2025年中考数学二轮专题复习第一章几何最值专题讲练 第1节 将军饮马 （含解析）

第1节 将军饮马
前言： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗. 而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，称为“将军饮马”问题.
1 模型认识.
问题描述：如图，将军在图中点A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短
问题简化：如图，在直线上找一点 P使得 PA+PB 最小
问题解决：作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA, 所以PA+PB=PA'+PB .
当A'、P、B三点共线的时候, PA'+PB=A'B , 此时为最小值.(两点之间线段最短)
思路概括
作端点(点A 或点B)关于折点(上图P点)所在直线的对称，化折线段为直线段. 根据“两点间线段最短”可得最小值.
引例1：在平面直角坐标系中，点A坐标是(0，1)，点B坐标是(3, 2), 在x轴上取一点 P, 使得 PA+PB 最小, 则点P坐标是 .
解析：作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，与x轴的交点即为所求点 P.
由题意得点A'坐标为(0, -1),
∴直线A'B的解析式为y=x-1, 与x轴交点为 (1, 0),
∴PA+PB 最小时, 点 P的坐标是(1, 0).
模型拓展除了基本的模型之外，我们也可以利用类似的理论构造类似的图形. 可用于求最值的定理有：
①两点之间线段最短；
②点与直线的连线中，垂线段最短；
(1) 点-点: 一定两动
在OA、OB 上分别取点M、N, 使得△PMN周长最小.
分析：此处M、N均为折点，分别作点 P关于 OA (折点 M所在直线)、OB (折点N所在直线) 的对称点，化折线段 PM+MN+NP为P'M+MN+NP", 当P'、M、N、 P"共线时, △PMN周长最小.
引例2: 如图, 点P 是∠AOB 内任意一点, ∠AOB=30°,OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值是 .
解析: △PMN周长即PM+PN+MN的最小值, 此处M、N均为折点, 分别作点 P关于OB、OA 对称点P'、P",化PM+PN+MN为P'N+MN+P"M.
当P'、N、M、P"共线时, 得△PMN周长的最小值,即线段P'P"长, 连接OP'、 OP",可得△OP'P"为等边三角形，∴P'P"=OP'=OP=8.
【思考】∠AOB还可以是多少度
点-点：两定两动
在 OA、OB 上分别取点M、N使得四边形 PMNQ的周长最小.
分析: 考虑 PQ是条定线段, 故只需考虑 PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点 P、Q关于OA、OB对称, 化折线段 PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ', 当P'、M、N、Q'共线时, 四边形 PMNQ的周长最小.
引例3：在平面直角坐标系中，点P坐标是(1，3)，点Q坐标是(4,2),分别在y轴、x轴上取点M、N,则四边形PMNQ周长的最小值是 .
解析: 考虑到PQ 是定值, ∴只需 PM+MN+NQ 的值最小即可. 作点P关于y轴的对称点P',坐标是 (-1, 3),作点Q关于x轴的对称点Q',坐标是 (4, -2).
连接P'Q', 与y轴、x轴交点即为M、N,此时四边形 PMNQ的周长最小，
最小值为
(2) 点-线：点与直线的连线中，垂线段最短在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小.
分析：此处M点为折点，作点P关于OA 对称的点P'，将折线段PM+MN转化为P'M+MN, 即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点 M、N, 即可得 PM+MN最小值.
引例4: 如图, 在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=3, BC=4,AD 平分∠BAC, 分别在 AD、AC上取点 M、N, 连接 CM、MN, 则CM+MN的最小值是 .
解析：∵AD是角平分线，∴点N关于AD的对称点N'在线段AB上, 连接MN', 有CM+MN=CM+MN',考虑到M、N皆为动点，∴过点C作AB的垂线，与AD、AB交点即是M、N', 此时CM+MN'最小.
最小值CN'即 Rt△ABC斜边高线长, 即 ∴CM+MN 的最小值为
(3) PA-PB型：三角形两边之差小于第三边在直线l上取点 P使得PA-PB 最大.
分析：PA-PB 型一般求最大值，且A、B初始位置在折点所在直线(上图中l) 两侧，与PA+PB型不同.
