2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练 第5章 特殊图形存在性问题第2节 直角三角形存在性问题（含解析）

第2节 直角三角形存在性问题
前言：直角三角形与等腰三角形均为特殊的三角形，根据其边、角特殊性，亦可通过“几何法”与“代数法”分析考虑，根据不同的条件恰当选择方法，更有利于计算.
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问题与方法
引例1：如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(1，1)，点B坐标为(5, 3), 点C在x轴上, 若△ABC是直角三角形，求C点坐标.
(1) 作图：两线一圆
①若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点 C；
②若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；
③若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C.(直径所对的圆周角为直角)
(2) 计算
法1：几何法 (构造三垂直模型)
C 、C 算法相同, 以C 为例:
如图，可构造 由A、B坐标可得AM=2, BM=4, NC =3,代入得： 坐标为
C 、C 算法相同, 以C 为例:
如图，可构造 由A、B坐标得AM=1, BN=3, 设 代入得： 即 ab=3, 又a+b=4,解得： ∴C 坐标是(2, 0), C 坐标是 (4, 0).
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似.
法2：代数法 (表示线段构勾股)
不妨来求下C ：
(1) 表示点: 设C 坐标为(m, 0), 又A (1, 1)、B(5, 3);
(2) 表示线段:
(3) 分类讨论: 当∠BAC 为直角时,
(4) 代入得方程： 解得：
方法总结
几何法：(1) “两线一圆”作出点；
(2)构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数.
代数法: (1) 表示点A、B、C坐标;
(2) 表示线段AB、AC、BC;
(3) 分类讨论(
(4) 代入列方程，求解.
2 等腰直角存在性
如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取几何法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等.
引例1：通过对下面数学模型的研究学习，解决问题.
【模型呈现】
如图, 在 Rt△ABC, ∠ACB=90°, 将斜边AB绕点 A 顺时针旋转90°得到AD, 过点D作DE⊥AC于点E , 可以推理得到△ABC≌△DAE, 进而得到AC=DE, BC=AE.
我们把这个数学模型成为“K型”.
推理过程如下：
△ABC≌△DAE(AAS)
AC=DE, BC=AE
【模型迁移】
二次函数 的图像交x轴于点 A (-1, 0), B(4, 0)两点, 交y轴于点C. 动点M从点A出发, 以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点 M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.
(1) 求二次函数 的表达式；
(2) 在直线 MN上存在一点 P, 当△PBC 是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点 D 的坐标.
解析：
(2) 思路1：构造三垂直全等
以BC为斜边作等腰直角三角形，直角顶点即为P 点，
再过点 P作 PH⊥y轴交y轴于点 H,
过点B作BQ⊥PH交 PH于点Q,
则△PHC≌△BQP.
设HP=a, PQ=b, 则BQ=a, CH=b,
由图可知： 解得：
故D点坐标为(1, 3).
同理可求另一D点坐标为(3，2).
思路2：构造直角顶点已知的三垂直.
如图, 取 BC 中点 M点 (2, 1), 以BM为一直角边作等腰直角三角形，则第三个顶点即为P点.
根据 B 点和 M 点坐标，可得全等的两三角形两直角边分别为1和2,
∴P 点坐标为(1, - 1) 或(3, 3).
D点横坐标同P点，
∴可得D 点坐标为(1, 3) 或(3, 2).
注意：在构造三垂直时，使直角顶点是已知点，会使计算更简便.
真 题 演 练
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点, 点B (3, 0), 经过点A 的直线AC与抛物线的另一交点为c(4, ),与y轴交点为D，点P 是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不与点A、C重合).
(1) 求该抛物线的解析式.
(2) 点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标.
2. 如图, 抛物线 交x轴于点A(-3, 0) 和点B (1, 0), 交y轴于点 C.
(1) 求这个抛物线的函数表达式.
(2) 点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值.
(3) 点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 N, 使△MNO 为等腰直角三角形, 且∠MNO 为直角 若存在，请直接写出点 N 的坐标； 若不存在，请说明理由.
3. 如图, 已知抛物线 的对称轴为直线x=-1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点, 其中A (1, 0)、C (0, 3).
(1) 若直线y= mx+n经过B、C两点, 求直线 BC和抛物线的解析式；
(2) 在抛物线的对称轴x=-1上找一点 M，使点 M到点A的距离与到点 C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3) 设点 P 为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点 P坐标.
