2025年中考数学二轮专题复习第一章几何最值专题讲练 第2节 胡不归问题 （含解析）

第2节 胡不归问题
前言：求“PA+k·PB”型最值问题是一类常见问题，通常分为“胡不归”和“阿氏圆”，也可以说动点在直线上(胡不归)或圆上(阿氏圆)，此类问题的关键点在于转化k·PB=PC，从而将问题化为PA+PC的最值，选取恰当的点P，解决问题.
模型介绍
故事背景：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家. 根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭. 邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归 胡不归 …” (“胡”同“何”, 意同“咋还不回来呢”)
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家
模型建立：如图，动点 P在直线MN外的运动速度为V ，在直线 MN 上运动的速度为V ，且V 问题分析：
记
即求BC+k·AC的最小值.
模型总结
作图：构造射线AD使得 即CH=k·AC.
分析: 将问题转化为求 BC+CH 最小值, 过 B 点作 BH⊥AD 交 MN于点 C, 交AD于H点, 此时 BC+CH取到最小值, BH的值即BC+k·AC的最小值.
思考：像上面这个例子求“BC+k·AC”最小值，涉及一个动点两条线段，通过转化k·AC=CH 解决问题.
转化k·AC的原因不是k·AC带系数，而是AC是一条方向不变的线段，当方向不变时，方能构造恰当的角度α满足sinα=k.
将k·AC转化为一条垂线段长，且此类问题中的 k 满足0若本题求“AC+m·BC最小值”, 需提出m, 将问题化为求 最小值，因为方向变化的 BC无法构造合适的k·BC.
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引例:如图,△ABC中,AB=AC=10, tanA=2,BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则 的最小值是 .
解析：本题关键在于处理 考虑tanA=2,△ABE三边之比为 ∴作DH⊥AB交AB于H点, 则
问题转化为 CD+DH 最小值, 故 C、D、H 共线时值最小，此时(
变式1：本题巧妙在于 不再需要构造夹角，若稍作改变，将图形改造如下：
则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在.
变式2：若将问题变成“求 的最小值”.
首先明确，肯定不是转化 CD,
其一在于 无从下手；
其二在于 CD是一条方向变化的线段，无法构造固定夹角构造k·CD.
正解：提出 即可，
真题演练
1. 如图,平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6, BC=2, P为边 CD上的一动点, 则 的最小值等于 .
2. 如图,在△ABC中, ∠A=90°, ∠B=60°,AB=2, 若 D 是 BC 边上的动点, 则 2AD+DC 的最小值为
3. 如图，已知抛物线 (k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点 C，经过点B的直线 与抛物线的另一交点为D.
(1) 若点 D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点 M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒2个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少
4. 如图，在直角坐标系xOy中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 与 x轴交于另一点 C (-1, 0).
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求 的最小值.
5.如图, 已知抛物线 与x轴交于A(-1, 0), B(5,0) 两点, C为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设P是抛物线的对称轴上的一个动点. 连结PB，求 的最小值.
6.抛物线 与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点 C. 点P是直线AC上方抛物线上一点， 轴于点F，PF与线段AC交于点E. 将线段OB沿x轴左右平移，线段OB 的对应线段是 当 的值最大时，求四边形PO B C周长的最小值，并求出对应的点 的坐标.
7. 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向右平移 1 个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点 A 在点 B 的左侧), OA=1, 经过点 A 的一次函数y= kx+b (k≠0) 的图像与y轴正半轴交于点 C, 且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.
(1) 求抛物线和一次函数的解析式；
(2) 若点 P为x轴上任意一点，点E坐标为 求 的最小值.
8.在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A (-3, 0)、B (1, 0), 交y轴于点N，M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点 C.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点, EF⊥AM于点 F, 过点 E作EH⊥x轴于点 H, 交AM于点D.点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求 PD+PC的最小值;
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出 的最小值.
第2节 胡不归问题
1. 3
解析：作PH⊥AD延长线于 H点，即可得 直接过点 B 作 AD 的垂线，垂线段长即为 的最小值，最小值为 最小值为3
6.
解析: 过点 D 作DH⊥AC交AC于点 H, 则 即求AD+DH最小值即可. 作CA关于CB的对称CA', 过点A作AQ⊥CA'交CA'于点Q,则AQ的长即为AD+DH的最小值,∵AB=2,
3.解析: (1) A (-2, 0), B (4, 0), 直线解析式为 D点坐标为(-5,3 )，故抛物线解析式为 化简：
(2) 点M运动的时间为 即求 的最小值. 如何构造 考虑 BD与x 轴夹角为30°, 且DF 方向不变, 故过点D作DM∥x轴, 过点 F作 FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有
当A、F、H共线时取到最小值，此时点F坐标为(-2，2 ).
解析:(1)由题意得点A 坐标为(4,0),点B坐标为(0,-2), 可得抛物线解析式为y=a(x+1)(x-4),将点B(0,-2) 代入得: ∴抛物线解析式为
(2) 设M点坐标为 过点M作MD⊥x轴交AB于点D，则D点坐标为
当m=2时, MD取到最大值,即△MAB 的面积取到最大值, 此时点M坐标为(2, - 3),取点 G(- ,-3)连接 OG 则∠BOG=30°, 过点 N作 NH⊥OG, 则 当M、N、H共线时, 取到最小值， 又 的最小值为
5. 解析: (1) 由题意可得点 D (2, 0), 点C(2, 4), 设函数解析式为y=a(x+1)(x-5),将点C(2,4)代入得: ∴二次函数解析式为
(2)过点P作PH⊥AC,根据 可得 当B、P、H共线时，取到最小值，∵AB=6，由三角函数可得最小值为 的最小值为
解析：根据抛物线解析式得A(-3 ,0)、B( ,0)、C(0, )，直线AC的解析式为： 可知AC与x 轴夹角为30°. 过点 E 作 EH⊥y轴交y轴于 H点, 则∠CEH=30°, 故 转化为PE+CH何时取到最小值.
考虑到 PE于 CH并无公共端点，故用代数法计算，设 则 当P点坐标为((-2 , 时， 取到最大值，平移型将军饮马问题，可得B 坐标是 点O 坐标是 四边形周长最小值为
解析：(1)由题意得二次函数解析式为 将(-1,0)代入得 ∴抛物线解析式为 可得点 B坐标为(3, 0), ∴AB=4, 又△ABD的面积是5, 代入解析式得： 解得：x =4, (舍),∴D 点坐标是(4,ξ),
直线解析式为
(2)连接AE，可得AE解析式为 过点 P作 PH⊥AE 交AE 于点 H, 则 问题转化为 PE+PH最小值，作点 E关于x轴对称的直线E'，过点E'作AE 的垂线，垂线段长即为 的最小值， 又 的最小值是3.
解析：(1) 解析式为
(2)EF最大即 ED最大,由题意可得点M坐标为(-1,4),又点A (-3, 0), 故直线AM解析式为: y=2x+6,设点E坐标为 则点D坐标为(m,2m+6),
当m=-2时，可得ED的最大值为1，此时点D坐标为(-2, 2).
∵点C坐标为(-1, 0), 点B (1, 0), 即B、C关于y轴对称, 连接PB, 则PB=PC, ∴PD+PC=PD+PB≥DB,当D、P、B共线时，可得最小值 即PD+PC最小值为
(3) 作直线 l: 过点 Q 作 QG⊥直线 l, 则
构造三垂直相似:△OKG∽△GLD,设OK=x,则 解得： 的最小值为