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同步探究学案
课题 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 单元 第七章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2．能从图形中识别同位角、内错角、同旁内角。
重点 理解同位角、内错角、同旁内角的概念。
难点 能从图形中识别同位角、内错角、同旁内角。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说a与b互相________。记作：a⊥b。 2.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_______，它们的交点叫做________。 3.在同一平面内，过一点__________一条直线与已知直线垂直。 4.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_________最短。 简单说成：垂线段________。 5.直线外一点到这条直线的垂线段的_____，叫做点到直线的距离。 阅读：前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形（如图1）。如图2所示，直线AB，CD与EF相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角。我们已经学习了有公共顶点的角的关系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系。 图1 图2
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形，来研究三线八角问题。 探究1：观察图中的∠1和∠5，它们具有怎样的位置关系 分析：如图中的∠1和∠5，这两个角分别在直线AB、CD的_______（上方），并且都在直线EF的______（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角． 1．图中还有其它的同位角吗？ 2．两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同位角？每对同位角有什么样的结构特征？ 探究2：观察图中的∠3和∠5，它们具有怎样的位置关系 分析：如图中的∠3和∠5，这两个角都在直线AB、CD—________，并且分别在直线EF______（∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧）．具有这种位置关系的一对角叫作内错角。 1．图中还有其它的内错角吗？ 2．两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对内错角？每对内错角有什么样的结构特征？ 探究3：观察图中的∠3和∠6，它们具有怎样的位置关系 分析：如图中的∠3和∠6，这两个角虽然都在直线AB、CD________，但是它们在直线EF________（左侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角． 1．图中还有其它的同旁内角吗？ 2．两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同旁内角？每对同旁内角有什么样的结构特征？ 例：如图所示，直线DE、BC被直线AB所截。 (1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么位置关系的角？ (2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？ 归纳：找同位角、内错角、同旁内角的方法:一看三线；二找截线；三根据位置来分辨．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 第1题图 第2题图 第4题图 2．如图，若被所截，则与 是内错角． 3．如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ 选做题： 4.如图，∠2的同旁内角是 ． 【综合拓展类作业】 5.如图，与，与，与，与，与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们中的每一对角分别叫做什么角？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如右图，下列叙述不正确的是（ ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 2．如图所示的四个图形中，和是同位角的是 ．（填序号） 3．如右图，直线被所截，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（ ）， （ ）， 所以（ ）． 选做题： 4.如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？ 【综合拓展类作业】 5.如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则 ．
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分课时教学设计
第三课时《7.1.3两条直线被第三条直线所截》教学设计
课型 新授课 复习课口试卷讲评课口其他课口
教学内容分析 两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角是初中数学几何知识十分重要的一个内容。从知识上看，这一节内容起到了承上启下的作用，是在两条直线相交所形成的四个角的基础上学习两条直线被第三条直线所截形成的八个角的相关知识，是上一节知识的应用和延伸，同时又是为今后学习平行线做准备。同位角、内错角、同旁内角的准确判定是后面顺利学习平行线的性质与判定的基础和关键，还能进一步培养学生简单的拓展能力；从思想方法上看，通过对模型的操作，发现和总结各类角的特点，对复杂图形的变式，培养了学生的动手能力、探索精神、概括思维和识图能力。
学习者分析 在前面的学习中，学生已经学习了两条直线相交构成的角（对顶角，邻补角）、垂线等知识，能画出图形并思考问题，初步掌握探究几何问题的基本方法，为进一步探究两条直线被第三条直线所截形成的不共顶点的角的位置关系，即学习同位角、内错角、同旁内角的概念，做好了知识和能力上的准备。
教学目标 1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2．能从图形中识别同位角、内错角、同旁内角。
教学重点 理解同位角、内错角、同旁内角的概念。
