吉林省长春市博硕学校2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

吉林省长春市博硕学校 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ( 3, 1)，| 4| ≥ 5”的否定为( )
A. ∈ ( 3, 1)，| 4| ≤ 5 B. ∈ ( 3, 1)，| 4| < 5
C. ∈ ( 3, 1)，| 4| ≤ 5 D. ∈ ( 3, 1)，| 4| < 5
2.已知全集为 ，集合 = { |0 < < 1}， = { | > 2}，则( )
A. B. C. ∪ = D. ∩ ( ) =
3.幂函数 ( ) = ( 2 3 3) 在区间(0, +∞)上单调递减，则下列说法正确的是( )
A. = 4 B. = 4或 = 1
C. ( )是奇函数 D. ( )是偶函数
1 2
4.已知函数 ( ) = ( ) +4 +3，则( )
2
A. 函数 ( )的值域为(0,1] B. 函数 ( )无最值
C. 函数 ( )在 上单调递减 D. 函数 ( )在( 2, +∞)上单调递减
3 +3
5.函数 ( ) = 的图象大致为( )
2 1
A. B.
C. D.

, < 1
6.已知函数 ( ) = { 1 的值域为 ，则实数 的取值范围是( )
2 , ≥ 1
A. ( ∞, 0) B. (1, +∞) C. ( ∞, 1] D. [1, +∞)
7.下列问题中， ， 是不相等的正数，比较 ， ， 的表达式.下列选项正确的是( )
问题甲：一个直径 寸的披萨和一个直径 寸的披萨，面积和等于两个直径都是 寸的披萨的面积和；
问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为 元，第二次购买的单价为 元，则这两次的平均
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价格为 ，
问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为 (天平平衡)，放右边时左边砝码
质量为 (天平平衡)，物体的实际质量为 ．
A. > > B. > > C. > > D. > >
7
8.已知定义在 上的奇函数 ( )，其图象关于 = 1轴对称，当0 ≤ ≤ 1时， ( ) = 2，则 ( ) =( )
3
25 1 25 1
A. B. C. D.
9 9 9 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的图象与 轴交于 ， 两点，
与 轴交于 点，且对称轴为 = 1，点 坐标为( 1,0)，则下面结论中正确的
是( )
A. = 4有且仅有一个实数解
B. 2 + = 0
C. 2 4 < 0
D. 0时的解集是{ | 1 3}
10.下列说法正确的是( )
A. 函数 ( + 1)的定义域为[ 2,2)，则函数 ( )的定义域为[ 1,3)
2
B. ( ) = 和 ( ) = 表示同一个函数

1 1
C. 函数 = 2 的值域为(0, ] +3 3

D. 定义在 上的函数 ( )满足2 ( ) ( ) = + 1，则 ( ) = + 1
3
( ) ( )
11.已知函数 ( )满足对于任意不同的实数 ， ，都有 ( ) + ( ) > ，则( )

A. (1) > 0 B. ( 1) + (1) < 0
2
2 2 ( +1) ( )C. ( + 1) ( + 1) > ( ) D.
2
>
+1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ： 2 < < + 2， ： 1 < < 7.若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是______．
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13.不用计算器计算： 3√ 27 + 25 + 4 + 7
72 + ( 9.8)0 = ______. (记住这个对数恒等式： =
)
14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列
为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数 ，符号[ ]表示不超过 的最大整数，则 =
[ ]称为高斯函数，例如[ ] = 3，[ 1.08] = 2，定义函数 ( ) = [ ]，则下列命题中正确的序号是______．
①函数 ( )的最大值为1；
②函数 ( )的最小值为0；
1
③函数 = ( )的图象与直线 = 有无数个交点；
2
④ ( + 1) = ( )．
四、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设全集 = ，集合 = { | 2 6 + 8 = 0}， = { | 2 3 > 0}．
(1)求 ∪ ( )；
(2)设集合 = { | 2 + 3 = (3 + ) , ∈ }，若 ∩ 恰有2个子集，求 的值．
16.(本小题12分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 4 ，函数 ( )在 轴左侧的图象如图所示，
请根据图象；
(1)画出 ( )在 轴右侧的图象，并写出函数 ( )( ∈ )的单调区间；
(2)写出函数 ( )( ∈ )的解析式．
17.(本小题12分)
辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买
大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买 ( > 0)斤，每斤的售价降低 元；第二种
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21
方案，顾客买 ( > 0)斤，每斤的售价为(14 + )元.已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种

