2025年中考数学压轴题二轮专题复习讲练第7讲 抛物线的几何定义（含解析）

第7讲 抛物线的几何定义
前言：我们已经知道二次函数的图像是抛物线，一种特别的曲线，其本身还具有这样的性质：抛物线上的任意一点到平面中某个定点和某条定直线的距离始终相等.这个点称为抛物线的焦点，这条直线称为抛物线的准线，这也是抛物线的定义.焦点和准线本属于高中内容，所谓高中内容下放也是中考中所常见的.
知 识 导 航
定义认识
引例 1：我们知道，二次函数的图像是抛物线，它也可以这样定义: 若一个动点M(x, y) 到定点A(0, R)的距离与它到定直线 的距离相等，则动点M形成的图形就叫抛物线
(1) 已知动点M(x, y)到定点A(0, 4) 的距离与到定直线y=-4的距离相等，请写出动点 M形成的抛物线的解析式.
(2) 若点 D 的坐标是 (1, 8),在(1) 中求得的抛物线上是否存在点 P，使得PA+PD最短 若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
解析: (1) 由题意得: 过点M作MB⊥直线y=-4, 垂足记为B点,
则MB=|y-(-4)|=|y+4|,
∴MA=MB, 即
两边平方，化简得：
故M 点形成的抛物线的解析式为
(2) 过P点做 PQ⊥直线y=-4, 则 PA=PQ, 故求 PA+PD最短, 即求PQ+PD最短.
过点 D 作直线y=-4的垂线，与抛物线交点即为 P 点，垂足为Q, 此时PQ+PD最短,
PA+PQ=PD+PQ=DQ=8, 为最小值,此时 P 点坐标为(1, ).
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结论总结
(1) 对于抛物线.y=ax ,焦点坐标为(0, ),准线为直线
焦点一般会用字母F表示. 二次项系数多是 对应的焦点坐标为(0, 1),准线为y=-1.
至于形如 的抛物线，可化为顶点式 由 平移来确定焦点和准线.
(2) 连接抛物线上两点 P、Q, 经过点 F, 分别过 P、Q作准线l的垂线, 垂足分别是 N、M, 连接FM、FN.
结论: FM⊥FN.
证明: 设∠NPF=α, ∠MQF=β, 则α+β=180°,
∴FM⊥FN.
(3) 取PQ中点E, 作EH⊥x轴交x轴于H点.
结论: PH⊥QH.
证明：延长PH与QM延长线相交，构造等腰三角形证明垂直关系.
(4) 记MN与y轴交于点 G.
结论：
引例2：已知抛物线 经过点A (0, 1),
AB∥x轴交抛物线于 B，M为线段AB的中点，点 P 为抛物线上任意一点，点P的纵坐标为n.
(1)直接写出a= ;线段PM的长为 .(用n的代数式表示)
(2) P不为抛物线的顶点. 如图，延长PM交抛物线于 Q，请证明：
解析： 线段PM的长为n；
(2) 分别过 P、M、Q作x轴垂线, 垂足分别为 C、D、E.则PM=PC, QM=QE, 即证明:
连接 EM 并延长与 CP 延长线交于点 F，连接 CM 并延长与EQ延长线交于点 G，
△MPF∽△MQE, 设 PM=PC=a, 则 PF=PM=a, ∴CF=2a,
△MQG∽△MPC,设QM=QE=b,则QG=QM=b,∴EG=2b,
△EDM∽△ECF, ∴MD=EDEC,
△CDM∽△CEG, ∴DD=CDCE
即
题型分析
(1) 已知焦点与准线，证明相等关系.
思路：设点坐标，分别表示两线段长即可得相等关系.
(2) 已知抛物线解析式确定焦点.
思路：可先通过特殊点的位置确定焦点坐标，再证明对抛物线上的任意点，均满足到焦点与准线距离相等.
引例3:如图，点P为抛物线 上一动点.