作点B关于直线l的对称点B'，
则PA-PB=PA-PB'≤AB',
当A、B'、P共线时, 此时PA-PB=AB'最大.
引例5:如图, 在正方形ABCD中, AB=8,AC与BD交于点O, N是AO的中点, 点M在BC边上,且BM=6. P 为对角线 BD 上一点, 则PM-PN 的最大值为
解析：作点M关于BD的对称点M'，根据对称性可知M'在AB上且AM'=2, 连接PM', 则PM'=PM,
∴PM-PN=PM'-PN≤MN,
当M'、N、P共线时,此时PM'-PN=M'N, 取到最大值.
∵△NAC= =M B, ∴△AMN∽△ABC,
即△AMN是等腰直角三角形，
中小学教育资源及组卷应用平台
3 平移型将军饮马
(1) 造桥选址
问题描述：已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短
分析：考虑MN长度恒定，只要求AM+NB 最小值即可. 问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得 M、N重合，此时A点落在A'位置.
问题化为求A'N+NB最小值, 显然, 当A'、N、B三点共线时，值最小，并可得N点位置，即可确定桥的位置.
思路概括
当两条线段分离时，可通过平移，将其化成共端点的折线段，求最值问题即是常规将军饮马问题.
(2) 将军遛马
问题描述：如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路(长度为定值)，再返回军营，问怎么走路程最短
问题简化：已知A、B两点，MN长度为定值，确定 M、N位置使得AM+NB值最小
分析: 将AM平移使M、N重合, AM=A'N, 将AM+BN转化为A'N+NB.
构造点A关于 MN的对称点A"，连接A"B，可依次确定 N、M位置，可得路线.
引例6：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B .在原点, 点A、C在坐标轴上, 点D的坐标为(6, 4), E为CD的中点, 点 P、Q为BC边上两个动点, 且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小，则点 P 的坐标应为 .
解析: 考虑PQ、AE为定值, ∴只需AP+QE最小即可,如图, 将AP平移至A'Q, 考虑A'Q+QE最小值.∵PQ=2, ∴AA'=2, 即点A'的坐标为(2, 4),作点A'关于 x轴的对称点A", 则点A"坐标为(2, - 4),连接A"E ，与x轴交点即为Q点.
又点E坐标为(6，2)，可得直线A"E解析式为 解方程 得 ∴点Q坐标为 左移2个单位即为点 P，∴点P坐标为( ,0).
问题设计
解题思路：作端点关于折点所在直线的对称.
题型总结：为了便于构造对称，通常将军饮马问题存在于角平分线、等腰(边) 三角形、正方形中，折点所在直线通常为对称轴，直接作对称即可.
变式分析：(1) 非轴对称图形确定对称点的位置；
(2) 确定折点所在直线.
(1) 非轴对称图形确定对称点的位置
引例7: 如下左图, 在等边△ABC中, AB=6, N为AB上一点且 BN=2AN, BC的高线AD 交 BC于点 D, M是AD上的动点, 连结 BM、MN, 则 BM+MN的最小值是 .
变式: 如上右图, 在 Rt△ABD中, AB=6, ∠BAD=30°,∠D=90°,N为AB上一点且BN=2AN, M是AD上的动点,连结BM、MN, 则BM+MN的最小值是 .
解析：M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接CN，即为所求的最小值. 过点 C作AB 垂线，利用勾股定理求得CN的长为2
变式：对称点并不一定总是在已知图形上，补出图形，可得BM+MN最小值为2
(2) 确定折点所在直线
引例8:如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,动点 P 满足 则点 P 到A、B两点距离之和 PA+PB的最小值为( )
C. 3
解析：由 可作出 P 点轨迹为直线 MN(AM=BN=2), 作点B 关于 MN的对称点B', 化折线PA+PB为PA+PB'. 当A、P、B'共线时, 取到最小值,选A.