4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A (-1, 0), B (3, 0) 两点,与y轴交于点 C，点D 是该抛物线的顶点.
(1) 求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2) 请在y轴上找一点 M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3) 试探究：在抛物线上是否存在点 P，使以点 A、P、C为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形 若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由.
5. 如图,抛物线 与x轴交于A(-3, 0)、B(1, 0) 两点, 与y轴交于点C,直线y=-x与该抛物线交于E、F两点.
(1) 求抛物线的解析式.
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作 PH⊥EF于点H，求PH的最大值.
(3) 以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点 M，使得△BCM 是以 CM 为直角边的直角三角形 若存在，直接写出M点坐标； 若不存在，说明理由.
第2节 直角三角形存在性问题
1.解析：
(2)①当∠POQ为直角时，考虑Q点在对称轴上，故过点Q向y轴作垂线，垂线段长为1，可知过点P向x轴作垂线，长度必为1，故P的纵坐标为±1. 可求出 P 点坐标.
设P 点坐标为 可得：
解得： (舍).
如下图，对应P点坐标分别为 (1- ,-1)、(1+ ,1).
②当∠OPQ 为直角时, 如图构造△OMP≌△PNQ, 可得:PM=QN.
设 P 点坐标为
则
若 解得： (舍).
若 解得： (舍).
如下图，对应P点坐标分别为
综上，P点坐标为(1+ ,--1)或 或((1+ ,1)
或
2.解析：
(2)连接AC, 将四边形面积拆为△APC和△ADC面积, 考虑△ADC面积为定值，故只需△APC面积最大即可，最大值 为
(3) 过点N作NE⊥x轴交x轴于E点,
如图1，过点M向NE作垂线交 EN延长线于F点，
易证△OEN≌△NFM, 可得: NE=FM.
设N点坐标为
则
解得： (图1), (图4)
对应N点坐标分别为
解得： (图2)、 (图3)
对应N点坐标分别为
3.解析:(1)直线BC: y=x+3;抛物线:
(2) 将军饮马问题，考虑到M点在对称轴上，且点A关于对称轴的对称点为点 B, 故 MA+MC=MB+MC, ∴当 B、M、C三点共线时，M到A和C的距离之后最小，此时 M点坐标为(-1, 2);
(3) 两圆一线作点 P:
以P 为例, 构造△PNB∽△BMC, 考虑到BM=MC=3,∴BN=PN=2, 故P 点坐标为(-1, - 2).
易求P 坐标为(-1, 4).
P 、P 求法类似, 下求P :
已知PN=1, PM=2, 设CN=a, BM=b,
由相似得： 即 ab=2, 由图可知: b-a=3,
故可解： (舍)，对应P 坐标为
类似可求 P 坐标为
综上, P点坐标为(-1,-2)或(-1, 4)或 或
4.解析：(1)抛物线： 直线AC: y=3x+3;
(2)作B点关于y轴对称点B'，连接B'D，与y轴交点即为M点, 可得M点坐标为(0, 3).
(3) 考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P 点，有如下两种情况，
先求过A 点所作垂线得到的点 P：
设P 点坐标为
则
易证△PMA∽△ANC, 且AN=3, CN=1,
解得： (舍),
故第1个P 点坐标为
再求过点 C所作垂线得到的点 P：
解得： (舍),
故第2个P点坐标为
综上所述，P点坐标为 或
解析：
(2)过点P作x轴的垂线交EF于点Q，当PH取到最大值时，PH即最大，设P 点坐标为 则Q点坐标为(m, - m),
当 时，PQ取到最大值 ∴PH的最大值为
(3) CM为直角边，故点 C可能为直角顶点，点M也可能为直角顶点.
①当∠BCM为直角时, 如图:
M ：不难求得CF=1,BF=2,∴EM :EC=1:2,又(
可得：
故M 坐标为
同理可求M 坐标为
②当∠BMC为直角时, 如图:
M : 由题意得(CM=1, BC= , ∴BM=2,
即△MEC∽△BFM, 且相似比为1: 2,
设EC=a, EM=b, 则FM=2a, BF=2b,
由图可知： 解得：
故点 M 的坐标为
由图可得M (1,-2).
综上所述，M点坐标为 或 或 或(1,-2).