(1) 若抛物线 是由抛物线 通过图像平移得到的，请写出平移的过程；
(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0, - 1), 过点 P作PM⊥l于 M.
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F，使得PM=PF恒成立 若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由.
②问题解决:如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.
解析：(1) 向右平移2个单位，向上平移1个单位；
(2) ①直线l即为抛物线的准线，所求F 点为焦点.
考虑特殊位置，当P 点在顶点时，
可得F点坐标为(0, 1) 或(0, - 1)(舍),
以下证明P在抛物线任意位置，均满足 PF=PM：
设P 点坐标为
则
又
∴PF=PM, ∴当F点坐标为(0, 1) 时, PM=PF恒成立.
②由①可得PQ+PF=PQ+PM,
过点Q作QM⊥x轴，与x轴交点即为M点，与抛物线交点为P点, 此时PQ+PM=QM=6, ∴QP+PF的最小值为6.
真 题 演 练
1.如图,抛物线的顶点为A(h,-1),与y轴交于点 点F(2，1)为其对称轴上的一个定点.
(1) 求这条抛物线的函数解析式；
(2)已知直线l是过点C(0，-3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点 P(m，n)到直线l的距离为d，求证: PF=d;
(3) 已知坐标平面内的点 D (4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标.
2. 如图，已知二次函数的图像顶点在原点, 且点(2, 1)在二次函数的图像上, 过点F(0,1)作x轴的平行线交二次函数的图像于 M、N两点.
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 在二次函数的图像上是否存在一点 E，使得以点 E 为圆心的圆过点 F 和点 N，且与直线y=-1相切. 若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径； 若不存在，说明理由.
3. 如图, 已知直线AB 与抛物线
相交于点A(-1, 0)和点B(2, 3)两点.
(1) 求抛物线 C函数表达式；
(2) 在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F，使抛物线 C上任意一点 P 到点 F的距离等于到直线 的距离 若存在，求出定点F的坐标； 若不存在，请说明理由.
4. 如图1, 抛物线 与x轴的交点A (-3, 0) 和 B(1, 0), 与y轴交于点 C,顶点为D.
(1) 求该抛物线的解析式；
(2)如图2, 过该抛物线上任意一点 M(m, n)向直线 l: 作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 若存在，请求出F的坐标； 若不存在，请说明理由.
5. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线 与抛物线交于A、B两点，直线l为y=-l.
(1) 求抛物线的解析式；
(2)知F(x ,y )为平面内一定点, M(m, n) 为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点 M到点F的距离总是相等，求定点 F的坐标.
6. 如图, 已知二次函数 (a≠0, a 为实数) 的图像过点 A (-2, 2), 一次函数y= kx+b(k≠0,k、b为实数)的图像l经过点B(0,2).
(1) 求a值并写出二次函数表达式；
(2) 求b值;
(3)设直线l与二次函数图像交于M、N两点，过M作MC垂直x轴于点 C, 试证明: MB=MC;
(4)在(3) 的条件下，请判断以线段 MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由.
7. 已知抛物线 的顶点为(1，0)，与y轴的交点坐标为(0, )..R (1, 1) 是抛物线对称轴l上的一点.
(1) 求抛物线 的解析式；
(2) 若P是抛物线上的一个动点(如图1)，求证：点P到R 的距离与点 P 到直线y=-1的距离恒相等；
(3) 设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点 P、E、Q分别作直线y=-1的垂线. 垂足分别为M、F、N(如图2). 求证: PF⊥QF.
8. 已知直线y= kx+b (k≠0)过点F(0, 1), 与抛物线 相交于B、C两点.
(1) 如图1，当点C的横坐标为1时，求直线BC解析式；
(2)如图2, 设B(m, n)(m<0), 过点E(0, - 1) 的直线l∥x轴,BR⊥l于R,CS⊥l于 S,连接FR、FS.试判断△RFS的形状，并说明理由.
