2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练第6章 坐标系中的角第4节 相似三角形存在性问题 (一)（含解析）

第4节 相似三角形存在性问题 (一)
前言：相似三角形问题是近来二次函数综合题中出现最多的问题之一，题型变化多样，方法多样，使其难度又增加了几分，本专题分三节内容，注意介绍关于相似三角形存在性问题在中考中的考点及解法分析.
知 识 导 航
问题与方法
(1) 从相似的判定说起
常用的相似三角形判定方法有：
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定 2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形.
在解决问题时，判定 2、3应用更多，且这两个判定均有相等角条件，所以可考虑从角着手.
思路概括
关键：先确定一组相等角.
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等.
事实上，在坐标系中，已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1.
(2) 题型分析
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点. 即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题.
本讲讨论关于“单动点类问题”.
引例1： 如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线 交于A、B两点，其中A(m, 0)、B(4, n), 该抛物线与y轴交于点 C, 与x轴交于另一点D.
(1) 求m、n的值及该抛物线的解析式；
(2) 如图2, 连接BD、CD, 在线段 CD上是否存在点 Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由.
解析: (1) m=1, n=3, 抛物线解析式为
(2) 思路：平行得相等角，构造两边成比例
由题意得D(5, 0),
∴直线CD解析式为: y=x-5,
∴CD∥AB, ∴∠CDA=∠BAD,
①当△ADQ∽△BAD时,
代入解得：
得点Q坐标为
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②当△ADQ∽△DAB时
代入解得：
得点Q坐标为(2,-3).
综上，Q点坐标为 或(2,-3).
引例 2： 如图，在直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点B、点 C，对称轴为x=1的抛物线过B、C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.
(1) 直接写出点A、点B、点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点 Q、A、B 为顶点的三角形与△ABC 相似 若存在，求出点 Q的坐标； 若不存在，请说明理由.
解析: (1) A(-4, 0)、B (6, 0)、C(0, 3),
抛物线：
(2) 当点Q在抛物线上运动时，则对于△ABQ而言，无一定角，这是本题最大的难点.
①当点Q在x轴上方时，根据对称性易得：
当点Q与点 C关于对称轴x=1对称时，
△ABQ与△ABC相似,
此时Q点坐标为(2, 3);
②当点Q在x轴下方时，
不妨先考虑∠ABQ，
情况1: 若∠ABQ=∠ABC, 则
直线BQ解析式：
联立方程：
解得： (舍),
∴Q点坐标为(-8, - 7),
此时.BC=3 , BA=10, BQ=7
根据线段长度可知∠ABQ 与∠ABC 的两边并不成比例，故(-8, - 7) 舍掉.
情况2: 若∠ABQ=∠BAC,
过点B作AC平行线，与抛物线交点即为Q点.
可得直线BQ解析式：
联立方程：
解得： (舍),
∴Q点坐标为(-10, - 12),
此时AC=5, BA=10, BQ=20,
即有 ∴△CAB∽△ABQ.
情况3: 若∠BAQ=∠ABC,
根据对称性结合情况1的答案，
可知此时Q 点坐标为(10，-7)，且需舍掉；
情况4: 若∠BAQ=∠BAC,根据对称性结合情况2的答案，可知此时Q点坐标为(12, - 12),且此时△ABQ与△ABC相似.
综上所述, Q点坐标为(2, 3) 或(-10, - 12) 或(12, - 12).
真 题 演 练
1. 如图, 在平面直角坐标系xOy中,直线y= kx+3分别交 x轴、y轴于 A、B 两点, 经过 A、B两点的抛物线 与x轴的正半轴相交于点C(1, 0).
(1) 求抛物线的解析式；
(2)若P为线段AB上一点, ∠APO=∠ACB, 求AP的长.
2.如图, 抛物线 与x轴交于点A(-1, 0), 点B (3, 0), 与y轴交于点 C, 且过点D (2, - 3). 点Q是抛物线 上的动点.
(1) 求抛物线的解析式；
(2)如图2, 直线OQ与线段BC相交于点 E, 当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标.
3. 如图, 已知抛物线 经过△ABC的三个顶点, 其中点 A (0, 1), 点 B (9, 10), AC//x轴.
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) 求tan∠ABC的值;
(3) 若点 D 为抛物线的顶点，点E 是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时, 求点 E的坐标.
4.如图, 以 D 为顶点的抛物线 交x轴于 A、B 两点, 交y轴于点 C, 直线BC的表达式为y=-x+3.
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与 相似 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
5. 已知抛物线 与x轴分别交于A(-3, 0), B(1, 0)两点, 与y轴交于点C.
(1) 求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2) 点F是线段AD上一个动点.
①如图1, 设 当k为何值时，
②如图2, 以 A、F、O为顶点的三角形是否与△ABC相似 若相似，求出点 F的坐标； 若不相似，请说明理由.
第4节 相似三角形存在性问题(一)
1.解析：(1) 抛物线解析式为
(2)由题意得点A(-3,0)、B(0,3),∴AC=4, AB=3
若∠APO=∠ACB, 则
代入得： 解得：
∴AP的长为2
2.解析: (1) 抛物线:
(2) 思路: 考虑到△ABC和△BOE有一组公共角, 公共角必是对应角.
∠ABC 的两边 BA、BC 与∠OBE的两边 BO、BE 成比例即可，故可得： 或
解得： 或
故E点坐标为(1,-2)或
当E点坐标为(1,-2)时, 直线 OE 解析式为y=-2x,
联立方程： 解得： 此时Q点坐标为 或
当E点坐标为 时, 直线OE解析式为y=-3x,联立方程： 解得： 此时 Q 点坐标为 或
综上所述，Q点坐标为 或 或
或
3.解析：
(3) 思路：平行得相等角，构造两边成比例
若点D为抛物线的顶点，则D 点坐标为(3，-2)，
∴直线 CD 解析式为: y=x-5, 又直线AB解析式为: y=x+9,故CD∥AB, ∴∠BAC=∠ACD,
故点E在点 C左侧，
考虑∠BAC的两边AB、AC与CE、CD成比例:
或
解得: CE=9或2, 故E点坐标为(-3, 1) 或(4, 1).
4.解析：(1) 抛物线解析式：
(2) 思路：计算三角函数值得相等角易求B (3, 0)、C(0, 3)、D (1, 4),故tan∠BDC=3, 又A点坐标为(-1, 0),可得tan∠OAC=3, 故∠BDC=∠OAC.
由题意得： 若△ACQ与△BDC相似, 则必有点Q在A 点右边,且 或
(此处可转化对应边成比例为同一三角形中角两边比例相同，即考虑到 可得 或
解得: AQ=10或AQ=1.
故Q点坐标为(9, 0) 或(0, 0).
解析: (1) 抛物线: 点D坐标为(-1, 4);
(2) ①考虑到△ACD 是直角三角形,
故当 F 点是AD中点时，有 此时k的值为
②思路：计算三角函数值得相等角
在△AFO中,∠OAF是定角,且∠OAF=∠OAC+∠CAD在△ABC中, ∠ACB=∠ACO+∠BCO,
又 ∴∠OAF=∠ACB.
(此处也可通过三角函数值的计算, tan∠OAF=2, tan∠ACB=2, ∴∠OAF=∠ACB)
继续考虑两边对应成比例：
∠OAF的两边AO、AF与∠ACB的两边CA、CB成比例, 或 解得： 或 故F点坐标为(-2, 2)或