广东省汕尾市部分学校2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

广东省汕尾市部分学校 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过点(1,3)，( 2,4)的直线方程为( )
A. + 3 10 = 0 B. 3 + 6 = 0 C. 3 + 8 = 0 D. 3 + + 2 = 0
2.已知点 (1,4)到直线 ： + 1 = 0的距离为3，则实数 =( )
3 3
A. 0 B. C. 3 D. 0或
4 4
3.已知点 (0,0,1)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,1,0)，则点 到平面 的距离为( )
√ 2
A. B. √ 2 C. √ 3 D. 2
2
4.某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动
时间(健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标)，所得数据都在区间[5,40](单位：分钟)中，
其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的70百分位数是( )
A. 29分钟 B. 27分钟 C. 29.5分钟 D. 30.5分钟
2 2
5.已知 1， 2分别为椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点， 是椭圆 上的点， 1 ⊥ 2，且| 1| =
2| 2|，则椭圆 的离心率为( )
√ 10 √ 10 √ 5 √ 5
A. B. C. D.
2 4 3 6
2 2
6.已知双曲线 ： = 1的左焦点为 1， 为双曲线 右支上任意一点， 点的坐标为(3,1)，则| | 4 5
| 1|的最大值为( )
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A. 3 B. 1 C. 3 D. 2
7.已知 ， ∈ 且 2 + 2 = 1，则4 3 的最大值为( )
A. 1 B. √ 7 C. √ 23 D. 5
8.已知 ( 1, 1)， ( 2,0)， (6, 2)，点 是圆 ： 2 + 2 = 1上的一点，则| |2 + | |2 + | |2的最小
值为( )
A. 3√ 2 + 37 B. 49 6√ 3 C. 3√ 3 + 37 D. 49 6√ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知点 ( 1,0)， (1,0)，点 是平面内的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 若|| | | || = 1，则点 的轨迹是双曲线
B. 若| | + | | = 2，则点 的轨迹是椭圆
C. 若| | = | |，则点 的轨迹是一条直线
D. 若 = 2，则点 的轨迹是圆
10.下列说法正确的是( )
3
A. 若直线的一个方向向量为(2,3)，则该直线的斜率为 =
2
B. 方程 3 = ( + 2)表示过点( 2,3)的所有直线
C. 当点 (3,2)到直线 + 1 2 = 0的距离最大时， 的值为 1
D. 已知直线 过定点 (1,0)且与以 (2, 3)， ( 3, 2)为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值范围是
1
( ∞, 3] ∪ [ , +∞)
2
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1， 为棱 1的中点， 为底面正方
形 内(含边界)的动点，则( )
A. 三棱锥 1 1 1 的体积为定值
B. 直线 1 //平面 1
√ 2
C. 当 1 ⊥ 时，点 到平面 1 的距离为 2