真题演练
1. 如图, 在 Rt△ABO中, ∠OBA=90°,A(4, 4), 点C在边AB上, 且AC: CB=1: 3, 点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA 上移动时，使四边形 PDBC周长最小的点 P 的坐标为( )
A. (2, 2)
D. (3,3)
2. 如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点 D 在 BC 上, BD=3, DC=1, 点 P 是 AB 上的动点, 则PC+PD的最小值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
3. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=6. AB=12, AD平分∠CAB,点F是AC的中点, 点E是AD上的动点, 则CE+EF 的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 3 D. 2
4. 如图, 在锐角三角形ABC中, BC=4,∠ABC=60°, BD平分∠ABC, 交AC于点 D, M、N分别是BD、BC上的动点, 则 CM+MN的最小值是( )
A. B. 2 C. 2 D. 4
5. 如图, 正方形ABCD的边长是4, M在DC上, 且DM=1，N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是
6. 如图,在菱形ABCD中, E是BC的中点, P、M分别是AC、AB上的动点,连接PE、PM, 则PE+PM的最小值是( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 4.5
7. 如图, 在Rt△AOB中, ∠AOB=90°,OA=3,OB=4, 以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于点C, 过点 C作 CD⊥OB交AB于点 D, 点 P 是边 OA 上的动点. 当PC+PD最小时, OP 的长为( )
A. B. C. 1 D.
8. 如图, 在矩形ABCD中, BC=10,∠ABD=30°,若点 M、N分别是线段DB、AB上的两个动点,则AM+MN的最小值为 .
9. 如图, 在扇形BOC中, ∠BOC=60°,OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点.若OB=2，则阴影部分周长的最小值为 .
10. 如图, 矩形 ABOC的顶点A 的坐标为(-4, 5), D是OB的中点, E是OC上的一点, 当△ADE的周长最小时，点E的坐标是 ( )
A.〔0,43〕 B. (0,5)
C. (0,2) D. (0, ）
11. 如图, 矩形 ABCD 中, AB=10, BC=5,点E、F、G、H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形 EFGH周长的最小值为( )
A. 5 B. 10 C. 10 D. 15
12. 如图, 在正方形ABCD中, 点E, F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是 ( )
A. 0 B. 4 C. 6 D. 8
13. 如图, ∠AOB=60°, 点P是∠AOB内的定点且( 若点M、N分别是射线OA、OB 上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ( )
C. 6 D. 3
14. 如图, 在直角坐标系中, 点A (1, 1),B(3，3) 是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1, 且 CA=CB, 在y轴上取一点 D, 连接AC、BC、AD、BD，使得四边形 ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为
15. 如图,∠AOB的边OB与x轴正半轴重合, 点 P 是 OA 上的一动点, 点N(3, 0) 是OB 上的一定点, 点M是ON的中点, ∠AOB=30°, 要使 PM+PN最小,则点 P 的坐标为 .
16. 如图, 已知正比例函数y= kx (k>0) 的图像与x轴相交所成的锐角为70°, 定点A的坐标为(0, 4), P为y轴上的一个动点，M、N为函数y= kx(k>0) 的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN的最小值为 .
17.如图, 已知抛物线 与直线 交于A、B两点, 交x轴于 C、D两点, 连接AC、BC, 已知A(0, 3), C(-3, 0).
(1) 求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB-MD|的值最大，并求出这个最大值.
18. 如图，抛物线 与x轴交于点A(-2,0),B (4, 0), 与y轴交于点 C, 顶点 D.
(1) 求抛物线的解析式和顶点 D的坐标；
(2) 动点 P、Q以相同的速度从点 O 同时出发，分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动, 连接CP、DQ, 请直接写出CP+DQ的最小值.
19. 如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l 同侧的 A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气. 试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.
(1) 如图②, 作出点A 关于l的对称点A', 线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的.
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C', 连接AC'、 BC', 证明AC+CB(2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域. 请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由).
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.
第1节 将军饮马
1.C.
解析：点D 关于折点P 所在直线OA 的对称点D'，可得D'坐标是 (0, 2), 直线CD'解析式为 又直线OA 解析式为y=x, 联立方程: 解得： 故点P坐标 故选 C.
