河北省承德市圣泉高级中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

河北省承德市圣泉高级中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2, ≤ 0
1.若函数 ( ) = { 2 ，则 [ ( 1)] =( )
+ 5, > 0

A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
2.若 < < 0，则下列不等式成立的是( )
1 1 1 1
A. < B. < 2 C. > D. 2 >

3.全集 = {1,2,3,4,5}，集合 = {1,3}， = {2,5}，则 ( ∪ ) =( )
A. {4} B. {1,3} C. {2,5} D. {1,2,3,5}
4.设 ∈ ，则“2 ≥ 0”是“| + 1| ≤ 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.命题“ ∈ ， 2 + + 1 ≥ 0”为真命题，则实数 的取值范围是( )
A. [ 2,2] B. ( 2,2)
C. ( ∞, 2] ∪ [2,+∞) D. ( ∞, 2) ∪ (2,+∞)

6.函数 ( ) = 的图象大致是( )
1 2
A. B.
C. D.
7.已知函数 ( 1)在 上单调递增，则 (√ 2 + 2 )的单调减区间为( )
A. ( ∞, 1) B. ( ∞, 2) C. ( 1,+∞) D. (0,+∞)
, ≤ 3 ( ) ( )
8.已知函数 ( ) = { ，若对任意 ≠ ， 2 1 < 0恒成立，则 的取值范围为( )
2 + 2 3, > 3 1 2 2 1
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A. [ 3,0) B. (0,3] C. [ 4, 3] D. ( 4, 3]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 函数 = 2 ( ∈ )的图象是一条直线
B. 命题“ > 0，都有 > + 1”的否定是“ > 0，使得 ≤ + 1”
4
C. 当时 > 3， + 的最小值是5
1
D. > 1， > 1是 > 1的充分不必要条件
10.下列说法正确的有( )
A. 命题“ > 1， 2 > 0”的否定是“ ≤ 1， 2 ≤ 0”
B. “| | > | |”是“ > ”的必要条件
C. 命题“ ∈ ， 2 > 0”是假命题
D. “ < 0”是“关于 的方程 2 2 + = 0有一正一负根”的充要条件

11.已知函数 ( ) = ，则下列说法正确的是( )
+1
A. ( )的对称中心为( 1,1)
B. ( )的值域为
C. ( )在区间( 1,+∞)上单调递增
1 1 1 4047
D. (1) + (2) + (3) + + (2024) + ( ) + ( ) + + ( )的值为
2 3 2024 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
( +2)( +1)
12.已知 > 0， > 0， + 2 = 1，则 的最小值为______．

13.函数 ( ) = 2 + 2(1 ) + 3在区间( ∞,4]上是增函数，则 的取值范围是______．
2 + , < 0
14.设函数 ( ) = { 2 ，若 ( ( )) ≤ 6，则实数 的取值范围是______． , ≥ 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知 ：关于 的方程 2 2 + 2 + 2 = 0有实数根， ： 1 ≤ ≤ + 5．
(1)若命题￢ 是真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
( +1) 2+4 +
已知 ( ) = 2 是定义在[ 1,1]上的奇函数． + +2
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(1)求 ( )的解析式．
(2)证明： ( )在[0,1]上单调递增．
1 1
(3)求不等式 ( + ) ( ) < 0的解集．
3 2
17.(本小题12分)
已知二次函数 ( ) = 2 + + ， (0) = 4，不等式 ( ) < 1的解集为{ | < 1或 > 3}．
(1)求 ( )的解析式；
(2)设 ( ) = 2 + ( )，不等式 ( ) < 0的解集为 ，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
安徽省人民政府办公厅在《关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见》中提出要打造区域性
特色农产品品牌.推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品
品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度.引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困
地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌.某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推
广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量 (单位：千克)与施肥量 (单位：千克)满足函
4( 2 + 2)(0 2)
数关系： ( ) = {36 ，且单株果树的肥料成本投入为16 元，其他成本投入(如培育管理、
(2 < 6)
+1
施肥人工费等费用)为(200 + 5 )元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果
树的单株利润为 ( )(单位：元)．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 ( + 1) + 1．
(1)当 > 0时，求解关于 的不等式 ( ) > 0；
(2)若不等式 ( ) ≥ 4 对于任意的 ∈ [ 2,+∞)上恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】25
13.【答案】( ∞, 3]
14.【答案】( ∞,√ 3]
15.【答案】解： ：关于 的方程 2 2 + 2 + 2 = 0有实数根， ： 1 ≤ ≤ + 5．
(1)因为命题￢ 是真命题，则命题 是假命题，即关于 的方程 2 2 + 2 + 2 = 0无实数根，
因此 = 4 2 4( 2 + 2) < 0，解得 > 2，
所以实数 的取值范围是{ | > 2}．
(2)由(1)知，命题 是真命题，即 ： ≤ 2，
因为命题 是命题 的必要不充分条件，则{ | 1 ≤ ≤ + 5} { | ≤ 2}，
因此 + 5 ≤ 2，解得 ≤ 3，
所以实数 的取值范围是{ | ≤ 3}．
16.【答案】解：(1)因为 ( )为定义在[ 1,1]上的奇函数，
1
由奇函数性质可得， (0) = = 0，
2
( +1) 2+4
解得 = 0， ( ) = ，
2+2
2
( +1)( ) 4 ( +1) 2+4
又 ( ) = ( )，故 2 = ，
( ) +2 2+2
故2( + 1) 2 = 0，所以 + 1 = 0，解得 = 1，
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4
故 ( ) = 2 ，经检验，满足要求； +2
(2)证明：任取 1， 2 ∈ [ 1,1]且 1 < 2，所以 1 2 < 0且8 4 1 2 > 0，
4 1 4 2 4 1
2
2+8 1 4 2
2
1 8 2 ( 1 2)(8 4 )则 ( 1) ( 2) = 2 = =
1 2 < 0，
1+2
2
2+2 (
2
1+2)(
2
2+2) (
2 2
1+2)( 2+2)
所以 ( 1) < ( 2)，故 ( )在[0,1]上单调递增；
(3)因为 ( )为定义在[ 1,1]上的奇函数，且 ( )在[0,1]上单调递增，
所以 ( )在[ 1,1]上单调递增，
1 1
+ <
1 1
3 2
1 1 1
因为 ( + ) < ( )，故 1 ≤ + ≤ 1，解得 ≤ < ，
3 2 3 2 12
1
{ 1 ≤ ≤ 12
1 1 1 1
( + ) ( ) < 0的解集为{ | ≤ < }．
3 2 2 12
17.【答案】解：(1)二次函数 ( ) = 2 + + ， (0) = 4，不等式 ( ) < 1的解集为{ | < 1或 > 3}．
则 (0) = = 4，则 2 + + 4 < 1的解集为{ | < 1或 > 3}，
< 0
= 1
所以{ = 2 ，可得{ ，故 ( ) = 2 + 2 + 4；
3 = 2
= 3

