直线与平面垂直的判定学案
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文档简介
直线与平面垂直的判定 学案
一、教学目标
1、借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题；
3、掌握直线与平面所成的角的求法.
二、重点难点
重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用。
三、教学过程
（一）直观感知直线与平面垂直的形象
问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。
（二）直线与平面垂直的定义
问题2：结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义。
（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？
问题3：通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？
定义：
记作：
画法：
辨析1：下列命题是否正确？为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（2）如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（3）对于问题（2）中的两条直线如果是相交直线呢？
（三）直线与平面垂直的判定定理
问题4：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？
实验：如图2，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）。
问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
问题6:当折痕AD⊥BC时，上述沿AD的各种折法中，能使AD始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能得到什么结论？
问题7：（1）如图3，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n ,把桌面抽象为平面α，直线l与平面α垂直的条件是什么？
（2）如图4,若α内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，直线l还垂直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？
定理：
符号表示 :
辨析2：下列命题是否正确？为什么？
（1） 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
（2）如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面
（3）如果一条直线和一个平面内的某两条相交直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
（2）
（四）初步应用
例1：如图5，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α
。
思考：如图6，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时， A′C⊥B′D′？
（五）直线与平面所成的角
问题8：如图10，当直线与平面斜交时，怎么来找直线与平面所成的角？
直线与平面所成角的定义:
范围:
例2 如图7，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，
求直线A1B与平面A1B1CD所成的角
变式：求直线AC与平面A1B1CD所成的角。
图1
A
B
C
B’
C’
D
C
B
A
图2
o
图3
图4
o
a
b\b
图5
α
图7
图6
A
D
C
B
A’
B’
C’
D’
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一、教学目标
1、借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题；
3、掌握直线与平面所成的角的求法.
二、重点难点
重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用。
三、教学过程
（一）直观感知直线与平面垂直的形象
问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。
（二）直线与平面垂直的定义
问题2：结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义。
（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？
问题3：通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？
定义：
记作：
画法：
辨析1：下列命题是否正确？为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（2）如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（3）对于问题（2）中的两条直线如果是相交直线呢？
（三）直线与平面垂直的判定定理
问题4：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？
实验：如图2，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）。
问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
问题6:当折痕AD⊥BC时，上述沿AD的各种折法中，能使AD始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能得到什么结论？
问题7：（1）如图3，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n ,把桌面抽象为平面α，直线l与平面α垂直的条件是什么？
（2）如图4,若α内两条相交直线m、n与l无公共点且l⊥m、l⊥n，直线l还垂直平面α吗？由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗？
定理：
符号表示 :
辨析2：下列命题是否正确？为什么？
（1） 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
（2）如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面
（3）如果一条直线和一个平面内的某两条相交直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
（2）
（四）初步应用
例1：如图5，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α
。
思考：如图6，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时， A′C⊥B′D′？
（五）直线与平面所成的角
问题8：如图10，当直线与平面斜交时，怎么来找直线与平面所成的角？
直线与平面所成角的定义:
范围:
例2 如图7，在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，
求直线A1B与平面A1B1CD所成的角
变式：求直线AC与平面A1B1CD所成的角。
图1
A
B
C
B’
C’
D
C
B
A
图2
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图3
图4
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图6
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