2.解析：作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时, PC+PD 最小, 最小值为5, 故选B.
3C.
解析：作点C关于AD的对称，对称点C'在AB上且在AB中点, 化折线段CE+EF为C'E+EF, 当C'、E、F共线时得最小值， 故选C.
4C.
解析：作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN'. 因为M、N皆为动点, 所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C.
5解析：作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小， ∴周长最小值为6.
6.C.
解析：作点M关于AC的对称点M'，恰好在AD上，化折线EP+PM为EP+PM'. 当E、P、M'共线时, EP+PM最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：
代入解得： 故选C.
7.B.
解析：延长BO 交圆于点 M，连接MD，与AO交点即为所求P点, ∵点C是OB中点, ∵P、O分别是MD、MC中点, 即OP的长为 , 故选B.
8. 15.
解析: 如图,作射线BP 使得∠DBP=30°, 则点N关于 BD的对称点N'在射线 BP 上，过点 A 作 BP 的垂线，垂足记为AM+MN 最小值时的点N', ∵BC=10, ∴ AB=10 AN'=15, ∴最小值为15.
9.
解析: 作点D关于OB的对称点D', 连接CD', 则CD'的长即为CE+DE的最小值,连接OD', ∵∠BOC=60°, 且OD平分∠BOC,∴∠COD'=90°,∴CD'=2 ，故阴影部分周长的最小值是
10. B.
解析：作点 D 关于y轴的对称点D'，坐标为(2，0) 连接AD，与y轴交点即为所求 E 点. 由题意得直线AD'解析式为 故点 E坐标为(0. ),故选B.
11 . B.
解析：考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处E为折点，作F关于AB对称点F'，则BF'=BF=DH=CM, ∴MF'=BC=5, MH=DC=10, 周长最小值为10 , 故选B.
12. D.
解析：考虑在AD上任取一点P，所得PE+PF的最小值和最大值. 先求PE+PF最小值：作点E关于直线AD 的对称点E', 连接PE'、 AE', 则PE+PF=PE'+PF , 当E'、
P、F共线时，取到最小值，此时
显然
PE'+PF>9, ∴在AD上存在两个点P使得PE+PF=9,在正方形的边上有8个这样的点 P，故本题选D.
13.D.
解析：此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对称点P'、P", 化△PMN周长为P'N+MN+MP". 当P'、N、M、P"共线时, 得最小值, 利用60°角翻倍得∠P'OP"=120°, OP'=OP"=OP , 可得△PMN周长最小值为 故选D.
14.
解析：由题意可得点C坐标为(3，1) 求四边形ACBD周长最小值，即当AD+BD 最小时，周长最小，作点A关于y轴的对称点A', 连接A'B, A'B 的长即AD+BD的最小值, 为2 ，∴四边形周长最小值为
15.
解析：作点M关于OA的对称对称点M'，连接PM'，化PM+PN为PM'+PN . 当M'、P、N共线时, 得最小值,又∠M'ON=60°且ON=2OM', 得∠OM'N=90°,
直线NP解析式为
联立方程 解得：
点P坐标为
16. 2
解析：先考虑 M为折点，作点P关于OM对称点P'，化AM+MP+PN为AM+MP'+P'N , 此处P'为折点, 作点N关于OP'对称点N', 化AM+MP'+P'N为
AM+MP'+P'N', 当A、M、P'、N'共线且AN'⊥ON'时，值最小，最小值为
17.解析: (1) 解析式:
(2) 连接MC, 则MC=MD, 故问题可转化为|MB-MC|的最大值. 如图当B、C、M三点共线时， 为最大值.
18.解析：(1) 抛物线解析式： 顶点D的坐标为
(2)作点D关于y轴的对称点 D',!则DQ=D'Q,又CP=QB,∴CP+DQ=D'Q+QB, ∴当D'、Q、B共线时, 可得最小值为
解析: (1) 连接A'C',则 ∴AC+CB(2) 当生态保护区是正方形时，最短路线是 AM+MN+NB；当生态保护区是圆时,最短路线是AM+MN+弧NP+PB.(MN、BP 均与圆相切)