D. 当∠ 1的正切值为2时，动点 的轨迹长度为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.已知双曲线 = 1上一点 到双曲线的一个焦点的距离为3，则 到另一个焦点的距离为______．
9 16
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13.已知点 ( 2,0)，动点 的纵坐标小于等于零，且点 的坐标满足方程 2 + 2 = 1，则直线 的斜率的取
值范围是______．
14.过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点(其中 点在第一象限)，若 =
3 ，则直线 的斜率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，在平行六面体 1 1 1 1中，以顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°；
为 与 的交点.已知 = ， = ， 1 1 1 1 1 = ．
(1)求对角线 1的长；
(2)求cos < 1 1 , 1 >．
16.(本小题12分)
在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、
2 1
乙两名运动员进行乒乓球比赛(五局三胜制)，其中每局中甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，每局比赛都
3 3
是相互独立的．
(1)求比赛只需打三局的概率；
(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率．
17.(本小题12分)
圆心为 的圆经过点 ( 4,1)， ( 3,2)，且圆心 在 ： 2 = 0上．
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 (3, 1)作直线 交圆 于 、 且| | = 8，求直线 的方程．
18.(本小题12分)
在四棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ， // ， = = = 2， = 1，点 为棱 中
点．
(Ⅰ)证明： //平面 ；
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(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(Ⅲ)若 为棱 上一点，满足 ⊥ ，求二面角 的余弦值．
19.(本小题12分)
已知双曲线 的中心为坐标原点， 1， 2是 的两个焦点，其中左焦点为( 2√ 5, 0)，离心率为√ 5．
(1)求 的方程；
(2)双曲线 上存在一点 ，使得∠ 1 2 = 120°，求三角形 1 2的面积；
(3)记 的左、右顶点分别为 1， 2，过点( 4,0)的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，直线 1
与 2交于点 ，证明：点 在定直线上．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】9
√ 3
13.【答案】[ , 0]
3
14.【答案】2√ 2
15.【答案】解：(1)因为以顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
1 1所以 = | | | | 60° = ， = | | | | 60° = ， = |
1
| | | 60° = ，
2 2 2
由题意知， = + = + + 1 1 1 = + + ，
2 2 2 1 1 1
所以| |21 = ( + + )
2 = + + + 2 + 2 + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 × + 2 × + 2 × =
2 2 2
6，
所以| 1| = √ 6，
故对角线 1的长为√ 6．
(2)因为 1 1 = = ， 1 = + + ，
1 1
( + + ) 1+ + √ 6
所以cos < 1 ， 1
1 1 1 2 2
1 >= = = = ． | | | 1 1 1| 1×√ 6 √ 6 3
16.【答案】解：(1)设事件 =“甲前三局都获胜”，事件 =“乙前三局都获胜”，
1 1 1 1 2 2 2 8
则 ( ) = × × = ， ( ) = × × = ，
3 3 3 27 3 3 3 27
9 1
比赛只需打三局的概率为： = ( ∪ ) = ( ) + ( ) = = ，
27 3
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2
(2)甲需要打三局的概率为： 1 = ， 3
1 1 2 2
甲需要打五局的概率为： 3 = × × = ， 3 3 3 27
1 2 2
甲需要打四局的概率为： 2 = × = ， 3 3 9
2 2 2 26
则甲最终获胜的概率为： = + + = ，
3 9 27 27
7 3
17.【答案】解：(1)由已知 = 1， 中点坐标为( , )， 2 2
∴ 垂直平分线方程为 + + 2 = 0．
+ + 2 = 0 = 0
则由{ ，解得{ ，所以圆心 (0, 2)，
2 = 0 = 2
因此半径 = | | = 5，
所以圆 的标准方程 2 + ( + 2)2 = 25．
(2)由| | = 8可得圆心 到直线 的距离 = √ 52 42 = 3，
∴当直线 斜率不存在时，其方程为 = 3，
当直线 斜率存在时，设其方程为 + 1 = ( 3)，
| 3 +1| 4
则 = = 3，解得 = ，
√ 2
3
+1
此时其方程为4 + 3 9 = 0，
所以直线 方程为 = 3或4 + 3 9 = 0．
18.【答案】(Ⅰ)证明：取 中点 ，连接 ， ，
由于 ， 分别为 ， 的中点，
1
故 E // ，且 = ，
2
1
又因为 // ， = ，
2
所以 // 且 = ，
故四边形 为平行四边形，
所以 // ，且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 …(4分)
(Ⅱ)解：依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
可得 (1,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,0,2)．
由 为棱 的中点，得 (1,1,1)．
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向量 = ( 1,2,0)， = (1,0, 2).设 = ( , , )为平面 的法向量，
+ 2 = 0
则{ = 0即{
= 0 2 = 0
可得 = (2,1,1)为平面 的一个法向量，
且 = (0,1,1)
√ 3
于是有cos = = ，
| | | | 3
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为√ 3．
3
(Ⅲ)解：向量 = (1,2,0)， = ( 2, 2,2)， = (2,2,0)， = (1,0,0)．
1
由点 在棱 上，设 = ，0 ≤ ≤ 1. (若 = ，则 = )
4
故 = + = + = (1 2 , 2 2 , 2 )．
由 ⊥ ，得 = 0，
3 1
因此2(1 2 ) + 2(2 2 ) = 0，解得 = ，(若 = ，则 = )
4 4
1 1 3即 = ( , , ).设 1 = ( , , )为平面 的法向量， 2 2 2
= 0 = 0
则{ 1 ，即{ 1 1 3 ，
= 0 + + = 01 2 2 2
可得 1 = (0, 3,1)为平面的 一个法向量．
取平面 的法向量 2 = (0,1,0)，
3√ 10
则cos 1 21 2 = = ， | 1 | | 2 | 10
二面角 是锐角，所以其余弦值为3√ 10．
10
2 2
19.【答案】解：(1)设双曲线方程为： 2 2 = 1( > 0, > 0)，
= 2√ 5
由题可得：{ ，
= = √ 5

解得： = 2，则 = √ 2 2 = 4，
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2 2
所以双曲线方程为： = 1；
4 16
(2)由(1)知， = 2， = 2√ 5，
所以|| 1| | 2|| = 2 = 4，| 1 2| = 2 = 4√ 5，
2 2 2
| 1| +| 2| | 在△ 中，由余弦定理得：cos∠ = 1
2| 1
1 2 1 2 = ， 2| 1|| 2| 2
2 2
(| 1| | 2|) +2| 即 1
|| 2| | 1 2| 1= ，
2| 1|| 2| 2
64+2| 1|| 2| 1即 = ，
2| 1|| 2| 2
64
即| 1|| 2| = ， 3
1 1 64 √ 3 16√ 3
所以三角形 1 2的面积为 | 1|| 2| sin∠ 1 2 = × × = ； 2 2 3 2 3
(3)证明：由(1)可得 1( 2,0)， 2(2,0)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，显然直线 的斜率不为0，
1 1
所以设直线 的方程为 = 4，且 < < ，
2 2
= 4
联立方程组{ 2 2 ，可得(4 2 1) 2 32 + 48 = 0，
= 1
4 16
则4 2 1 ≠ 0， = 64(4 2 + 3) > 0，
32 48
所以 1 + 2 = ， = ， 4 2 1 1 2 4 2 1

又直线 的方程为 = 11 ( + 2)， 1+2

直线 2的方程为 =
2 ( 2)，
2 2

= 1 ( + 2)
1+1联立方程组{ ，消去 可得：
= 2 ( 2)
2 2
+2 2( 1+2)=
2 1( 2 2)
2( 1 2)=
1( 2 6)
1 2 2( 1+ 2)+2 = 1
1 2 6 1
48 32
2 2 4 1 4 2
+2
= 1
1
48
× 6
4 2 1 1
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16
4 2
+2
1 1= 48
2 6 4 1 1
1
= ，
3
+2 1
即 = ，解得： = 1，即 = 1， 2 3
所以点 在定直线 = 1上运动．
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