广东省江门市广东省实验中学江门市分校2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

广东省实验中学江门市分校 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在长方体 1 1 1 1中， + + 1等于( )
A. B. C. D. 1 1
2.已知直线 过圆 2 + ( 3)2 = 4的圆心，且与直线 + + 1 = 0平行，则直线 的方程为( )
A. + 2 = 0 B. + 2 = 0 C. + 3 = 0 D. + 3 = 0
3.已知 = (2, 1,3)， = ( 1,4, 2)， = (1,3, )，若 , , 三向量共面，则实数 等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.过点 (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A. 3 2 = 0 B. + 5 = 0
C. 3 2 = 0或 + 5 = 0 D. 2 3 = 0或 + 5 = 0
5.直线 + 1 = 0被圆( + 1)2 + 2 = 3截得的弦长等于( )
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 4
6.已知圆 的方程为( 3)2 + ( 4)2 = 1，过直线 ：3 + 4 5 = 0上任意一点作圆 的切线，则切线
长的最小值为( )
A. 4 B. √ 15 C. √ 17 D. 5
2 2
7.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，过点(4,0)的直线交椭圆 于 ， 两点.若 中点坐标为(2, 1)，则
椭圆 的离心率为( )
1 √ 3 1 2√ 3
A. B. C. D.
2 2 3 3
8.长方体 1 1 1 1中， = 1， = 2， 1 = 5， 是棱 1上的动点，则△ 1 的面积最小时，
=( )
5
A. 1 B. 2 C. D. 4
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ：4 + 3 + 6 = 0与圆 ： 2 + 2 2 8 = 0相交于 ， 两点，则( )
A. 圆心 的坐标为(1,0) B. 圆 的半径为2√ 2
C. 圆心 到直线 的距离为2 D. | | = 2√ 5
10.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 1， 的中点，
则下列选项中正确的是( )
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A. //平面 1 1
B. ⊥ 1
C. 与 1所成角为60°
√ 3
D. 与平面 1 1 所成角的正弦值为 3
2 2
11.已知椭圆 ： + 2 = 1(2 > > 0)的左、右焦点分别为 1、 2，上顶点为 ，动点 在椭圆 上，则下4
列描述正确的有( )
A. 若△ 1 2的周长为6，则 = √ 3
√ 3
B. 若当∠ 1 2 = 时，△ 1 2的内切圆半径为 ，则 = √ 3 3 3
C. 若存在 点，使得 1 ⊥ 2，则 ∈ [√ 2, 2)
D. 若| |的最大值为2 ，则 ∈ [√ 2, 2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( , 1, 2)， = (2,1,2)，| | = √ 5，则 = ______．
13.若直线 1： + 3 = 0和 2： + ( 2) 1 = 0垂直，则实数 = ______．
14.直线 + 2 = 0( ∈ )与圆 ： 2 + 2 2 1 = 0相交于 ， 两点，弦长| |的最小值为 ，
√ 3
若三角形 的面积为 ，则 的值为 ．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
3
已知直线 经过点 ( 2,5)，且斜率为
4
(1)求直线 的方程；
(2)若直线 与 平行，且点 到直线 的距离为3，求直线 的方程．
16.(本小题12分)
如图，矩形 与梯形 所在的平面互相垂直， ⊥ ， // ， = = 2， = 4， 为
的中点．
(Ⅰ)求证： //平面 ；
(Ⅱ)求证： ⊥平面 ．
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17.(本小题12分)
已知以点 ( 1,2)为圆心的圆与直线 1： + 2 + 7 = 0相切，过点 ( 2,0)的动直线 与圆 相交于 ， 两
点．
(1)求圆 的方程；
(2)当| | = 2√ 19时，求直线 的方程．
18.(本小题12分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1 ( > > 0)长轴是短轴的√ 2倍，且右焦点为 (1,0)．
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
2
(Ⅱ)直线 ： = ( + 2)交椭圆 于 ， 两点，若线段 中点的横坐标为 ，求直线 的方程及△ 的面
3
积．
19.(本小题12分)
如图所示，四棱锥 中，∠ = ∠ = 2∠ = 2∠ = 90°， = = 2√ 2， = =
√ 6，平面 ⊥平面 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；

(2)若点 在线段 上，且 = ，若平面 与平面 所成锐二面角大小为60°，求 的值．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 3
13.【答案】3
14.【答案】2；± ；1
3
15.【答案】解：(1)由点斜式写出直线 的方程为 5 = ( + 2)，化简为 3 + 4 14 = 0．
4
(2)由直线 与直线 平行，可设直线 的方程为3 + 4 + = 0，
|3×( 2)+4×5+ | |14+ |
由点到直线的距离公式，得 = 3，即 = 3，
5
√ 32+42
解得 = 1或 = 29，故所求直线方程3 + 4 + 1 = 0，或3 + 4 29 = 0．
16.【答案】证明：(Ⅰ)取 中点 ，连结 ， ．
在△ 中， ， 分别为 ， 的中点，
1
所以 // ，且 = ．
2
1
由已知 // ， = ，
2
所以 // ，且 = ．
所以四边形 为平行四边形．
所以 // ．
又因为 平面 ，且 平面 ，
所以 //平面 .
