2025年中考数学二轮专题复习第2章 对称与旋转压轴题讲练 第2节 矩形的折叠（含解析）

第2节 矩形的折叠
前言：涉及对称的问题，以矩形对称最多，变化形式多样. 比如，可以按对角线折叠，对称点可以落在矩形边上，可以落在矩形内部，也可以落在矩形外部，无论如何变化，解题工具有三：(1)勾股； (2)全等相似；(3)三角函数. 从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键.
知 识 导 航
沿对角线折叠
当矩形沿对角线折叠时，图中必有全等，注意运用对应边相等.
引例1: 如图, 四边形ABCD 是矩形纸片, 将△BCD 沿BD折叠,得到△BED,BE交AD于点F,AB=3. AF:FD=1:2,则AF= .
解析: 由题意可得△AFB≌△EFD, ∴BF=DF,
设AF=x, 则BF=DF=2x, 又AB=3,故 解得：
落点在矩形边上
寻找两类图形：
(1) 三边可求的直角三角形；
(2) 三垂直相似.
引例2:如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点 F处, 那么sin∠EFC 的值为 .
解析：根据对称可知AF=AD=5,
又AB=3, ∴BF=4,
∴FC=1, 设CE=x,
则DE=3-x, EF=3-x,
解得：
落点在矩形内
根据落点位置的条件，确定可解的直角三角形或可能存在的相似.勾股定理和相似三角形，解决问题的两大法宝.引例3:如图, 在矩形 ABCD 中, AB=4, E为CD 边上一点, 将△BCE 沿BE 折叠, 使得C落到矩形内点 F 的位置，连接AF，若 则CE= .
解析: 过F点作MN∥BC分别交AB、CD于 M、N两点, 设FM=x, 则AM=2x, BM=4-2x,对Rt△BMF用勾股定理: 解得： (舍)
由题意得∠△BMF∽△FNE, 代入得： 解得： ∴CE的长为
引例4: 如图, 在矩形ABCD中, AB=6,BC=10, 将矩形ABCD沿BE折叠, 点A落在A'处, 若EA'的延长线恰好过点 C, 则sin∠ABE的值为 .
解析:根据折叠可知BA'=BA=6,又∠BA'C=90°,BC=10,
落点在矩形外
图形交错，绕矩形一圈，存在多个三角形相似，由已知线段逐个推出未知线段的长.
引例5:如图, 矩形纸ABCD, AB=4, BC=3,点P在BC边上, 将△CDP沿DP折叠, 点C落在点E处,PE、DE分别交AB于点O、F, 且OP=OF, 则cos∠ADF的值为( )
A. B. C. D.
解析: 根据OP=OF, 则△OEF≌△OBP,∴OE=OB, OE+OP=OB+OF, 即 EP=BF,设EP=BF=x, 则AF=4-x,
∵CP=EP=x,
∴EF=BP=3-x,
∴DF=x+1.
在Rt△ADF中,
代入得：
解得：
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∴选C.
5 多次折叠必有中点
当矩形两端均向中间折叠时，注意图中的相等线段，可得中点.
引例 6:将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠, BE、EG、FG为折痕,若顶点A、C、D都落在点O处,且点B、O、G在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则 的值为( )
A. B. C. D.
解析: 由题意得: △BAE≌△BOE,△EDG≌△EOG, △GCF≌△GOF,∴E、G分别是AD、DC中点,由题意得: △BAE∽△EDG, 设AB=a, AD=b,
则 化简得：
即
∴选B.
动态中的折叠
引例8:如图, 折叠矩形纸片ABCD, 使点D落在AB边的点M处, EF为折痕, AB=1, AD=2. 设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形 CDEF的面积是
解析: 连接DM, 过点E作EH,
由题意得: △DAM∽△EHF,
设AE=x, 则EM=ED=2-x,
勾股定理得：
解得：
即四边形 CDEF 的面积是
真 题 演 练
1. 如图, 将矩形ABCD 折叠, 使点 C和点A重合, 折痕为EF, EF与AC交于点O. 若AE=5,BF=3, 则AO的长为( )
A. C. 2 D. 4
2. 如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠，使点 D落在 BC边上的点 F处.若AB=3, BC=5, 则tan∠DAE的值为 ( )
A. B. C. D.
3. 如图, 有一张长方形纸片ABCD,AB=8cm, BC=10cm, 点E为CD上一点, 将纸片沿AE折叠, BC 的对应边 B'C'恰好经过点 D, 则线段 DE 的长为 cm.
4. 如图, 矩形ABCD中, BD为对角线,将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点 M 处, 点 C落在 BD 上的点N处, 连结EF. 已知AB=3, BC=4, 则EF的长为( )
A. 3 B. 5
5. 如图, 在矩形 ABCD中, AB=5, BC=6,点M、N分别在AD、BC上, 且 E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC'E , 当点C'恰好落在直线 MN 上时, CE的长为 .
6. 如图, 矩形ABCD中, AB=2, BC=3, 点E为AD上一点, 且∠ABE=30°, 将△ABE沿BE翻折, 得到△A'BE , 连接CA'并延长, 与AD 相交于点 F, 则DF的长为 .