教学难点 能从图形中识别同位角、内错角、同旁内角。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念。 2．能从图形中识别同位角、内错角、同旁内角。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 1.当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说a与b互相________。记作：a⊥b。 答案：垂直 2.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_______，它们的交点叫做________。 答案：垂线，垂足 3.在同一平面内，过一点__________一条直线与已知直线垂直。 答案：有且只有 4.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_________最短。 简单说成：垂线段________。 答案：垂线段，最短 5.直线外一点到这条直线的垂线段的_____，叫做点到直线的距离。 答案：长度 指出：前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形。 如图，直线AB，CD与EF相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角。我们已经学习了有公共顶点的角的关系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系。 学生活动2： 学生积极回答问题，并听老师的讲解活动意图说明： 通过复习垂直的相关知识，并在回顾相交线模型的基础上引出一条直线与两条直线分别相交的情形，为拓展为三线八角做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究1：观察图中的∠1和∠5，它们具有怎样的位置关系 讲解：如图中的∠1和∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一侧（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角． 追问1：图中还有其它的同位角吗？ 预设：还有∠2和∠6，∠3和∠7， ∠4和∠8也构成同位角． 追问2：两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同位角？每对同位角有什么样的结构特征？ 预设：共有4对同位角，字母“F” 探究2：观察图中的∠3和∠5，它们具有怎样的位置关系 讲解：如图中的∠3和∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧）．具有这种位置关系的一对角叫作内错角。 追问1：图中还有其它的内错角吗？ 预设：还有∠4和∠6也构成内错角． 追问2：两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对内错角？每对内错角有什么样的结构特征？ 预设：共有2对内错角，字母“Z”或“N” 探究3：观察图中的∠3和∠6，它们具有怎样的位置关系 讲解：如图中的∠3和∠6，这两个角虽然都在直线AB、CD之间，但是它们在直线EF同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角． 追问1：图中还有其它的同旁内角吗？ 预设：还有∠4和∠5也构成同旁内角． 追问2：两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同旁内角？每对同旁内角有什么样的结构特征？ 预设：共有2对同旁内角，字母“U”或“C” 例：如图所示，直线DE、BC被直线AB所截。 (1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么位置关系的角？ (2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？ 答：(1)∠1和∠2是内错角； ∠1和∠3是同旁内角； ∠1和∠4是同位角. (2)如果∠1=∠4， 又由对顶角相等，可得∠2＝∠4， 因此∠1＝∠2. 因为∠4和∠3互补， 所以∠4＋∠3＝180°。 又因为 ∠1＝∠4， 所以∠1＋∠3＝180°， 即∠1和∠3互补. 归纳：找同位角、内错角、同旁内角的方法 一看三线；二找截线；三根据位置来分辨． 学生活动3： 学生认真观察、思考，小组合作探究、交流，并认真听老师的讲解，点评活动意图说明： 通过探究两直线被第三条直线所截形成的角，引导学生观察形成三线八角模型，认识同位角、内错角和同旁内角这三类角，掌握其概念，并通过例题，提高学生分辨这三种位置关系的角的能力，同时提高学生应用所学知识解决实际问题的能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：7.1.3两条直线被第三条直线所截一、同位角 二、内错角 三、同旁内角教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ） A．与是同旁内角 B．与是同旁内角 C．与是同位角 D．与是内错角 答案：A 2．如图，若被所截，则与 是内错角． 答案： 3．如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？ 解：∠B与∠DAB是内错角，是直线DE和BC被AB所截而成； ∠B与∠BAE是同旁内角，是直线DE和BC被AB所截而成； ∠B与∠BAC是同旁内角，是直线AC和BC被AB所截而成； ∠B与∠C是同旁内角，是直线AB和AC被CB所截而成； 选做题： 4.如图，∠2的同旁内角是 ． 答案：∠4 【综合拓展类作业】 5.如图，与，与，与，与，与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们中的每一对角分别叫做什么角？ 答案：与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同位角； 与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，下列叙述不正确的是（ ） A．和是内错角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是邻补角 答案：C 2．如图所示的四个图形中，和是同位角的是 ．（填序号） 答案：①②④ 3．如图，直线被所截，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由： 因为（ ）， （ ）， 所以（ ）． 答案：已知，对顶角相等，等量代换 选做题： 4.如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？ 解：如图1： ∠1和∠2，是DC，AB两条直线被直线BD所截形成，它们是内错角； ∠3和∠4是两条AD，BC直线被直线BD所截形成，它们是内错角； 如图2： ∠1和∠2，是DC，AB两条直线被直线BC所截形成，它们是同旁内角； ∠3和∠4是两条AD，BC直线被直线AE所截形成，它们是同位角． 【综合拓展类作业】 5.如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则 ． 答案：16
教学反思 在讲解三线八角这一重要模型时，积极引导同学们进行自主探索，为学生提供充足的合作交流以及自主学习的时间与空间。学生们可以在这样的学习氛围中，亲身充分地感受同位角、内错角和同旁内角的形成过程，从而深刻理解并牢固掌握数额概念，同时积累丰富的数学活动经验，有效提升自身探究问题、发现规律以及创新思维的能力。
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第七章 相交线与平行线
7.1.3 两条直线被第三条直线所截
1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念。
2．能从图形中识别同位角、内错角、同旁内角。
1.当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说a与b互相________。记作： a⊥b。
