辽宁省朝阳市建平实验中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

辽宁省朝阳市建平实验中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月月考数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |2 ≤ + 1 < 5}， = { ∈ | ≤ 2}，则 ∩ =( )
A. { |1 ≤ ≤ 2} B. {1,2} C. {0,1} D. {0,1,2}
2.已知函数 = ( )定义域是[ 1,3]，则 = (2 1)的定义域是( )
A. [ 1,3] B. [ 1,4] C. [ 3,5] D. [0,2]
3.已知函数 ( ) = 2 + 2 4( > 0且 ≠ 1)的图象恒过定点 ，则 点的坐标为( )
A. (0,2) B. (2,3) C. (2,4) D. (4,0)
4.若函数 ( ) = 在区间(0,1)内存在零点，则参数 的取值范围是( )
A. (1, ) B. (0,1) C. (1,2) D. (0, )
5.若关于 的不等式 2 + + > 0的解集为{ |1 < < 3}，则不等式 2 + + > 0的解集为( )
1
A. { | 3 < < 1} B. { | < < 1}
3
1
C. { | < 或 > 1} D. { | < 3或 > 1}
3
1 1 8
6.已知0 < < ，则 + 的最小值为( )
2 1 2
A. 16 B. 18 C. 8 D. 20
7.已知函数 ( ) = 2| | + 3 2 + 1，则使得 (2 1) < ( )成立的 的取值范围是( )
1 1 1 1
A. ( , 1) B. ( , ) C. ( ∞, ) D. (1, +∞)
3 3 2 3
2, 0 ≤ <
8.已知函数 ( ) = { ，若存在实数 ，使函数 ( ) = ( ) 有两个零点，则实数 的取值范围2 , ≥
是( )
A. (0,2) B. (2, +∞) C. (2,4) D. (4, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中假命题是( )
A. ∈ ， 2 > 1
B. ∈ ，使 5 < 1
C. ∈ ， 2 = 3
D. 已知命题 ： > 0，2 > 2，则 是： > 0，2 < 2
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10.设正实数 ， 满足 + = 2，则( )
1 2
A. + 的最小值为3 B. √ + √ 的最大值为2

3
C. √ 的最大值为1 D. 2 + 2的最小值为
2
( )+ ( )
11.已知 ( )是定义在区间[ 1,1]上的奇函数，且 ( 1) = 1，若 ， ∈ [ 1,1]， + ≠ 0时，有 > 0.
+
若 ( ) ≤ 2 5 5对所有 ∈ [ 1,1]， ∈ [ 1,1]恒成立，则实数 的取值范围可能是( )
A. ( ∞, 6] B. ( 6,6) C. ( 3,5] D. [6, +∞)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 + 1( ≤ 0)
12. ( ) = { ，若 ( ) = 10，则 =______．
2 ( > 0)
13.若不等式| 3| ≤ 成立的一个充分不必要条件是 1 ≤ ≤ 7，则实数 的取值范围为______．
, ≤ 1
14.对实数 、 定义一个运算： = { ，设函数 ( ) = ( 2 2) ( 2)( ∈ )，若函数
, > 1
= ( ) 的图象与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
6
已知集合 = { | ≥ 1, ∈ }， = [ | 2 2 < 0}．
+1
(1)当 = 3时，求 ∩ ( )；
(2)若 ∩ = { | 1 < < 4}，求实数 的值．
16.(本小题15分)
已知定义在 上的偶函数 ( )，当 ≥ 0时， ( ) = 3 ( ∈ )，且 ( 3) = 26．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)解不等式： ( ) > 2．
17.(本小题15分)
已知不等式 2 ( + 2) + ≤ 0的解集为{ |1 ≤ ≤ 2}．
(1)求实数 ， 的值；
(2)解关于 的不等式：( )( 2) > 0( 为常数，且 ≠ 2)
18.(本小题17分)
新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400
万元，每生产 万箱，需另投入成本 ( )万元，当产量不足40万箱时， ( ) = 2 + 100 ；当产量不小于40万
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4900
箱时， ( ) = 161 + 1100，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部

销售完．
(1)求口罩销售利润 (万元)关于产量 (万箱)的函数关系式；(销售利润=销售总价 固定成本 生产成本)
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少(万元)？
19.(本小题17分)
对于定义域为 的函数，如果存在区间[ , ] ，同时满足下列两个条件：
① ( )在区间[ , ]上是单调的；
②当定义域是[ , ]时， ( )的值域也是[ , ].则称[ , ]是函数 = ( )的一个“黄金区间”．
1
(1)请证明：函数 = 1 ( > 0)不存在“黄金区间”．

