2025年中考数学二轮专题复习 第4章 圆 压轴题讲练第2节 动圆相切(一) （含解析）

第2节 动圆相切(一)
前言：“动圆相切问题”是动点与圆的结合，按运动的分式可分别“圆心为动点”、“直径为动线段”两大类，从不同的运动方式考虑恰当的方法得到相切.
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圆心为动点
切线判定：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线.
即计算圆心到直线的距离d，当满足d=r时，即圆与直线相切.计算线段长度可考虑多用三角函数与相似三角形.
引例 1：如图，直线 l 的解析式为 点 P 坐标为(-4,0),以点P为圆心, 1为半径作圆, 当点 P 以每秒2个单位的速度向右移动时，时间t为何值时圆P 与直线l相切
解析: 过点 P作 PH⊥直线l, 垂足为H点, 当PH=r=1时,即可得圆P与直线l相切.
当点 P坐标为(-2, 0) 或(2, 0) 时, PH=1,
综上所述，t的值为1或3.
引例2: 在矩形ABCD中, AB=6, BC=8,点 O 在对角线 AC 上, 圆 O 的半径为2, 如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是
解析：圆O的半径为2，可得AO取值范围是
直径为动线段
切线判定定理：过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线.
根据相切得到的垂直关系确定直径或动点的位置，用三角函数表示线段长，由线段之间数量关系列方程得解.
引例3: 在矩形ABCD中, AB=4, BC=3, 连接BD, 点P 从D 点出发以每秒1个单位向点 C运动，点Q 从点 B 出发以每秒2个单位向点D 运动，当其中一个点到终点时另一点也停止运动. 以PQ 中点O为圆心，PQ 为直径作圆，运动时间t为何值时，圆O与BD相切
解析: 当PQ⊥BD时, 圆O与BD相切,
由题意得: DP=t, DQ=5-2t, 若PA⊥BD, 即 代入得： 解得： 故当t的值为 时, 圆O与BD相切.
真 题 演 练
1. 如图, 直线a⊥b, 垂足为H, 点P在直线b上, PH=4cm, O为直线b上一动点, 若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP 的长为 .
2.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=-x+b与⊙O相交, 则b的取值范围是( )
3. 如图, 直线l: 与坐标轴交于A、B两点，点M(m，0)是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M 与直线l相切时，则m的值为 .
4如图, 直线 交x轴于点 A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点 P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P 与直线AB相切时，点P的坐标是 .
5. 如图, △AOB 中, ∠O=90°, AO=8cm,BO=6cm, 点 C从A 点出发, 在边 AO 上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O 点运动, 过 OC 的中点 E作 CD 的垂线 EF, 则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切.
6. 如图, Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=12,点 D 在边 BC上, CD=5, BD=13. 点 P 是线段 AD 上一动点, 当半径为 6 的⊙P 与△ABC 的一边相切时, AP 的长为
7. 如图, 点A 的坐标是(a,0)(a<0), 点C是以OA为直径的⊙B上一动点，点A 关于点C的对称点为 P. 当点C在⊙B 上运动时，所有这样的点 P 组成的图形与直线 有且只有一个公共点，则a 的值等于 .
8. 如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点, P是 BC 边上的动点, 连结 PM, 以点 P 为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 .
9. 已知如图：在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴分别交于A、B 两点, P 是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.
(1) 判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；
(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；
(3) 当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点 P 从点 B 出发，沿对角线 BD 向点 D 匀速运动，速度为4cm/s, 过点 P作PQ⊥BD交BC于点Q, 以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D 出发，沿DC向点C匀速运动, 速度为3cm/s, 以O为圆心, 0.8cm为半径作⊙O，点P 与点 O 同时出发， 设它们的运动时间为t(单位: s)
(1) 如图1, 连接DQ平分∠BDC时, t的值为 ;
(2)如图2,连接CM, 若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
(3) 请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O 始终在 QM所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O 相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切 说明理由 .
