2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期12月月考数学试题
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.某校商一、高二、高三人数分别为，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为的样本，则样本中高二学生的人数为( )
A. B. C. D.
3.若函数与的图象关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，在下列区间中，一定存在零点的是( )
A. B. C. D.
5.记，则( )
A. B. C. D.
6.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为，两面点数为，一面点数为，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
9.函数的定义域为 ．
10.若的平均数为，方差为，则的平均数为 ；方差为 ．
11.已知函数，若，则 ．
12.已知定义在上的偶函数满足：在上为单调函数，，若，则的取值范围是 ．
13.已知幂函数在上单调递减．
的值为 ；
记，若，则的取值范围是 ．
14.函数，其中满足且．
给出下列四个结论：
当时，的值域为；
当时，恰有两个零点；
若存在最大值，则的取值范围是
若存在三个互不相等实数，使得，且，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.现有大小相同的红球和白球各两个，若在其中随机抽取不放回两个球．
求所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率；
求所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率．
16.为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在的频率分别为已知．

求的值；
求样本中在内的频数；
若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数．
17.已知函数．
判断的奇偶性，并证明；
若，求的取值范围．
18.已知函数且．
当时，求的最大值；
若对任意，均有，求的最大值；
若对任意，均有，求的取值范围．
19.若函数的定义域为，且满足，则称为“函数”．
分别判断下列函数是否为“函数”；直接给出结论
；
若“函数”在上单调递增，且，求的取值范围：
若“函数”满足：当时，，且在上的值域为，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.记两红球为，两白球为，事件：“恰有一个为红球”，
样本空间，其中样本点个数，
，其中样本点个数
所以；
记事件：“至少有一个为红球”，
则，其中样本点个数，所以，
所以．

16.由图知：，
，
，
，
由于，则．
样本中在内的频率为，
相应的频数为．
样本中在内的频率为，
全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数估计值为：人

17.为奇函数，证明如下：
对于，
有，解得，所以的定义域为，
又，
因此为奇函数；
因为为奇函数，则，
即，所以，
解，得或，
解，得，
综上，，即的取值范围是．

18.当时，，
当且仅当，即时，等号成立
所以的最大值为
由题“”即：“，均有”
当且仅当时，等号成立，故，即的最大值为
法一：令，令
当时，在上单调递减
所以，，故
当时，
当时：在上单调递减
所以，恒成立，合题
当时：在单调递增，在单调递减
所以，，故
综上，的取值范围是
法二：令，
所以，
当时，，解得
故
当时，恒成立
故
综上，的取值范围是

19.是“函数”；不是“函数”．
理由如下：，
又函数的定义域为，所以为“函数”．
，
故不是“函数”．
先证：在上单调递增．
任取，且，
若，由于在上单调递增，则，
若，则，由于在上单调递增，
则，结合“函数”定义，有即在上单调递增；
若，由，则有，
故在上单调递增，
，
由于在上单调递增，因此，
即，解得，
综上，的取值范围是；
当时：，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立，
所以在上的最大值为，
进而在上的值域为；
当时，的取值范围是
由“函数”的定义，的取值范围是
即在上的值域为；
当时，，即，
因此在上的值域为，
若使其为，只需，而，解得，
综上，的取值范围是．

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