吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省白城市实验高级中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.设函数 ( ) = + (1 )(其中 > 0)在0 ≤ ≤ 1的最小值为 ( )，则 ( )的最大值为( )

1
A. B. C. 2 D. 1

2.近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨
大威胁.某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍.假设不加控制，
则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要( 2 ≈ 0.3010)( )
A. 8年 B. 10年 C. 12年 D. 20年
1
3.设 < 1，则关于 的不等式 ( )( ) < 0的解集是( )

1
A. { | < 或 > } B. { | > }

1 1
C. { | > 或 < } D. { | < }

2
4.已知函数 ( ) = { + , ≥ 0，若 [ ( ) ( )] > 0，则实数 的取值范围为( )
3 , < 0
A. (1, +∞) B. (2, +∞)
C. ( ∞, 1) ∪ (1,+∞) D. ( ∞, 2) ∪ (2, +∞)
2 2 + 2, < 1,
5.若函数 ( ) = { 1
( )
是 上的减函数，则 的取值范围是( )
, 1
2
7 3 7 1 7
A. [1, ] B. [1, ) C. (0, ) D. ( , ]
6 2 6 2 6
2

+ 8, ≤ 1
6.若函数 ( ) = { 2 为 上的减函数，则实数 的取值范围是( )
, > 1

A. (4, +∞) B. [4, +∞) C. [4,6] D. (0, +∞)
7.若 ( )， ( )都是奇函数， ( ) = ( ) + ( ) + 2在(0, +∞)上有最大值6，则 ( )在( ∞, 0)上有( )
A. 最小值 6 B. 最大值 6 C. 最小值 2 D. 最大值 2
3 , < 2
8.若函数 ( ) = { 2 有最小值，则实数 的取值范围是( ) 2 + 3 , ≥ 2
A. (0,1) ∪ (3, +∞) B. [4, +∞)
C. ( ∞, 0) ∪ (1, +∞) D. ( ∞, 2]
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 > 0， > 0， ≠ 0， ∈ ，则下列各式中，恒等的是( )
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A. + = lg( + ) B. lg =

1
C. logx = log D.
=

10.下列结论正确的是( )
A. 若 > ，则 2 > 2 B. 若 2 < 2，则 <
C. 若 > ， > ，则 + > + D. 若 > ， > ，则 >
11.已知 > > 1，则下列不等式正确的是( )
+2 1 1 1 1
A. < B. + > + C. + > 2 D. + > +
+2
12.已知函数 = ( )的图象由如图所示的两段线段组成，则( )
A. ( (3)) = 1
10
B. 不等式 ( ) ≤ 1的解集为[2, ]
3
C. 函数 ( )在区间[2,3]上的最大值为2
D. ( )的解析式可表示为： ( ) = 3 + 2| 3|( ∈ [0,4])
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13. 、 、 、 均为实数，使不等式 > > 0和 < 都成立的一组值( , , , )是______. (只要写出适合

条件的一组值即可)
14.已知 ( ) = 5 + 3 + + 1且 ( 2) = 10，那么 (2) =______．

15.若 ， ∈ ， = {( , )| = }， = {( , )| = 1}，则 、 的关系是______．

16.用 { , , }表示三个数中的最小值，则函数 ( ) = {4 + 1, + 4, + 8}的最大值是______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
若关于 的不等式 2 + 2 + 2 > 0在 上恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
2 2 + 3, > 0
判断函数 ( ) = {0, = 0 的奇偶性．
2 2 3, < 0
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19.(本小题12分)
定义在非零实数集上的函数 ( )满足： ( ) = ( ) + ( )，且 ( )在区间(0, +∞)上为递增函数．
(1)求 (1)、 ( 1)的值；
(2)求证： ( )是偶函数；
1
(3)解不等式 (2) + ( ) ≤ 0．
2
20.(本小题12分)
如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有可
围36 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
21.(本小题12分)
判断下列函数的奇偶性．
(1) ( ) = | + 1| | 1|；
(2) ( ) = √ 2 1 + √ 1 2；
+ 1, > 0
(3) ( ) = { ．
+ 1, < 0
22.(本小题12分)
1
定义在( ∞, 0) ∪ (0,+∞)上的函数 = ( )满足 ( ) = ( ) ( )，且函数 ( )在( ∞, 0)上是减函数．

