2025年中考数学二轮专题复习 第4章 圆 压轴题讲练第6节 圆中线段计算 （含解析）

第6节 圆中线段计算
前言：在上一节《圆中相似》已经出现了关于线段长度的计算，除了利用相似外，勾股定理与锐角三角函数也是计算线段长度的常用方法，解题题目给的条件，选择恰当方法.
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知 识 导 航
1 勾股定理
如图，由垂径定理中构造出直角三角形，存在如下数量关系：( 结合已知条件可求线段长度.
引例1:如图, AB是⊙O的直径, CD与⊙O相切于点 C, 与AB的延长线交于点 D, CE⊥AB于点 E.
(1) 求证: ∠BCE=∠BCD;
(2) 若AD=10, CE=2BE, 求⊙O的半径.
解析: (1) 连接OC, 则OC⊥CD,
∵∠BCE+∠CBE=90°, ∠BCD+∠BCO=90°,
且∠CBE=∠BCO,
∴∠BCE=∠BCD.
(2)设BE=x, 则CE=2x,
在Rt△OCE中,(
即 解得：
解得：
∴⊙O 的半径为
三角函数
无论是在圆中还是在其他几何图形中，已知角的三角函数值，即可求与该角相关的直角三角形的各边长.
引例2:如图,AB是⊙O的直径, C是⊙O上一点, D是AC的中点, E为OD延长线上一点, 且∠CAE=2∠C, AC与BD交于点H, 与OE交于点F.
(1) 求证: AE是⊙O的切线;
(2) 若 求直径AB的长.
解析: (1) ∠BAC+∠AOF=90°, ∠AOF=2∠C=∠CAE,
∴∠BAC+∠CAE=90°,
∴AE是⊙O的切线.
(2) 连接AD, 则∠DAC=∠C, ∴tan∠DAC=
∵DH=9, ∴DA=12,
∴AB=20, 故直径AB的长为20.
相似三角形
与三角函数度量一个三角形三边之比不同，相似三角形满足对应边成比例，但只要存在比例，就可用于求长度的问题.
引例3:如图, AD是⊙O的直径, AB为⊙O的弦, OP⊥AD, OP与AB的延长线交于点 P, 过B 点的切线交OP 于点 C.
(1) 求证: ∠CBP=∠ADB.
(2) 若OA=2, AB=1, 求线段BP 的长.
解析: (1) 连接OB, 则OB⊥BC,
∴∠PBC+∠OBA=90°,
∵AD是直径, ∴∠ABD=90°, ∴∠D+∠A=90°,又∠A=∠OBA,
∴∠CBP=∠ADB.
(2) 连接PD, ∵OP⊥AD且点O是AD中点,
∴PA=PD, ∴△PAD 是等腰三角形,
∴△OAB∽△PAD,
代入得：
解得: PA=8,
∴PB=PA-AB=8-1=7,
∴PB 的长为7.
真 题 演 练
1. 如图, ⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=45°, AD⊥BC于点D, 延长AD交⊙O于点E, 若BD=4, CD=1, 则DE的长是 .
2. △ABC 内接于⊙O, AB为⊙O的直径,将△ABC绕点C旋转到△EDC, 点E在⊙O上, 已知AE=2, tanD=3, 则AB= .
3. 如图, 点P为⊙O外一点, 过点 P 作⊙O的切线 PA、PB, 点 A、B 为切点, 连接AO 并延长交 PB 的延长线于点 C, 过点 C 作 CD⊥PO, 交 PO 的延长线于点D. 已知PA=6, AC=8, 则CD的长为 .
4. 如图, D是△ABC的BC边上一点, 连接AD, 作△ABD 的外接圆, 将△ADC 沿直线 AD 折叠, 点 C的对应点E落在⊙O上.
(1) 求证: AE=AB.
(2) 若 求 BC 的长.
5. 如图, 在△ABC中, ∠ABC=∠ACB, 以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点 M、N, 点P在AB的延长线上，且
(1) 求证: CP 是⊙O 的切线;
(2)若 求点 B 到 AC 的距离.
6.如图, ⊙O是△ABC的外接圆, AB 是直径, D是AC中点, 直线OD与⊙O相交于E、F两点, P是⊙O 外一点, P 在直线OD 上, 连接PA、PC、AF, 且满足∠PCA=∠ABC.
(1) 求证: PA 是⊙O的切线;
(2) 证明:
(3)若 求DE的长.
7. 如图, AB为⊙O的直径, C为⊙O 上一点, D为BA延长线上一点, ∠ACD=∠B.
(1) 求证: DC为⊙O的切线;
(2) 线段DF分别交AC、BC于点E、F且∠CEF=45°, 圆O的半径为5， 求CF的长.
第6节 圆中线段计算
1.
解析: 连接OB、OC, 则 过点O作OH⊥AE交AE于点H,则 由勾股定理可得： 又 ∴DE的长是
2.10
解析: 连接CO并延长交AE于点H, 则 CH⊥AE,∵∠CEA=∠CBA=∠D, ∴tan∠CEA=3,∵EH=1,∴CH=3, 故AB的值为
3.解析: 连接OB, 则OB⊥PC, 易证△POB≌△POA,∴PB=PA=6, 又1 易证△CBO∽△CAP, ∴CO=5, BO=3, ∴AO=3, ,易证△PDC∽△PAO, ∴≌△=PC,代入得： 解得： ∴CD的长为2
解析: (1) ∵∠B=∠AED=∠ACB, ∴AB=AC,∵AC=AE, ∴AB=AE.
(2)连接BE, 过点A作AH⊥BE交BE于点H, 则H点是BE中点, ∵BE=2, ∴EH=BH=1,
∵cos∠ADB= , ∠ADB=∠AEB, ∴cos∠AEB=
∴AE=3, ∴AB=AE=3, ∴BC= AB=3 故BC的长为3
解析: (1) 连接AN, 则AN⊥BC,又∠ABC=∠ACB, ∴△ABC是等腰三角形,∴AN平分∠BAC, ∴∠CAN=∠BAN=∠BCP,∵∠CAN+∠ACN=90°, ∴∠BCP+∠CAN=90°,∴CP是圆O的切线.
(2) 过点B作BH⊥AC交AC于点H,
∴BC·AN=AC·BH, 代入解得:
故点B到AC的距离为
解析: (1)∵D是AC中点, ∴OD⊥AC, ∴PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA=∠ABC,
∵∠BAC+∠ABC=90°, ∴∠PAC+∠BAC=90°,
∴PA⊥AB, ∴PA 是圆O的切线.
(2)根据射影定理可得： 又 即
(3) 设AD=2a, 则DF=3a, 又BC=8,∴OD=4, OF=3a-4, ∴OA=3a-4,在Rt△AOD中, ，代入得：
解得：
故DE的长为
7.解析: (1) 连接OC, 则OB=OC, ∴∠B=∠OCB,又∠ACD=∠B, ∴∠ACD=∠OCB,∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠OCB+∠OCA=90°,∴∠ACD+∠OCA=90°, 即∠OCD=90°, OC⊥CD,∴DC是圆O的切线.
又 易证
是等腰直角三角形，
, 又
设CE=x, 则(
代入得： 解得：