7. 如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,M为AD上一点,将△ABM沿BM翻折至△EBM, ME和BE分别与 CD 相交于 O、F两点, 且OE=OD, 则 AM 的长为
8.如图, 矩形ABCD中, 点G、E分别在边BC、DC上, 连接AG、EG、AE,将△ABG和△ECG分别沿AG、EG折叠，使点B、C恰好落在AE上的同一点，记为点F. 若CE=3, CG=4, 则sin∠DAE= .
9. 如图,矩形ABCD中, E为AD中点, F为AB上一点, 将△AEF沿EF折叠后, 点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF 的长是 .
10. 如图是一张矩形纸片,点E在AB边上,把△BCE 沿直线 CE对折，使点B 落在对角线AC上的点 F处, 连接 DF. 若点 E、F、D 在同一条直线上, AE=2, 则DF= , BE= .
11. 如图,有一张矩形纸条ABCD,AB=5cm,BC=2cm, 点M、N分别在边AB、CD上, CN=1cm. 现将四边形 BCNM沿MN折叠,使点B、C分别落在点B'、C'上.当点B'恰好落在边 CD上时，线段BM的长为 cm；在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中, 若边 MB'与边 CD 交于点E，则点 E相应运动的路径长为 cm.
12. 矩形ABCD中, AB=8, AD=12. 将矩形折叠，使点A落在点 P处，折痕为DE.
(1)如图1,若点P恰好在 BC上, 连接AP,求 的值；
(2)如图2, 若E是 AB的中点, EP 的延长线交 BC于点F, 求BF的长.
13. 在矩形ABCD中, E为DC边上一点,把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.
(1) 求证: △ABF∽△FCE;
(2) 若AB=2 , AD=4, 求EC的长;
(3) 若AE-DE=2EC , 记∠BAF=α, ∠FAE=β, 求tanα+tanβ的值.
第2节 矩形的折叠问题
1.C.
解析: 易证AF=AE=5, 又BF=3, ∴AB=4, BC=8, 故选C.
2.D.
解析：由题意可得 故选D.
5cm.
解析:由题意得AB'=AB=8cm,AD=BC=10cm,∴B'D=6 cm, CD=4cm, 设DE=x(cm), 则CE=(8-x) cm, 勾股定理得 解得: x=5, ∴DE的长为5cm.
4. C.
解析：由题意可得： 由勾股定理可得： 故选 C.
5. 或10
解析：可能情况如下：
情况一：如上左图，
由题意可得: DC'=DC=5, DM=4, ∴MC'=3, C'N=2,对于△ENC', 设CE=x, 则C'E=x, EN=4-x,
根据勾股定理可得： 解得： 故CE的长为
情况二：如上右图，
由题意得: C'F=CD=5, ∴NF=3, MF=2,
可得
综上所述，CE 的长为 或10.
6.
解析: 由题意得: ∠ABE=∠A'BE=∠A'BC=30°,过点A'作A'H⊥BC交BC于H点,
则A'H=1, BH=
又
7.4.8.
8.
解析: ∠AGE=90°, BG=CG=4, ∴△ABG∽△GCE, 又
9.
解析：有特殊位置关系必然有隐藏结论.
连接CE, 由题意得: △CED≌△CEG(HL),
∴∠CEF=90°, 可证△CDE∽△EAF, 可得: 由CD=3 , ED=EA=6, 可得: 代入比例式，得： 故折痕EF的长为
10.DF=2, BE= -1.
解析:由题意得∠BEC=∠FEC,又∠BEC=∠DCE,∴∠FEC=∠DCE,∴DE=DC,设BE=x,则AB=2+x,DE=DC=AB=2+x,∴DF=DE-EF=2. 由射影定理得EA =EF·ED, 代入得: 解得： (舍),故 综上，
解析: 连接BN, 若点B'在 DC上, 则四边形BMB'N是菱形，
点 E 的起点即点B'落在 DC上的位置，第一阶段点 E 向右运动，当MB'⊥AB 时，达到最右，此时路径长为 第二阶段点 E 向左运动，当M与A 重合时达到最左端，由全等可求此时 第二阶段路径长为 ，综上，点E路径长为
12.解析:(1)可证△ABP∽△DAE,∴△FE=△BA= = 的值为
(2)延长FE与DA延长线交于点 G,可得△EBF≌△EAG,△GAE∽△GPD, 设AG=x, GE=y, 则 即 解得: x=3, y=5, ∴BF=AG=3,故BF的长为3.
解析:(1)∵∠BAF+∠AFB=90°, ∠AFB+∠EFC=90°,∴∠BAF=∠EFC, 又∠B=∠C=90°, ∴△ABF∽△FCE.
∠BAF=30°, ∴∠CFE=30°, ∴FC-2, ∴CE=2 ∴EC的长为
(3) ∵△ABF∽△FCE, ∴tanβ=EFF=CFAB,
设CE=x, DE=y, 则AE=2x+y,
∵△ABF∽△FCE, ∴CEF=EFF,
代入解得：
整理得： 令 得： 因式分解得： 解得 或-1 (舍),
的值为