第7讲 抛物线的几何定义
1.解析：(1) 由题意得顶点坐标为 (2，-1)，设解析式为 将点 代入得： ∴抛物线解析式为
(2)由题意可得直线l: y=-3.点P到直线l的距离为n+3; ∴PF=d.
(3) 过点Q 作 QH⊥直线l交直线l于点 H, 则QH=QF,考虑DF长度不变, ∴若△DFQ周长最小, 即DQ+QF最小即可.如图,当D、Q、H共线时,此时DQ+FQ=DQ+QH=DH是最小值, ∵点D坐标为(4, 3), ∴DH=6,
又
∴△DFQ周长的最小值为( 此时点Q坐标为
2.解析：(1) 二次函数表达式为
(2) 设点E坐标为
则
过点E作EH⊥直线y=-1,则
∴EF=EH恒成立, 点E只需满足EF=EN即可,作线段FN的垂直平分线，与抛物线交点即为所求点 E，E点坐标为 即⊙E的半径为
3.解析：(1) 函数解析式：
(2) 当点 P在抛物线顶点时，P点坐标为(1，4)，此时点P到直线 的距离为
故此时点 P 到点 F 的距离也为 ，满足条件的 F 点坐标有 或
考虑到 在直线 上，故需舍去，F点可能的坐标只有
接下来证明，P在抛物线任意位置，均满足 PF 等于 P 到直线 的距离.
设P 点坐标为(m,n), 过P 点作 PQ⊥直线 垂足记为Q点，则 又
∵点P在抛物线上， 即
即PF=PQ,
所以当F点坐标为 时，点P 在抛物线任意位置，均满足PF等于 P到直线 的距离.
4.解析：(1) 抛物线解析式：
(2)设点M坐标为 点F坐标为(-1,n), 则 若 则
令 代入得：
解得： ∴点F坐标为
5.解析: (1) 抛物线:
(2) 猜想直线l是抛物线的准线，所求F点为抛物线焦点.当M点在顶点位置时，M点到直线l的距离为1，
∴此时F点应为(2，1).再证明M在抛物线任意位置，均有点 M到直线l的距离与点 M到点 F的距离相等.
M点到直线l的距离为n+1，
∵M点在抛物线上，
∴M 点到直线l的距离与 M 点到 F 点的距离始终相等，此时F点坐标为(2, 1).
6.解析： 二次函数表达式：
(2) b=2;
(3) 由问题可推测B点即抛物线焦点，x轴是抛物线准线.设M点坐标为
则
得
又
∴MB=MC.
(4) 相切
过点N作ND⊥x轴交x轴于点 D, 由(3) 可得NB=ND,取MN中点P, 过点P作PQ⊥x轴于点Q,
则
若以MN为直径作圆，则P点为圆心，又 ∴以MN为直径的圆与x轴相切.
7.解析: (1) 解析式:
(2) 设P点坐标为
则
∴PR=PM.
(3)类比:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,且CD=AD+BC, E点为AB边中点, 连接EC、ED, 求证:EC⊥ED.
考虑到 E 点为 AB 边中点, 倍长中线. 延长DE 与 CB 的延长线交于点 F，
易证△AED≌△BEF, ∴AD=BF,
∴CF=CB+BF=CB+AD=CD,
易证△CED≌△CEF(SSS),
∴∠CED=90°, ∴CE⊥DE.
对于本题, 同理可证 PF⊥QF.
8.解析：(1) 由题意得点C坐标为
∴直线BC解析式为
(2)△RFS是直角三角形. 不妨把问题单独拿出来看：如图, 在直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠A=90°, E是CD边一点且满足 DA=DE, CB=CE, 连接AE、BE, 求证: AE⊥BE.
设∠D=α, ∠C=β, 则α+β=180°,
∴AE⊥BE.
类似可证明本题中的△RFS是直角三角形.