黑龙江省鸡西市三校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省鸡西市三校 2024-2025 学年高二上学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 = 2 2的焦点坐标为( )
1 1 1 1
A. (0, ) B. ( , 0) C. ( , 0) D. (0, )
2 2 8 8
2 2
2.已知经过椭圆 + = 1的右焦点 2的直线交椭圆于 ， 两点， 1是椭圆的左焦点，则△ 25 16 1 的周长为
( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
3.已知平面 的一个法向量 1 = (1,2, )，平面 的一个法向量 2 = ( 2, , 4)，若 // ，则 =( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
4.已知圆 1：( + 1)
2 + ( 1)2 = 1与圆 ： 2 + 22 4 2 + 5
2 = 0( > 0)外切，则 的值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.抛物线 ： 2 = 4 的准线为 ， 为 上的动点，则点 到 与到直线2 5 = 0的距离之和的最小值为
( )
3√ 5 4√ 5 6√ 5
A. B. C. √ 5 D.
5 5 5
2 2
6.已知椭圆 + = 1与直线 交于 ， 两点，若点 ( 1,1)为线段 的中点，则直线 的方程是( )
9 4
A. 9 + 4 13 = 0 B. 9 4 + 13 = 0
C. 4 9 + 13 = 0 D. 4 9 + 3 = 0
2 2
7.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 为 在第一象限上的一点.若△
1 2为直角三角形，| 1| + | 2| = 2| 1 2|，则 的离心率为( )
3 5
A. B. √ 3 C. 2 D.
2 2
2 2
8.已知点 是椭圆 + = 1上一点， 1， 2是椭圆的左、右焦点，若∠ 1 2 = 60°，则下列说法正确的是( ) 9 5
A. △ 1 2的面积为√ 3
B. 若点 是椭圆上一动点，则 1 2的最大值为9
5√ 3
C. 点 的纵坐标为
6

D. △ 1 2内切圆的面积为 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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2 2
9.已知双曲线 ： = 1的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ， 为 上异于顶点的动点，则下列说
16 9
法正确的有( )
4 3
A. 双曲线 的离心率为 B. 双曲线 的渐近线方程为 = ±
5 4
9
C. 点 到渐近线的距离为4 D. 直线 与直线 的斜率乘积为
16
10.如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ，四边形 是边长为2的
菱形，且∠ = 120°， = ， ， 分别是棱 ， 的中点，则( )
A. = √ 3
B. = 2
C. 平面 ⊥平面
√ 6
D. 直线 与平面 所成角的正弦值为
4
11.设 为坐标原点，直线 = √ 3( 1)过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点，且与 交于 ， 两点，若
直线 为 的准线，则( )
16
A. = 4 B. | | =
3
C. 以 为直径的圆与 相切 D. △ 为等腰三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.已知双曲线 的方程为 = 1，则 的取值范围为______．
7 3
13.已知向量 = ( , 1, 1)， = (2,1,0)，| | = √ 2，则 = ______．
2
14.已知 是椭圆 + 2 = 1上动点，则 点到直线 ： + 2√ 3 = 0的距离的最大值为______．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求适合下列条件的曲线的标准方程：
1
(1)已知动点 ( , )到定点 (2,0)的距离和 到定直线 ： = 8的距离的比是常数 ，记点 的轨迹为曲线 .求
2
曲线 的标准方程；
√ 15
(2)求过点(4,3)，( 3, )的双曲线的标准方程．
2
16.(本小题15分)
已知直线 1： + 1 = 0与圆 ：
2 + 2 2 2 = 0( > 0)交于 ， 两点，且∠ = 30°．
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(Ⅰ)求实数 的值；
(Ⅱ)若点 为直线 2： + + 2 = 0上的动点，求△ 的面积．
17.(本小题15分)
4
如图，四棱锥 的底面是正方形，且 = 2， ⊥ .四棱锥 的体积为 ．
3
( )证明：平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
2
已知双曲线 ： 2 = 1， ( , 2)，斜率为 的直线 过点 ．
4
(1)若 = 0，且直线 与双曲线 只有一个公共点，求 的值；
(2)双曲线 上有一点 ，∠ 1 2的夹角为120°，求三角形 1 2的面积．
19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，上顶点为 ，且 1 2 = 0，动直线 与
椭圆交于 ， 两点；当直线 过焦点且与 轴垂直时，| | = 2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 过点 (1,0)，椭圆的左顶点为 ，当△ 面积为√ 10时，求直线 的斜率 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(3,7)
