，则 9 = ______．
2 2
13.设双曲线 ： = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 ， ，过 作平行于 轴的直线交 与 ， 两
2 2 1 2 2
点，若| 1 | = 13，| | = 10，则 的离心率为______．
14.已知圆 ：( + 1)2 + ( 2)2 = 2，直线 ：3 4 14 = 0， 为圆 上一动点， 为直线上一动点，
定点 (0, 2)，则| |+ | |的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知关于 ， 的方程 ： 2 + 2 2 4 + = 0．
(1)当 为何值时，方程 表示圆．
4
(2)若圆 与直线 ： + 2 4 = 0相交于 ， 两点，且 = .求 的值．
√ 5
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， 1 = = 6， = 8， = 10，点 是线段 的中点．
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(1)求证： ⊥ ；
(2)求 点到平面 1 1 的距离．
17.(本小题15分)
已知数列{ }的前 项和为 ，满足 =
2 10 ( ∈ )．
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)设 = ，求数列{ }中的最大项和最小项．
18.(本小题17分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且 的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面 2
积为8√ 3．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 (1,0)的直线 与椭圆 交于 ， 两点，过点 与 轴垂直的直线与椭圆 的另一个交点为 .当△ 的
面积取得最大值时，求直线 的方程．
19.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 ：2 2 = 1( > 0, > 0)的离心率为√ 2，点(3, 1)在双曲线 上.过 的左焦点 作直线 交 的
左支于 、 两点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 ( 2,0)，试问：是否存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上？若存在出直线 的方程；若不存在，
说明理由．
(3)点 ( 4,2)，直线 交直线 = 2于点 .设直线 、 的斜率分别 1、 2，求证： 1 2为定值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】45
3
13.【答案】
2
14.【答案】√ 41 √ 2
15.【答案】解：(1)方程 可化为：( 1)2 + ( 2)2 = 5 ，显然，当5 > 0时，即 < 5时，方
程 表示圆．
(2)圆的方程化为( 1)2 + ( 2)2 = 5 ，圆心 (1,2)，半径 = √ 5 ，
|1+2×2 4| 1
则圆心 (1,2)到直线 ： + 2 4 = 0的距离为 = = ，
√ 2 2 √ 5 1 +2
4 1 2 1
∵ = ,则 = ，有 2 = 2 + ( )2，
√ 5 2 √ 5 2
1 2
∴ 5 = ( )2 + ( )2，解得 = 4．
√ 5 √ 5
16.【答案】解：(1)证明：在△ 中， = 6， = 8， = 10，
∴ ⊥ ，
在直三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
∵ 1 ∩ = ， 平面 1 1， 1 平面 1 1，
∴ ⊥； 1平面 1 1，
∵ 1 平面 1 1，∴ ⊥ ；
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(2)由(1)得， 1 ⊥平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴； 1 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，又 ⊥ ，
∴以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则 (3,4,0)， 1(0,0,6)， 1(0,8,6)， (6,0,0)，
1 = (6,0, 6)， 1 1 = (0,8,0)，
设平面 1 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 6 6 = 0则{ ，取 = 1，得 = (1,0,1)，
1 1 = 8 = 0
= ( 3,4,0)，
| | 3 3
∴ 点到平面 1 1 的距离为 = = = √ 2． | | √ 2 2
17.【答案】解：(1)由题意，当 = 1时， 21 = 1 = 1 10× 1 = 9，
当 ≥ 2时， = = 2 1 10 ( 1)
2 10( 1) = 2 11，
∵当 = 1时， 1 = 9也满足上式，
∴ = 2 11， ∈ ．
(2)由(1)，可知 +1 = 2( + 1) 11 2 +11 = 2 > 0，
则数列{ }是单调递增的等差数列，
11
当2 11 < 0，即 < 时， < 0， 2
11
当2 11 > 0，即 > 时， > 0，
2
故 1 < 2 < < 5 < 0 < 6 < 7 < 8 <
∵ 1 = 9， 2 = 7， ， 5 = 1， 6 = 1， 7 = 3， 8 = 5，
1 1 1 1 1 1
∴ < < < < 0 < < < <
1 2 5 6 7 8
1 1
∴数列{ }中的最大项为 6 = = = 1， 6 1
1 1
最小项为 5 = = = 1． 5 1
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18.【答案】解：(1)设椭圆 的焦距为2 ，
√ 2
因为椭圆 的离心率为 ，且椭圆 的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为8√ 3，
2
√ 3
=
2
所以{ ，
2 = 8√ 3
2 = 2 + 2
解得 = 4， = 2，
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1；
16 4
(2)设直线 的方程为 = + 1( ≠ 0)， ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
此时 ( 1, 1)，
= +1
联立{ 2 2 2 2 ，消去 并整理得( + 4) + 2 15 = 0，
+ = 1
16 4
此时 > 0，
15
由韦达定理得 1 2 = 2 ， +4
1 1
因为 △ = × |2 1|× | 2 1|， 2 △ = × |2 2 1| × |1 1|，
易知 2 1与1 1同号，
所以 △ = △ △ = | 1| × (| 2 1| |1 1|) = | 1| × |( 2 1) (1 1)|
15| | 15 15 15
= | 1| × | 2 1| = | 1| × | 2| = | 1 2| = 2 = 4 ≤ = ， +4 | |+ 4 4
| | 2√ | |×| |
4
当且仅当| | = ，即 = ±2时，等号成立．
| |
15
则△ 面积的最大值为 ，此时直线 的方程为 ± 2 1 = 0．
4
2 2
19.【答案】解：(1)由双曲线 ： 2 2 = 1的离心率为√ 2，且 (3, 1)在双曲线 上，
9 1
2 2 = 1
可得
= = √ 2
，

{ 2 = 2 + 2
解得 2 = 8， 2 = 8，
2 2
所以双曲线的方程为： = 1；
8 8
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(2)双曲线 的左焦点为 ( 4,0)，
当直线 的斜率为0时，此时直线为 = 0，与双曲线 左支只有一个交点，不符合题意，
当直线 的斜率不为0时，设 ： = 4，
= 4
由{ ，
2 2 = 8
消去 得( 2 1) 2 8 +8 = 0，
显然 2 1 ≠ 0， = 64 2 32( 2 1) = 32( 2 + 1) > 0，
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，
8 8
则 1 + 2 = 2 ， = < 0， 1 1 2 2 1
得 1 < < 1，
于是 = ( 1+ 2, 1)， = ( 2 +2, 2)，
= ( 2+ 2)( 1 +2) + 1 2 = ( 1 2)( 2 2) + 1 2
8( 2+1) 16 2
= ( 2 +1) 1 2 2 ( 1 + 2) + 4 = +4 = 4， 2 1 2 1
即 ≠ 0，
因此 与 不垂直，
所以不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上；
(3)证明：由直线 ： 2 = 1( + 4)，得 ( 2,2+ 2 1)，
2 2 2 1 2 2 2 1
则 2 = = +2 2 ， 2 2
2 2
又 1 =
1 = 1
1+4
，
1
1 2 2 2 2 1 ( 2)( 2) ( 2 2 1)
于是 1 2 = =
1 2 1 2
1 2 2 1( 2 2)
2 2 2 1+4+2 = 1
+2 1 1
1( 2 2)
，
1 2
而 1 = ， 1
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即有 1 1 = 1 2，且 1 + 2 = 1 2，
2 (
= 1
2) 2( = 1
2)
所以 1 2 = 2 1(
，
2 2) 1+ 2 2 1
即 1 2为定值．
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