江苏省苏州市吴江中学明伦基地班2024-2025学年高一上学期12月质检数学试卷（PDF版，含答案）

江苏省苏州市吴江中学明伦基地班 2024-2025 学年高一上学期 12 月质
检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 5 6 < 0}， = { |2022 > √ 2022}，则 ∩ =( )
1 1 1 1
A. ( , 1) B. ( , 6) C. ( 1, ) D. ( , 3)
2 2 2 2
5
2.若角 的终边上有一点( 3, )，则实数 的值为( )
6
√ 3 √ 3
A. √ 3 B. C. D. √ 3
3 3
3.已知扇形 的面积为2，弧长 = 4，则弦 =( )
A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D. 4

4.若tan( + ) = 2，则sin2( ) 4 ( )cos( ) =( )
2
9 7 7 9
A. B. C. D.
5 5 5 5
5.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生
物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚
下课时，空气中含有0.25%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 %，且 随时间 (单位：分

钟)的变化规律可以用函数 = 0.05 + 10( ∈ )描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的
时间 (单位：分钟)的最小整数值为( )
(参考数据 2 ≈ 0.693， 3 ≈ 1.098)
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
6.已知函数 ( )为 上的偶函数，对任意 1， 2 ∈ ( ∞, 0)，均有( 1 2)[ ( 1) ( 2)] < 0成立，若 =
1 1
(√ 2)， = (log2 )， = ( 3)，则 ， ， 的大小关系为( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <

7.若正实数 、 满足( 1)( 4) = 4，且 + ≥ 2 3 恒成立，则实数 的取值范围是( )
4
A. { | 1 < < 4} B. { | 1 ≤ ≤ 4} C. { | 4 ≤ ≤ 1} D. { | 4 < < 1}
3
8.若 = ，则| | + | | =( )
1+tan 4
√ 5 √ 7 3 √ 17
A. B. C. D.
2 2 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知 ， ， 为实数，则下列结论中正确的是( )
A. 若 2 > 2，则 > B. 若 > ，则 2 > 2
1 1
C. 若 > > 0， < 0，则 > D. 若 > > ，则 >


10.若cos( ) sin( + ) > 0，则 终边可能在( )
2 2
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11.数学上，高斯符号( )是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别
是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部
分，因而引入高斯符号.设 ∈ ，用[ ]表示不超过 的最大整数.比如：
[ ]
[1] = 1，[0] = 0，[ 1] = 1，[ 1.2] = 2，[1.3] = 1 …，已知函数 ( ) = ( > 0)，则下列说法不正确

的是( )
A. ( )的值域为[0,1) B. ( )在(1, +∞)为减函数
1 7
C. 方程 ( ) = 无实根 D. 方程 ( ) = 仅有一个实根
2 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
81 1 1
12.计算( )2 + 23 34 100的值是______． 16 2
13.如图，正六边形 的边长为2，分别以点 ， 为圆心， 长为半径画
弧，两弧交于点 ，则 ， ， 围成的阴影部分的面积为 ．
2
1
, 1
14.已知函数 ( ) = { 4 ，函数是 上的单调函数，则实数 的取值范围是______．
1, > 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点是坐标原点，始边与 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 ( , 0).将3

角 的终边按逆时针方向旋转 得到角 ．
2
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(1)求 ， ；

sin( )cos( )
(2)求 23 的值．
sin( + )cos( + )+sin(3 )cos( )
2 2
16.(本小题15分)
已知 、 是关于 的方程 2 + = 0( ∈ )的两个根．
(1)求实数 的值，
1 cos2 +
(2)求 + 的值．
sin cos 1 tan2
17.(本小题15分)
今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调
査研究后发现，每一天中空气污染指数与 ( )时刻 (时)的函数关系为 ( ) = |log25( + 1) | + 2 + 1，
∈ [0,24]，其中 为空气治理调节参数，且 ∈ (0,1)．
1
(1)若 = ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
2
(2)规定每天中 ( )的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参
数 应控制在什么范围内？
18.(本小题17分)
2 +1
已知定义在 上的函数 ( ) = 是奇函数． 2 +1
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断 ( )的单调性，并用单调性定义证明；
2 1 (3)若存在 > 0，使得关于 的不等式 ( + 2) + ( ) > 0能成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数 ( )的定义域为 ，对于给定的正整数 ，若存在[ , ] ，使得函数 ( )满足：函数 ( )在[ , ]
上是单调函数且 ( )的最小值为 ，最大值为 ，则称函数 ( )是“倍缩函数”，区间[ , ]是函数 ( )的
“ 倍值区间”．
(1)判断函数 ( ) = 3是否是“倍缩函数”？(只需直接写出结果)
(2)证明：函数 ( ) = + 3存在“2倍值区间”；
8 1
(3)设函数 ( ) = 2 ， ∈ [0, ]，若函数 ( )存在“ 倍值区间”，求 的值． 4 +1 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】
4
4
13.【答案】 √ 3
3
1 1
14.【答案】[ , ]
4 2
1 2√ 2
15.【答案】解：(1)( )2 + 20 = 1， 为锐角，故 0 > 0，解得 0 = ， 3 3
2√ 2 1
= 0 = ， = ， 3 3
1 2√ 2
= sin( + ) = = ， = cos( + ) = = ．
2 3 2 3

