2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练 第5章 特殊图形存在性问题第3节 平行四边形存在性问题（含解析）

第3节 平行四边形存在性问题
前言：四边形存在性问题相较于三角形来说，多个点则多了更多变化，尤其平行四边形存在性问题，为历年中考特殊图形存在性问题中考察最多的问题，了解常见题型与常用方法，即可.
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知 识 导 航
问题与方法
考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：
性质1：对应边平行且相等；
性质2：对角线互相平分.
这是图形的性质，将其性质运用在在坐标系中：
性质1：对边平行且相等可转化为： 可以理解为点 B 移动到点A，点C移动到点 D，移动路径完全相同.
性质2：对角线互相平分转化为： 可以理解为AC的中点也是BD的中点.
虽然由两个性质推得的式子并不一样，但可以化为统一：
当AC和BD为对角线时,结果可记为:“A+C=B+D”.
以上是对于平行四边形性质的分析，而要求证的是平行四边形存在性问题. 即：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形
答案是否定的，反例如下：
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化.
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，只需做完检验即可. 另外，需注意对对角线的分类讨论：
分类讨论 (1) 四边形ABCD是平行四边形: AC、BD一定是对角线. (2) 以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形： 对角线不确定需要分类讨论.
题型分析
首先判断是否存在确定的平行关系：
(1) 若存在平行关系，考虑构造线段相等；
(2)若不存在平行，以动点个数为标准分类，、可再分为“三定一动”和“两定两动”两类题型.
(1) 已知平行构造相等
引例 1:如图, 在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 与直线y= kx+b都经过A(0, - 3)、B (3, 0) 两点, 该抛物线的顶点为 C.
(1) 求此抛物线和直线AB 的解析式；
(2) 设直线 AB 与该抛物线的对称轴交于点 E，在射线 EB上是否存在一点 M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点 M、N、C、E是平行四边形的四个顶点 若存在，求点 M的坐标； 若不存在，请说明理由；
解析: (1) 抛物线:
直线AB: y=x-3;
(2) 考虑 EC∥MN, 若使点 M、N、C、E是平行四边形,则EC=MN即可,
∵E(1, - 2)、C(1, - 4), ∴EC=2,
设M点坐标为(m, m-3)(m>1),
则N点坐标为
则
由题意得：
解得： (舍),对应P 点坐标为
解得： (舍).
对应P点坐标为(2, - 1).
综上，P点坐标为 或(2, - 1).
(2) 三定一动
引例2: 如图, 已知A(1, 2)、B(5, 3)、C(3, 5), 在坐标系内确定点D 使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
解析：设点坐标列方程求解.
设D点坐标为(m, n), 又A(1, 2)B(5, 3) C(3, 5),可得：
(1) BC为对角线时, 可得D (7,6);
(2) AC为对角线时, 解得 D (-1,4);
(3) AB为对角线时, 解得D (3,0).
综上, D点坐标为(7, 6) 或(-1, 4) 或 (3, 0).
(3) 两定两动
引例3: 如图, 已知A (1, 1)、B(3, 2), 点C在x轴上,点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形, 求C、D坐标.
解析: 设 C 点坐标为 (m, 0), D 点坐标为(0, n), 又 A(1, 1)、B (3, 2).
(1) 当AB为对角线时, 解得 故C(4, 0)、D (0, 3);
(2) 当AC为对角线时, 解得 故C(2, 0)、D(0, - 1);
(3) 当AD为对角线时, 解得 故C(-2, 0)、D (0, 1).
一点思考
本题计算并不麻烦，在于点 C、D在坐标轴上，若动点在一次函数图像或者抛物线上，则同样的方法，只是计算略有难度.
引例4：如图，已知抛物线 经过点A (3, 0), B (-1, 0),C(0, - 3).
(1) 求该抛物线的解析式；
(2)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由.
解析: (1) 抛物线:
(2) 列方程组求：设P (m, m -2m-3)、Q(n, 0),又B(-1, 0)、 C(0, - 3),
若BC为对角线，由题意得：
解得： 或 (舍),
∴对应的P (2, - 3);
若 BP为对角线，由题意得：
解得： 或 (舍),
∴对应的P (2, - 3);
若BQ为对角线，由题意得：
解得： 或
∴对应的P(1+ , )、(1- , ).
综上，P点坐标为
(1) 全动点与半动点
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样， “三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标均不确定，需要用两个字母表示，这样的点称为“全动点”，而当动点在坐标轴或已知直线或已知抛物线上时，用一个字母即可表示点坐标，这样的点称为“半动点”.
(2) 未知量
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出 4 个点坐标. 若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2.
(3) 题型设计
特殊图形的存在性问题最多可以有几个未知量，都是由图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量. 究其原因，在于平行四边形两大性质：
①对边平行且相等； ②对角线互相平分.
统一成一组方程组：
两个方程，最多有两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量.
题型概括
由图形性质可知未知量个数，由未知量个数可知动点设计，由动点设计可得解题策略.