(2)由 ( ) = ( 1) 2 + 2 + 4 < 0的解集为 ，
所以( 1) 2 + 2 + 4 ≥ 0恒成立，
当 = 1时，2 + 4 ≥ 0不恒成立，
1 > 0 5
所以{ ，可得 ≥ ，
= 4 16( 1) ≤ 0 4
5
故 的范围为{ | ≥ }.
4
18.【答案】解：(1)根据题意知 ( ) = 21 ( ) 16 (200 + 5 )
84( 2 + 2) 16 (200 + 5 )(0 ≤ ≤ 2)
= {756 ，
16 (200 + 5 )(2 < ≤ 6)
+1
84 2 21 32(0 ≤ ≤ 2)
整理得： ( ) = {756 ；
21 200(2 < ≤ 6)
+1
(2)当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = 84 2 21 32，
由一元二次函数图象可知在 = 2时 ( )取得最大值 (2) = 262，
756 756 756
当2 < ≤ 6时， ( ) = 21 200 = 577 [ + 21( + 1)] ≤ 577 2√ × 21( + 1) = 577
+1 +1 +1
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2 × 126 = 325，
756
当且仅当 = 21( + 1)，即 = 5时等号成立，
+1
所以 (2) < (5)，
所以 ( )的最大值是 (5) = 325，
所以当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元．
19.【答案】解：(1)令 ( ) = 2 ( + 1) + 1 = ( 1)( 1) = 0，
1
∵ > 0，∴ 1 = 1， 2 = > 0，
1
①当 = 1，即 = 1时， 1 = 2，原不等式可化为( 1)
2 > 0，解得 ≠ 1；

1 1
②当 > 1，即0 < < 1时， 1 < 2，解得 < 1或 > ；
1 1
③当 < 1，即 > 1时， 1 > 2，解得 < 或 > 1；
1
综上：当0 < < 1时，不等式 ( ) > 0的解集为{ | < 1或 > }．

1
当 ≥ 1时，不等式 ( ) > 0的解集为{ | < 或 > 1}．

(2) ( ) = 2 ( + 1) + 1 ≥ 4 ，
即 2 ( 3) + 1 ≥ 0对于任意的 ∈ [ 2,+∞)恒成立，
令 ( ) = 2 ( 3) + 1， ∈ [ 2,+∞)，
①当 = 0时， ( ) = 3 + 1， ( 2) = 5 < 0，
∴ = 0不符合题意；
②当 < 0时， ( )无最小值，∴ < 0不符合题意；
3
③当 > 0时， ( )的对称轴为 = ，
2
3 3
当 ≤ 2，即0 < ≤ 时，
2 5
( ) = ( 2) = 6 5 ≥ 0，
5
∴ ≥ ，
6
3
又∵ 0 < ≤ ，不符合题意；
5
3 3
当 > 2，即 > 时，
2 5
2
3 4 ( 3) 2+10 9
( ) = ( ) = = ≥ 0， 2 4 4
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∴ 1 ≤ ≤ 9，
3
又∵ > ，∴ 1 ≤ ≤ 9符合题意；
5
综上，实数 的取值范围是[1,9]．
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