2.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_______，它们的交点叫做________。
3.在同一平面内，过一点__________一条直线与已知直线垂直。
4.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，_________最短。
简单说成：垂线段________。
5.直线外一点到这条直线的垂线段的_____，叫做点到直线的距离。
垂直
垂线
垂足
有且只有
垂线段
最短
长度
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的 情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形。
如图，直线 AB，CD 与 EF 相交(也可以说两条直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截)，构成八个角。我们已经学习了有公共顶点的角的关系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系。
探究1：观察图中的∠1和∠5，它们具有怎样的位置关系
如图中的∠1和∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一侧（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫作同位角．
还有∠2和∠6，∠3和∠7， ∠4和∠8也构成同位角．
图中还有其它的同位角吗？
说一说：两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同位角？每对同位角有什么样的结构特征？
共有4对同位角
字母“F”
探究2：观察图中的∠3和∠5，它们具有怎样的位置关系
如图中的∠3和∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧）．具有这种位置关系的一对角叫作内错角。
还有∠4和∠6也构成内错角．
图中还有其它的内错角吗？
说一说：两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对内错角？每对内错角有什么样的结构特征？
共有2对内错角
字母“Z”
“N”
探究3：观察图中的∠3和∠6，它们具有怎样的位置关系
如图中的∠3和∠6，这两个角虽然都在直线AB、CD之间，但是它们在直线EF同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角．
还有∠4和∠5也构成同旁内角．
图中还有其它的同旁内角吗？
说一说：两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有几对同旁内角？每对同旁内角有什么样的结构特征？
共有2对同旁内角
字母“U”
“C”
例：如图所示，直线DE、BC被直线AB所截。
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么位置关系的角？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
答：(1)∠1和∠2是内错角；
∠1和∠3是同旁内角；
∠1和∠4是同位角.
(2)如果∠1=∠4，
又由对顶角相等，可得∠2＝∠4，
因此∠1＝∠2.
因为∠4和∠3互补，
所以∠4＋∠3＝180°。
又因为 ∠1＝∠4，
所以∠1＋∠3＝180°，
即∠1和∠3互补.
例：如图所示，直线DE、BC被直线AB所截。
(1)∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4各是什么位置关系的角？
(2)如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？
找同位角、内错角、同旁内角的方法
一看三线；二找截线；三根据位置来分辨．
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，直线a截直线b，c，下列说法正确的是（ ）
A．与是同旁内角
B．与是同旁内角
C．与是同位角
D．与是内错角
A
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，若被所截，则与 是内错角．
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，∠B与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？
解：∠B与∠DAB是内错角，是直线DE和BC被AB所截而成；
∠B与∠BAE是同旁内角，是直线DE和BC被AB所截而成；
∠B与∠BAC是同旁内角，是直线AC和BC被AB所截而成；
∠B与∠C是同旁内角，是直线AB和AC被CB所截而成。
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，∠2的同旁内角是________．
∠4
【综合拓展类作业】
5.如图，与，与，与，与，与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们中的每一对角分别叫做什么角？
答：与是直线和直线被直线所截得到的内错角；
与是直线和直线被直线所截得到的同位角；
与是直线和直线被直线所截得到的内错角；
与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角；
与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角．
两条直线被第三条直线所截
同位角
内错角
同旁内角
（1）两个角分别在两条被截直
线的同一侧；
（2）两个角都在截线的同侧
（1）两个角都在两条被截直线
之间；
（2）两个角分别在截线的两侧
（1）两个角都在两条被截直线
之间；
（2）两个角都在截线的同一旁
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，下列叙述不正确的是（ ）
A．和是内错角
B．和是同位角
C．和是同旁内角
D．和是邻补角
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图所示的四个图形中，和是同位角的是________（填序号）
①②④
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，直线被所截，如果，那么的推理过程如下，请在括号内注明理由：
因为（ ），
（ ），
所以（ ）．
已知
对顶角相等
等量代换
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？
【知识技能类作业】选做题：
解：如图1：
∠1和∠2，是DC，AB两条直线被直线BD所截形成，它们是内错角；
∠3和∠4是两条AD，BC直线被直线BD所截形成，它们是内错角；
如图2：
∠1和∠2，是DC，AB两条直线被直线BC所截形成，它们是同旁内角；
∠3和∠4是两条AD，BC直线被直线AE所截形成，它们是同位角．
【综合拓展类作业】
5.如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则______．
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