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(Ⅱ)在矩形 中， ⊥ ．
又因为平面 ⊥平面 ，
且平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ．
所以 ⊥ .
在直角梯形 中， = = 2， = 4，可得 = 2√ 2．
在△ 中， = = 2√ 2, = 4，
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ．
因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
17.【答案】解：(1)设圆 的半径为 . 因为圆 与直线 1： + 2 + 7 = 0相切，
| 1+4+7|
所以 = = 2√ 5，
√ 5
所以圆 的方程为( + 1)2 + ( 2)2 = 20；
(2)当直线 与 轴垂直时， = 2，满足题意；
当直线 与 轴不垂直时，
设直线 的方程为 = ( + 2)，即 + 2 = 0，
| 2+2 |
由于| | = 2√ 19，于是( )2 + (√ 19)2 = 20，
√ 2 +1
3
解得 = ，
4
此时直线 的方程为3 4 + 6 = 0，
综上，直线 的方程为 = 2或3 4 + 6 = 0.
18.【答案】解：(Ⅰ)因为长轴是短轴的√ 2倍，所以 = √ 2 ．
因为焦点 的坐标为(1,0)，所以 = 1．
结合 2 = 2 + 2，
得 = √ 2 , = 1．
2
所以椭圆方程为 + 2 = 1．
2
(Ⅱ)设 ( 1, 1)， ( 2, 2).
2
+ 2 = 1
由{ 2 得(2 2 + 1) 2 + 8 2 + 8 2 2 = 0．
= ( + 2)
2 2
8 8 2
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，且需 = 64
4 4(2 2 + 1)(8 2 2) > 0．
2 +1 2 +1
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2
因为线段 中点的横坐标为 ，
3
2
1+ 4 2所以 2 =
2 2
= ．
2 +1 3
1 1
解得 2 = ，即 = ± (满足 > 0).
4 2
1
所以直线 的方程为 = ± ( + 2)，
2
因为 | | = √ (1 + 2
2
)[( 1 + 2)2 4 1 2] = √ 5． 3
|3 | 3√ 5
点 到直线 的距离 = = ．
2 5√ 1+
1 2√ 5 3√ 5
所以△ 的面积 △ = × × = 1． 2 3 5
即△ 的面积等于1．
19.【答案】(1)证明：因为∠ = ∠ = 2∠ = 2∠ = 90°，
故∠ = 90°，故 BC⊥ ．
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
故 BC⊥平面 ；
因为 平面 ，故平面 ⊥平面 ；
(2)解：设 为 的中点，连接 ，因为 = = √ 6，
所以 ⊥ ，又平面 ⊥平面 ，故 ⊥平面 ，
如图，以 为原点，分别以 ， 和平行于 的方向为 ， ， 轴正方向，
建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (0,2,0)， (2,4,0)， (2,0,0)， (1,1,2)，
因为 = ，则 = = ( 1, 3,2) = ( , 3 , 2 )，
所以 (2 , 4 3 , 3 )，
易得平面 的一个法向量为 = (2,2,0)，
设 = ( , , )为平面 的一个法向量， = (0,2,0)， = (2 , 4 3 , 2 )，
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= 0, 2 = 0,
由{ 得{ 不妨取 = (2,0, 2)．
= 0, (2 ) + (4 3 ) + 2 = 0,
因为平面 与平面 所成锐二面角为60°，
|4 | 1
所以 =
√ 2 2
2，
2√ 2 4 +( 2)
2
解得 = ， = 2(不合题意舍去)，
3
2
故 = ．
3
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