2025年中考数学二轮专题复习第一章几何最值专题讲练 第3节 阿氏圆问题 （含解析）

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第3节 阿氏圆问题
前言：阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，圆锥曲线集大成者，创造性地提出了圆的另一种定义方式：平面中到两定点距离之比是定值的所有点的集合叫做圆. 由此取名“阿氏圆”，其中 可转化为PA=k·PB,即可将k·PB转化为PA.通常涉及求到求“PA+k·PB”最值且动点P的轨迹是圆，即为“阿氏圆”问题.
1阿氏圆剖析
(1) 定义: 如图, 已知 A、B 两点, 点 P 满足PA:PB=k(k≠1)，则满足条件的所有的点 P构成的图形是圆.
(2) 证明：角平分线定理与辅助圆
①内角平分线定理: 如图, 在△ABC中, AD 是∠BAC的角平分线，则
证： 即
②外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点 D，则
证：
即
③证明: 如图, PA:PB=k, 作∠APB的角平分线交 AB于M点，根据角平分线定理， 故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点.
作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理， 故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点.
(定边对直角)，
∴P 点轨迹是以MN中点O为圆心，MN为直径的圆. 性质与应用
(1) A、B、M、N、O五点共线且A、B分别在圆内外.
(2) 定义得相同比例：
应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O，反之，若已知A、B其中一点、k及圆O，可求得另一点.
(3)△OBP∽△OPA,(可证∠OPB=∠OAP得相似)
即
应用：已知圆心、半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置.
2 问题设计
(1) 已知A、B求圆轨迹.
引例1: 如图, 在坐标系中, 点A(-1, 0), 点B (3, 0),P是平面中一点且PA：PB=3：1，求P 点轨迹圆圆心坐标.
解析：由阿氏圆性质1和性质2，可得：
取 M (2, 0) 满足 MA: MB=3: 1,
取N(5, 0)满足NA: NB=3: 1,
∴点P轨迹圆圆心坐标为MN中点( , ).
取点P所在的特殊位置来确定M、N位置，即可得轨迹圆圆心.
(2) 已知圆轨迹求点A或B.
引例2: 如图, 已知在坐标系中, 点A(-1, 0),P是以点(2,0)为圆心， 为半径的圆，平面中求一点 B 使得PA:PB=3:1, 求B点坐标.
思路1：巧用阿氏圆性质1和性质2.
当P 点运动到 M 点位置时, 有 MA: MB=3: 1,考虑到A(-1, 0)、M(2, 0), 可得MB=1,考虑到A、M、B共线且B 点在圆内，可得B 点坐标为(3, 0).
且可由 NA: NM=3: 1检验点B的正确性.
思路2：由性质3构造“母子型”相似.
考虑 将 代入可得： 故B 点坐标为(3, 0).
以上两个引例是对阿氏圆性质的运用，我们可以由阿氏圆定义画圆，也能在已知圆的前提下，确定那两个定点其中之一. 但这两种问题都不会出现在试卷上，那阿氏圆如何考 如何与最值相联系
(3) 最值问题的设计
引例3: 在坐标系中, 点A (-1, 0), P是以点o / 。为圆心， 为半径的圆, Q (2, 2), 求 的最小值.
解析：关键在于处理 PA，考虑到P点轨迹是个圆，且要构造 PA，必然是：平面中存在一点 B 使得 P 在圆上任意位置，均满足： 即有
逆用“阿氏圆”，给出圆和A点位置以及比值k，求另一点B的位置，即可将问题化为求PQ+PB的最小值.
由引例2得满足这样条件的点B坐标是(3，0)，
∴最小值是
模型总结 在阿氏圆模型中， 有如下量： (1) 两定点A、B; (2)“PA+k·PB ”问题中的“k”; (3) 一个定圆. 解题思路： 根据阿氏圆性质在平面中确定一点 C， 使得PC=k·PB, 将问题转化为PA+PC的最值. 关键在于如何确定C点的位置 思路1： 利用P点在 B、P、O共线的特殊位置； 思路2： 利用阿氏圆模型中存在的相似三角形. 即可确定点 C坐标.
(4) 比例系数的分析
引例4: 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=4, BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则 的最小值为
解析：点M与A、C共线，且M点必满足：( 代入CP、CA, 即可得: 2 =4·CM, 得: CM=1,即可确定M点位置， ∴最小值为
思考1：这里为什么是
答：因为 Rc=2, CA=4, Rc/α= , ∴△CMP 与△CPA的相似比为 即有 也只能构造 PA.
思考2：如果问题是求 PA+kPB 最小值，k应为多少
答：根据
1. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=12, AC=9, 以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D. 连接AD、BD、CD, 则2AD+3BD的最小值是 .
2. 如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P 是圆B上的一个动点，则 的最大值为 .
3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴、y轴分别交于A、C两点, 抛物线 经过A、C两点，与x轴的另一交点为B.
(1) 求抛物线解析式及B 点坐标；
(2)如图2，若P点是半径为2的圆B上一动点，连接PC、PA，当点 P 运动到某一位置时， 的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.
第3讲 阿氏圆问题
1.
解析： ∴求 最小值即可. 考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造 AD.当D 点运动到AC边时, DA=3, 此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在 ，∴最小值为
5.
解析：当P 点运动到 BC边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造 PC, 在 BC上取M使得此时PM=1, 则在点P运动的任意时刻，均有 从而将问题转化为求PD-PM 的最大值.连接PD,对于△PDM, PD-PM解析：(1) 抛物线解析式： 点B坐标为(5, 0);
(2) 取点D (4, 0) 满足
即最小值为