sin( )cos( )
(2) 23 =
sin( + )cos( + )+sin(3 )cos( ) sin sin +sin sin
2 2
1 2√ 2
×( )3 3 2√ 2= 2 2 = = ． sin +sin 1 2 2√ 2 2 ( ) +( ) 7
3 3
16.【答案】解：(1)依题意， = 2 4 ≥ 0，解得 ≤ 0或 ≥ 4，
sin + cos =
又{ ，
sin cos =
所以( + )2 = 1 + 2 ，即 2 2 1 = 0，解得 = 1 √ 2或 = 1 + √ 2(舍去)．
1 cos2 + sin2 cos2 sin2 cos2
(2) + 2 = + = = + = = 1 √ 2． sin cos 1 tan sin cos cos sin sin cos
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1 1
17.【答案】解：(1) = 时， ( ) = |log25( + 1) | + 2， ∈ [0,24]， 2 2
1
令|log25( + 1) | = 0，解得 = 4， 2
因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．
3 + 1 25( + 1), ∈ (0, 25
1]
(2)令 ( ) = |log25( + 1) | + 2 + 1 = { , 25( + 1) + + 1, ∈ (25
1,24]
当 ∈ (0, 25 1]时， ( ) = 3 + 1 log25( + 1)单调递减，∴ ( ) < (0) = 3 + 1．
当 ∈ [25 1,24)时， ( ) = + 1 + log25( + 1)单调递增，∴ ( ) ≤ (24) = + 1 + 1．
3 + 1 ≤ 3
2
联立{ + 2 ≤ 3 ，解得0 < ≤ ．
3
0 < < 1
2
可得 ∈ (0, ]．
3
2
因此调节参数 应控制在范围(0, ]．
3
2
18.【答案】解：(1)因为 ( )是定义在 上的奇函数，所以 (0) = = 0，解得 = 2，
1+1
2(1 2 ) 2(1 2 ) 2(2 1)
此时 ( ) = ， ( ) = = = ( )， 1+2 1+2 2 +1
2 2 +1
所以 ( )是奇函数，满足题意，即 ( ) =
1+2
．
(2) ( )是 上的减函数，证明如下：
2 2 +1 2
因为 ( ) = = 2( 1)， ， ∈ 且 < ，
1+2 1+2 1 2 1 2
4 4 4(2 2 2 1)
所以 ( 1) ( 2) = = ， 1+2 1 1+2 2 (1+2 1)(1+2 2)
因为 1 < 2，所以2
2 > 2 1，1 + 2 1 > 0，1 + 2 2 > 0，
所以 ( 1) ( 2) > 0，
即 ( 1) > ( 2)，所以 ( )是 上的减函数．
1 1
(3)因为 ( )是 上的奇函数，所以不等式 ( 2 + 2) + ( ) > 0即为 (
2 + 2) > ( ) =

( + )，

1 1
因为 ( )是 上的减函数，所以 2 + 2 < + = ( + )在 > 0时能成立；
1 1 1
令 = + , ( > 0)，则 = + ≥ 2√ = 2，当且仅当 = 1时取等号，

1
2+ 1 22 ( + ) 2 2 2 2
所以 > = 1 1 = = 在 ≥ 2时能成立，
+ +

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2
所以 > ( ) ( ≥ 2)，
2 2
令 ( ) = ，因为 = , = 在[2, +∞)上均单调递增，

2
所以 ( ) = 在[2, +∞)上单调递增，所以 ( ) = (2) = 2 1 = 1，
所以 的取值范围是{ | > 1}．
19.【答案】解：(1)取 = 1， = 1， = 1，
∵ ( ) = 3在[ 1,1]上单调递增，
∴ ( ) = 3在[ 1,1]上的最小值为 ( 1)，最大值为 (1)，且 ( 1) = 1 = 1 × ( 1)， (1) = 1 = 1 × 1，
故函数 ( ) = 3是“倍缩函数”．
(2)证明：取 = 2，
∵函数 ( ) = + 3在[ , ]上单调递增，
+ 3 = 2
若函数 ( ) = + 3存在“2倍值区间”，等价于存在0 < < ，使得{ 成立，
+ 3 = 2
等价于 + 3 = 2 至少有两个不相等的实根，
等价于 ( ) = 2 + 3至少有两个零点，
2
∵ ( 3) = 3 < 0, (1) = 1 > 0, (2) = 2 1 < 0，且 ( )在定义内连续不断，
∴ ( )在区间( 3, 1)，(1,2)内均存在零点，
故函数 ( ) = + 3存在“2倍值区间”．
1 8 8 8( )(1 4 )
(3)对 1, 2 ∈ [0, ]，且 1 < 2，则 ( 1) ( 2) =
1 2 = 1 2 1 2 ，
2 4 21+1 4
2
2+1 (4
2
1+1)(4
2
2+1)
1
∵ 0 ≤ 1 < 2 ≤ ，则 1 2 < 0,1 4 1 2 > 0,4
2
1 + 1 > 0,4
2
2 + 1 > 0， 2
∴ ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
1
故函数 ( )在[0, ]上单调递增，
2
8
=
1 4 2+1
若函数 ( )存在“ 倍值区间”，即存在0 ≤ < ≤ , ∈ ，使得{ 8 成立， 2
2 =
4 +1
8 1
即 2 = 在[0, ]内至少有两个不相等的实根， 4 +1 2
8 8 1
∵ = 0是方程 2 = 的根，则 2 = 在(0, ]内有实根， 4 +1 4 +1 2
1 8
若 ∈ (0, ]，则 2 ∈ [4,8)，即 ∈ [4,8)，且 ∈
，
2 4 +1
∴ = 4，5，6，7，即 ∈ {4,5,6,7}．
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