13.【答案】1
14.【答案】√ 2 + √ 6
1
15.【答案】解：(1)动点 ( , )到定点 (2,0)的距离和 到定直线 ： = 8的距离的比是常数 ，
2
√ 2 ( 2) + 2 1
= ，即2√ ( 2)2 + 2 = |8 |，
|8 | 2
两边平方得4( 2 4 + 4 + 2) = 64 16 + 2，
2 2
整理得 + = 1．
16 12
√ 15
(2)设双曲线的方程为 2 + 2 = 1，双曲线过点(4,3)，( 3, )，
2
√ 15
将(4,3)，( 3, )代入得：
2
16 + 9 = 1 1 1
{ 15 ，解得 = , = ，
9 + = 1 4 3
4
2 2
所以双曲线方程为 = 1．
4 3
16.【答案】解：(Ⅰ)将圆 ： 2 + 2 2 2 = 0( > 0)可化为( )2 + (
1)2 = 2 + 1，
所以其圆心 ( , 1)，半径 = √ 2 + 1，
作 ⊥ 于点 ，
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由垂径定理可得 为 的中点，
1 1
由∠ = 30°可得 = = ，
2 2
| | | | √ 2又 +1 = = = ，
√ 1+1 √ 2 2
解得 = 1；
(Ⅱ)由(1)可知 √ 2 = ，
2
所以 = 2√ 3 × = √ 6，
又直线 2： + + 2 = 0与直线 1： + 1 = 0平行，
|2+1| 3√ 2
所以点 到 的距离为 = = ，
√ 1+1 2
因此 1 1 3√ 2 3√ 3 = = × √ 6 × = ，
2 2 2 2
即△ 的面积为3√ 3．
2
17.【答案】解：( )证明：取 的中点 ，连接 ，因为 = 2， ⊥ ，
1
所以 = = 1，
2
又四棱锥 的底面是正方形，
所以 2 = 2 = 4，
设 到平面 的距离为 ，
1 1 4
则 = = × × 4 = ， 3 3 3
所以 = 1，
所以 = ，即 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(Ⅱ)取 的中点，连接 ，则 // ，即 ⊥ ，
如图建立空间直角坐标系，则 (0,0,1)， (1,2,0)， ( 1,2,0)，
所以 = (2,0,0)， = (1,2, 1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
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⊥ = 2 = 0则{ ，则{ ，
⊥ = + 2 = 0
取 = (0,1,2)，
又平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设平面 与平面 夹角为 ，
| | 1 √ 5
则 = = = ，
| | | | 1×√ 5 5
所以平面 与平面 夹角的余弦值为√ 5．
5
18.【答案】解：(1)当 = 0时， (0,2)，
则直线 的方程为 = + 2，
2
1
{
2 = 1
当 ≠ ± 时，联立方程组 4 ，
2 = + 2
得(1 4 2) 2 16 20 = 0，
由直线和双曲线相切的条件，可得 = ( 16 )2 4 (1 4 2) ( 20) = 0，
解得 √ 5 = ± ；
2
2 1
双曲线 ： 2 = 1的渐近线为 = ± ，
4 2
1
所以当 = ± 时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
2
1
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时 = ± 或 √ 5 = ± ；
2 2
2
(2)由双曲线 ： 2 = 1，
4
则 1( √ 5, 0)， 2(√ 5, 0)，| 1 2| = 2√ 5，
又点 在双曲线上，即| 1| | 2| = 4，即(| 1| | 2|)
2 = | 2 21| + | 2| 2| 1| | 2| = 16，
2 2 2
在△
|
中，由余弦定理cos∠ = 1
| +| 2| | 1 2|
1 2 1 2 ， 2| 1| | 2|
1 16+2| 1| | 2| 20即 = ，
2 2| 1| | 2|
4
解得| 1| | 2| = ， 3
所以△ 1
1 1 4 √ 3 √ 3
2的面积 △ = | 1| | 2| sin∠ 1 2 2 1 2 = =
．
2 3 2 3
19.【答案】解：(1)易知椭圆 的上顶点 (0, )，左，右焦点分别为 1( , 0)， 2( , 0)，
所以 = ( , )， 1 2 = ( , )，
因为 1 2 = 0，
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所以 1 2 =
2 + ( )2 = 0，
即 2 = 2，
又 2 2 = 2，
所以 = √ 2 ，①
因为当直线 过焦点且与 轴垂直时，| | = 2，
2
2
所以 = 2，②

联立①②，
解得 = 2， = √ 2，
2 2
则椭圆方程为 + = 1；
4 2
(2)不妨设直线 的方程为 = + 1，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
联立{ + = 14 2 ，消去 并整理得( 2 + 2) 2 + 2 3 = 0，
= + 1
2 3
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， +2 +2
1 1 2 3
则 △ = | | | 1 2| = × 3 × √ ( )2 4 × = √ 10， 1 2 2 2+2 2+2
解得 = ±1，
故直线的斜率为±1．
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