2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练第6章 坐标系中的角第6节 相似三角形存在性问题 (三)（含解析）

第6节 相似三角形存在性问题 (三)
前言：前两节已经详细介绍了常见的相似三角形存在性问题，本节介绍一些另类的题型.
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真 题 演 练
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=(x-a)(x-3)(0(1) 求点A、B、D的坐标;
(2) 若△AOD与△BPC相似, 求a的值.
2.如图,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y 轴于点 A、B, 抛物线过 A、B 两点, 点 P 是线段 AB上一动点，过点 P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点 D.当点 P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB 相似 若存在，求出满足条件的抛物线的解析式； 若不存在，请说明理由.
3.如图,二次函数 图像的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数 的图像与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.
(1) 点D 的坐标是 ;
(2) 直线l与直线AB交于点 C, N是线段DC上一点 (不与点 D、C重合)，点N的纵坐标为n. 过点N作直线与线段DA、DB 分别交于点 P、Q, 使得△DPQ与△DAB相似.
①当 时, 求DP的长;
②若对于每一个确定的 n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB 相似，请直接写出n的取值范围 .
4. 抛物线L: 经过点A(0, 1), 与它的对称轴直线x=1交于点B.
(1) 直接写出抛物线L的解析式；
(2)如图，将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L ，抛物线L 与y轴交于点 C，过点 C作y轴的垂线交抛物线L 于另一点 D. F为抛物线L 的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点 P恰有2个，求m的值及相应点 P 的坐标.
相似三角形存在性问题(三)
解析: (1) A点坐标为(a,0), B点坐标为(3, 0), D点坐标为(0,3a).
(2) 由点坐标可知在△AOD中,
若△AOD与△BPC相似, 则 或
由A、B坐标可得：
①若 则
故C点坐标为 代入抛物线解析式，
得： 解得： (舍);
②若 则
故C点坐标为 代入解析式，得：
解得： (舍), (舍).
故综上所述, 若△AOD 与△BPC相似, a的值为
2. 解析: 考虑到△BPD中∠BPD=∠AOB, 故只需两边对应成比例即可. 由题意得A (2, 0)、B (0, 4),设二次函数解析式为
将点 A (2, 0) 代入可得: 4a+2b+4=0, 即2a+b=-2,已知 P 点横坐标为1，
故可得P 点坐标为(1, 2), D 点坐标为(1,a+b+4),
又2a+b=-2,故a+b=-2-a,
代入得D点坐标为(1,2-a),
∴PD=2-a-2=-a, PB=
①若△BPD∽△ABO, 即
代入得： 解得: a=-2,
此时b=2，抛物线解析式为
②若△BPD∽△OBA, 即
代入得： 解得：
此时b=3，抛物线解析式为
综上，解析式为 或
3.解析: (1) D点坐标是(2, 9);
(2) ①由题意得 A 点坐标为 C 点坐标为(2.95),根据对称性求得直线BD解析式为y=-2x+13，联立方程： 解得: x=5,故B点坐标为((5, 3),. 当 时，N点坐标为
情况一: 若△DPQ∽△DAB,
过N点作AB平行线，与DA交点即为P点，
可得： 故
情况二: 若△DPQ∽△DBA,
将情况一中的DP、DQ作关于直线l的对称即可，
可得： 故
综上所述，DP的长为 或
②无论n为何值，过点N作AB平行线，总有一组相似：△DPQ∽△DAB,
若要求有且只有一个△DPQ与△DAB 相似，
则必不存在△DPQ∽△DBA, 即此时点 Q 不在线段 DB 上.
若△DPQ∽△DBA, 且Q点坐标为(5, 3) 时,
代入解得： 此时N点坐标为 故n的取值范围是
4.解析: (1) 解析式:
(2) 题目要求恰好有2个P点，且是求m的值，所以一定是个特殊位置.考虑到∠DCP=∠FOP，故有两种对应关系：
①若△DCP∽△FOP，无论m为何值，有且仅有一个这样的
P点使得△DCP∽△FOP.
②若△DCP∽△POF,
不难求得∠DPF=90°,
作辅助圆：连接DF，以DF为直径作圆，
当圆与线段OC相离时，P点个数为0；
当圆与线段OC相切时，P点个数为1；
当圆与线段OC相交时，P点个数为2.
∴圆与线段相切的时候，有且仅有一个P点，使得△DCP∽△POF.
由题意得: C(0, 1+m), 故D (2, 1+m),
又F(1, 0), 可得DF中点E点坐标为
由圆E与y轴相切, 得: EP=EF,
即解得：
(舍)，故m的值为
若△DCP∽△FQP, P 点坐标为
若△DCP∽△POF, P 点坐标为(0, ).
若圆 E与y轴相交，且其中一个交点与①中的点是同一点，则同样满足恰有2个P 点, 使得△PCD与△POF 相似, 即此P点既满足△DCP∽△FOP, 也满足△DCP∽△POF,△DCP与△POF均为等腰直角三角形.
OP=OF=1, PC=CD=2, 故m的值为2,
若△DCP∽△FOP, P 点坐标为 (0, 1),
若△DCP∽△POF, P点坐标为(0, 2).
综上所述，m的值为 时，对应的 P 点坐标为 或(0, );
m的值为2时, 对应的P点坐标为(0, 1) 或(0, 2).