(1)求 ( 1)，并证明函数 = ( )是偶函数；
4 1
(2)若 (2) = 1，解不等式 (2 ) ( ) ≤ 1．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】(2,1, 3, 2)
14.【答案】 8
15.【答案】
16.【答案】6
17.【答案】解：当 = 0时，2 + 2 > 0不恒成立，
当 < 0时，显然不成立，
{ > 0 1所以 ，解得 > ，
= 4 8 < 0 2
1
故 的取值范围为{ | > }.
2
18.【答案】解：若 > 0，则 < 0，
则 ( ) = ( )2 2( ) 3 = 2 + 2 3 = ( 2 2 + 3) = ( )，
若 < 0，则 > 0，
则 ( ) = ( )2 2( ) + 3 = 2 + 2 + 3 = ( 2 2 3) = ( )，
∵ (0) = 0
∴综上 ( ) = ( )，
即 ( )为奇函数．
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19.【答案】解：(1)令 = = 1，则 (1) = (1) + (1)，
∴ (1) = 0 … (2分)
令 = = 1，则 (1) = ( 1) + ( 1)，
∴ ( 1) = 0 … (4分)
(2)令 = 1，则 ( ) = ( ) + ( 1) = ( )，… (6分)
∴ ( ) = ( ) … (7分)
∴ ( )是偶函数 …(8分)
(3)根据题意可知，函数 = ( )的图象大致如右图：
1
∵ (2) + ( ) = (2 1) ≤ 0，… (9分)
2
∴ 1 ≤ 2 1 < 0或0 < 2 1 ≤ 1，…(11分)
1 1
∴ 0 ≤ < 或 < ≤ 1 … (12分)
2 2
20.【答案】解：设每间虎笼的长、宽各设计为 ， 时，可使每间虎笼的面积最大，
则4 + 6 = 36， = ；
∵ 4 + 6 = 36，∴ 2 + 3 = 18，
由基本不等式，得18 ≥ 2√ 2 3 ，
27
∴ ≤ ，
2
27
当且仅当2 = 3 = 9，即 = 4.5 ， = 3 时， 取得最大值 ；
2
即每间虎笼的长、宽各设计为4.5 ，3 时，可使每间虎笼的面积最大；
27
且最大值为 ．
2
21.【答案】解：(1) ( ) = | + 1| | 1|的定义域为 ，
又 ( ) = | + 1| | 1| = | 1| | + 1| = (| + 1| | 1|) = ( )，
∴ ( )为奇函数；
(2)函数 ( ) = √ 2 1 + √ 1 2的定义域为{ 1,1}，关于原点对称，且 ( ) = 0，
∴ ( ) = ( )， ( ) = ( )．
则 ( )既是奇函数又是偶函数；
+ 1, > 0
(3) ( ) = { 的定义域是( ∞, 0) ∪ (0,+∞)，
+ 1, < 0
当 > 0时， < 0，则 ( ) = ( ) + 1 = + 1 = ( )；
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当 < 0时， > 0， ( ) = ( ) + 1 = + 1 = ( )．
综上可知，对于 ∈ ( ∞, 0) ∪ (0, +∞)，都有 ( ) = ( )，故 ( )为偶函数．
1 1 1
22.【答案】解：(1)令 = ≠ 0，则 ( ) = ( ) ( )，

得 (1) = ( ) ( ) = 0，
再令 = 1， = 1，可得 ( 1) = (1) ( 1)，
得2 ( 1) = (1) = 0，
所以 ( 1) = 0，
令 = 1，可得 ( ) = ( ) ( 1) = ( )，
所以 ( )是偶函数．
(2)因为 (2) = 1，所以 ( 2) = 1．
因为函数 ( )在( ∞, 0)上是减函数，且是偶函数，
所以函数 ( )在(0,+∞)上是增函数．
4 1 2 4
又 (2 ) ( ) = ( ) = (2 4)，

所以 (2 4) ≤ (2)，
2 4 > 0 2 4 < 0
等价于{ 或{ ，
2 4 ≤ 2 2 4 ≥ 2
解得1 < ≤ 3或1 ≤ < 2．
4 1
所以不等式 (2 ) ( ) ≤ 1的解集为[1,2) ∪ (2,3]．

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