真 题 演 练
1. 如图, 抛物线 交x轴A、B两点, 交y轴于点C. 直线y=x-5经过B、C.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 过点A 的直线交直线BC于点 M. 当AM⊥BC时, 过抛物线上一动点 P (不与点 B、C重合)，作直线 AM的平行线交直线 BC 于点 Q, 若以点 A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标.
2. 如图, 已知抛物线 与x轴交于A (-1, 0), B(3, 0) 两点, 与y轴交于C点,点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P的横坐标为t.
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D. 在直线l上是否存在点 M，使得四边形CDPM 是平行四边形 若存在，求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由.
3. 如图, 已知抛物线 过点
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 直线l过点A和点M( , 0) 若点P、D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O、C、P、D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的 P点坐标.
4. 如图, 已知抛物线交x轴于A、B两点, 交y轴于C点, A 点坐标为(-1, 0), OC=2, OB=3,点D为抛物线的顶点.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标.
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A(-1, 0), B(3, 0) 两点, 与y轴交于点 C, 连接BC.
(1) 求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
(2) 若点 N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以 B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点 B，抛物线 经过A、B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 已知E、F分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B、O、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 过点C (0, - 3), 与抛物线
的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L 、L 上的动点.
(1) 求抛物线L 对应的函数表达式；
(2)若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P的坐标.
8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图像与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线 经过A、B两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点D作DC⊥x轴于点 C，交直线AB于点E.
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) F是第一象限内抛物线上的动点 (不与点D重合)，点G是线段AB 上的动点.连接DF、FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.
平行四边形存在性问题
1解析：
(2) 考虑到AM∥PQ, 故只需AM=PQ即可.
①过点A作BC的平行线，与抛物线交点即为P点，易得直线AP的解析式：y=x-1,
联立方程： 解得：x =1(舍), ∴对应P点横坐标为4；
②作点A关于B点的对称点A'，过点A'作BC的平行线，与抛物线的交点亦为所求 P 点，
易求直线解析式: y=x-9,
联立方程： 解得：
∴P 点横坐标为 或
综上所述，P点横坐标为4或 或
2.解析: (1) 抛物线:
(2) 由题意可知CP、DM为对角线,考虑 DM在直线x=-1上, 故CP中点在直线x=-1上,∵点C坐标为(0，3)，故点 P横坐标为2，代入解析式得P(2, 3), 可得M点坐标为(1, 6).
3.解析：(1) 将点A代入解析式得：
∴抛物线解析式为
(2)若OC为四边形一边，则OC=PD，由题意得直线AB解析式为 设点P坐标为 则点D坐标为 解得： 或 或-2或0(舍), ∴点 P 坐标为 或 或(-2, 1).
4.解析: (1) 抛物线:
(2) 设 P 点坐标为(m, n), 又B(3, 0)、C(0, 2)、D
①若BC为对角线，由题意得： 解得： 故P 的坐标为
②若BD为对角线，由题意得： 解得： 故P 坐标为
③若BP为对角线，由题意得： 解得 故P 坐标为
综上所述，P点坐标为
5.解析：(1)抛物线： 对称轴：直线x=1；
(2)设M点坐标为 N点坐标为(1,n),又B (3, 0)、C (0, 2)
若 BC为对角线，由题意得：
解得： 故M点坐标为(2, 2);
若BN为对角线，由题意得：
解得：
故M点坐标为
若BM为对角线，由题意得：
解得：
故M点坐标为
综上所述，M点坐标为(2, 2)、
6.解析: (1) 抛物线:
(2) 设E 点坐标为 F 点坐标为 又B (0, 2)、O(0, 0),①若OB为对角线，由题意得：
解得： 或
故E点坐标为 或
②若OE为对角线，由题意得：
解得： 或
故E点坐标为 或
③若OF为对角线，由题意得：
解得： 故E点坐标为(2, 1).
综上，E点坐标为 或 或 或 或(2, 1).
7.解析: (1) L 解析式:
(2) 设P 点坐标为 Q 点坐标为 又C(0, - 3)、A (2, - 3),
①若CA为对角线，由题意得：
解得： 或 (舍), 故 P 点坐标为(-3, 12);②若CP为对角线，由题意得：
解得： 马 故P点坐标为(3，0)或 ⑧若CQ为对角线，由题意得：
解得： 或 (舍), 故P点坐标为 (-1, 0).
综上，P点坐标为(-3, 12)、(3, 0)、(- )、(-1, 0).
8.解析: (1) 抛物线:
(2) 本题4个点皆为动点，使四边形 DEGF为平行四边形易，而使周长最大难. 设E点坐标为 则D点坐标为 设F点坐标为 则G点坐标为
由DE=FG, 可得:
∵m≠n, ∴m+n=4,
过点G作GH⊥CD交CD于H点,
则
又
当 时，四边形DEGF是平行四边形且周长最大，此时G点坐标为
若E、G位置互换，则结论依然成立，此时
综上，G点坐标为 或