方案购买大果榛子的付款额为 ( )元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为 ( )元．
(1)分别求函数 ( )， ( )的解析式；
(2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且
甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？
18.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1)．
(1)判断函数 ( )的奇偶性；
(2)若 > 1，求使不等式 ( 3 ) + (4 3 9 1) < 0在 上恒成立的 的取值范围；
3
(3)若 (1) = , ( ) = 2 + 2 2 ( )，且 ( )在[1, +∞)上的最小值为 2，求 的值．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[1,5]
13
13.【答案】
2
14.【答案】②③④
15.【答案】解：(1) = { | 2 6 + 8 = 0} = {2,4}；
易解得 = { | < 0或 > 3}；
所以 = { |0 ≤ ≤ 3}，
∴ ∪ ( ) = { |0 ≤ ≤ 3或 = 4}．
(2)因为 ∩ 恰有2个子集，所以 ∩ 仅有一个元素．
2 + 3 = (3 + ) 可得( 3)( ) = 0，
∴ = 3或 = ，
当 ≠ 2且 ≠ 4时， ∩ = ，不满足题意；
当 = 2时， ∩ = {2}，满足题意；
当 = 4时， ∩ = {4}，满足题意．
综上， 的值为2或4．
16.【答案】解：(1) ∵函数 ( )是定义在 上的奇函数，∴函数 ( )的图象关于原点对称，
又当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 4 ，
∴函数 ( )图象如图所示：
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由图可知，函数 ( )的单调递增区间为( 2,2)，单调递减区间为( ∞, 2)，(2, +∞)；
(2)根据题意，
令 > 0，则 < 0，则 ( ) = 2 4 ，
又因为函数 ( )是定义在 上的奇函数，
所以 ( ) = ( ) = 2 4 ，
即 ( ) = 2 + 4 ，
2 + 4 , ≤ 0
所以 ( ) = {
2
．
+ 4 , > 0
17.【答案】解：(1)已知辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方
案，每斤的售价为24元，顾客买 ( > 0)斤，每斤的售价降低 元；第二种方案，顾客买 ( > 0)斤，每斤
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的售价为(14 + )元，

又一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为 ( )元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为
( )元，
则 ( ) = (24 ) = 2 + 24 ， ∈ (0,9]，
21
( ) = (14 + ) = 14 + 21， ∈ (0,9]．

(2)由(1)可得： (5) = 95， (5) = 91，
所以 (5) > (5)，
则甲选择方案二购买，花费91元，
则乙花费135 91 = 44元，
若乙按照方案一购买，
则 2 + 24 = 44，
解得 = 2或22，
又 ∈ (0,9]，
所以 = 2，
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即乙可以购买2斤大果榛子，
若乙按照方案二购买，
则14 + 21 = 44，
23
解得 = < 2，
14
所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子．
18.【答案】解：(1)易知 ( )的定义域为 ，
因为 ( ) =
1 1
=
= ( )，

所以函数 ( )是奇函数；
(2)因为 > 1，
1
显然函数 = ， = 在 上单调递增，
所以函数 ( )是 上的增函数，
若不等式 ( 3 ) + (4 3 9 1) < 0在 上恒成立，
即 ( 3 ) < (9 4 3 + 1)在 上恒成立，
此时 3 < 9 4 3 + 1，
1
即 < 3 +
3
4，
因为 ∈ ，3 > 0，
1
所以3 + 4 ≥ 2√ 3
1
4 = 2， 3 3
当且仅当 = 0时，等号成立，
所以 < 2，
则 的取值范围为( ∞, 2)；
3
(3)因为 (1) = ，
2
1 3
所以 = ，
2
整理得2 2 3 2 = 0，
因为 > 0，
解得 = 2，
所以 ( ) = 2 2 ，
此时 ( ) = 22 + 2 2 2 (2 2 ) = (2 2 )2 2 (2 2 ) + 2，
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令 = 2 2 ，
由(2)知，函数 = 2 2 是 上的增函数，
3
当 ≥ 1时， ≥ ，
2
因为 = 2 2 + 2，
3 3
当 ≤ 时，函数 = 2 2 + 2在[ , +∞)上单调递增，
2 2
3 9
当 = 时， = 3 + 2 = 2，
2 4
25
解得 = ，
12
3
此时与 ≤ 相矛盾，不符合题意；
2
3
当 > 时， = 时， = 2
2 = 2，
2
解得 = 2．
综上所述， = 2．
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