11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2cm, AB=4cm, 动点P从点C出发, 在BC边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，同时动点Q也从点 C出发，沿 C→A→B 以每秒 4cm的速度匀速运动，运动时间为 t秒 连接PQ, 以PQ为直径作⊙O.
(1)当 时, 求△PCQ的面积;
(2) 设⊙O的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)当Q在AB上运动时, ⊙O与 Rt△ABC的一边相切,求t的值.
第2节 动圆相切(一)
1.3cm或5cm.
2 D.
解析：确定两个相切的时刻，当 时，直线与圆相切，故若直线与圆相交，则b的取值范围是 故选 D.
3. 或
解析：点M 到直线l的距离为2，即可得圆 M 与直线l相切. 过点M作MH⊥AB交AB于H点, 当圆M与直线l相切时，MH=r=2, tan∠ABO= , ∴BH=4, BM=2
M点在B点左侧时，点M坐标为(2-2 ,0),
M点在B点右侧时，点M坐标为(2+2 ,0),
综上，m的值为 或
4.或(- ,0)
解析: 若圆 P与AB 相切, 则点 P 到直线AB 的距离为1,
可得 又点A坐标为(-4, 0),
故点 P坐标为 或(- ,0).
5解析: 易证CD∥AB, 当圆C与直线EF相切时,
6.
解析: 当圆 P与BC边相切时, 过点 P作PH⊥BC交BC,则 PH=6, 易证△DHP∽△DCA, DPDA=PH=C= 解得：
当圆P与AB边相切时, 过点 P作PM⊥AB 交AB于 M点,则PM=6, 过点D作DN⊥AB交AB于点N, 易证△BND∽△BCA, 可得: 解得： 易证△AMP∽△AND, 解得： 综上，AP 的长为 或：
解析：确定点 P轨迹，考虑AP=2AC始终成立，可得点 P轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆，若圆与直线 相切，则半径等于点 O 到直线 的距离，用面积法可求 故 则
解析：圆不可能与AB、BC边相切.
当圆P与CD相切时, 即 PM=PC
如图所示, 设BP=x, 则. 则 解得: x=3.
当圆P与AD相切时, 即PM=r=8, 解得. 综上，BP的长为3或4
解析: (1) 过点 O 作 OH⊥AB 于点 H, 可得( ∴OH>r, 故点O在圆外.
(2)记圆P与y轴另外一交点为C,连接PC,则∠BPC=120°,则弧 故圆 P 被y轴截得的弧长为
(3)圆P与x轴相切，即点P到x轴距离为1即可，
当 时， 解得：
当 =1时, 解得：
故切点的坐标为 或
10. 解析:(1)由题意得: PB=4t, PQ=3t, BQ=5t, CQ=8-5t,.若DQ平分∠BDC, 则CQ=PQ, 即8-5t=3t, 解得: t=1,故t的值为1；
(2) 过点 M作MH⊥BC交BC边于点 H,
若△CMQ是以 CQ 为底的等腰三角形，则H为CQ 中点，则
易证 代入得： 解得： 故t的值为
(3)①由于点 O 与直线 MQ 均为运动的，可取对角线 BD为参照物. 过点 O 作 OE⊥BD 交 BD 于点 E, 则 OD=3t, 又 ∴OE②过点O作FG⊥BD交BD于点 F,则FG⊥MQ, 垂足记为G,
若圆O与四边形相切，
则 解得：
即当 时，圆与QM相切，
此时若圆O与MP 也相切, 则 MO平分∠PMQ,即tan∠OMG=tan22.5°,
又
又OG=r=0.8cm,
∴此时PM与圆O不相切.
11. 解析: (1)当 时，
(2)当 时，
当 时，
(3) 当点Q在AB上时, 当圆O与BC边相切时, 即PQ⊥BC,
代入得： 解得: t=1;当圆O与AB 相切时, 即PQ⊥AB,
代入得： 解得：
当圆O与AC边相切时, 过点O作 ON⊥AC交AC于点N,则
由 得：
解得： (舍).
故综上所述，t的值为1或 或.