(2)已知函数 = 2 4 + 6在 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
( 2+ ) 1
(3)如果[ , ]是函数 = 2 ( ≠ 0)的一个“黄金区间”，请求出 的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 3
13.【答案】(4, +∞)
3
14.【答案】( ∞, 2] ∪ ( 1， )
4
6 5
15.【答案】解：由 ≥ 1,得 ≤ 0，∴ 1 < ≤ 5 ∴ = { | 1 < ≤ 5}，
+1 +1
(1)当 = 3时， = { | 1 < < 3}，
则 = { | ≤ 1或 ≥ 3} ∴ ∩ ( ) = { |3 ≤ ≤ 5}
6 5
(2) 1 ≥ 0， ≥ 0，(5 )( + 1) ≥ 0，
+1 +1
∴ 1 ≤ ≤ 5，又∵ ≠ 1，
∵ = { | 1 < ≤ 5}， ∩ = { | 1 < < 4}，∴有42 2 × 4 = 0，解得 = 8，
此时 = { | 2 < < 4}，符合题意，故实数 的值为8．
16.【答案】解：(1)因为 ( )是定义在 上的偶函数，且 ( 3) = 26，
所以 (3) = ( 3) = 26，即33 = 26，
解得 = 1．
当 ≥ 0时， ( ) = 3 1，
设 < 0，则 > 0，则 ( ) = ( ) = 3 1，
3 1, < 0
故 ( ) = {
3
；
1, ≥ 0
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(2)由 ( )是偶函数， ( ) > 2等价于 (| |) > 2，即3| | 1 > 2，
得3| | > 3，得| | > 1，解得 < 1或 > 1，
故 ( ) > 2的解集是( ∞, 1) ∪ (1, +∞)．
17.【答案】解：(1)因为不等式 2 ( + 2) + ≤ 0的解集为{ |1 ≤ ≤ 2}，
所以1和2是方程 2 ( + 2) + = 0的两根，
1 + 2 = + 2
由根与系数的关系知，{ ，解得 = 1， = 2．
1 × 2 =
(2)不等式( )( 2) > 0即为( )( 2) > 0，
由 ≠ 2，则 < 2时，解不等式得， < 或 > 2；
> 2时，解不等式得， < 2或 > ；
综上， < 2时，不等式的解集为{ | < 或 > 2}；
> 2时，不等式的解集为{ | < 2或 > }．
18.【答案】解：(1)生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本 ( )万元，
当产量不足40万箱时， ( ) = 2 + 100 ；
4900
当产量不小于40万箱时， ( ) = 161 + 1100，

当0 < < 40时， = 160 ( 2 + 100 ) 400 = 2 + 60 400；
4900 4900
当 ≥ 40时， = 160 (161 + 1100) 400 = 700 ( + )．

2 + 60 400,0 < < 40
所以， = { 4900 ．
700 ( + ), ≥ 40

(2)当0 < < 40时， = 2 + 60 400 = ( 30)2 + 500，
当 = 30时， 取得最大值，最大值为500万元；
4900 4900
当 ≥ 40时， = 700 ( + ) ≤ 700 2√ = 560，

4900
当且仅当 = 时，即 = 70时， 取得最大值，最大值为560万元．

综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元．
1
19.【答案】(1)证明：由函数 = 1 为(0, +∞)上的增函数，

( ) =
则有{ ，
( ) =
1
所以1 = ，即 2 + 1 = 0，无解，

1
所以函数 = 1 ( > 0)不存在“黄金区间”．

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(2)解：记[ , ]是函数 = 2 4 + 6的一个“黄金区间”( < )，
由 = ( 2)2 + 2 ≥ 2及此时函数的值域为[ , ]，
所以 ≥ 2，
又其图象的对称轴为 = 2，
所以 = 2 4 + 6在[ , ]上必为单调递增函数，
令 2 4 + 6 = ，解得 = 2或 = 3，
故该函数有唯一的一个“黄金区间”[2,3]．
( 2+ ) 1 +1 1
(3)解：由 = 2 = 2 在( ∞, 0)和(0, +∞)上均为增函数，
已知 ( )在“黄金区间”[ , ]上单调，
所以[ , ] ( ∞，0)或[ , ] (0，+∞)，且 ( )在[ , ]上为单调递增，
( ) =
故{ ，
( ) =
+1 1
即 ， 为方程 = 的两个同号的实数根，
2
即方程 2 2 ( 2 + ) + 1 = 0有两个同号的实数根，
1
注意到 = > 0，
2
则只要 = ( 2 + )2 4 2 > 0，解得 < 3或 > 1，
2+ +1 1
由韦达定理可得， + = 2 = ， = > 0， 2
所以 = √ ( + )2
+1 4 1 1 4
4 = √ ( )2 2 = √ 3( )
2 + ，
3 3
其中 > 1或 < 3，
2√ 3
所以当 = 3时， 取得最大值 ．
3
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