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北师大版八年级上册期末真题汇编严选卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．12，8，5， B．30，40，50，
C．9，13，15 D．，，
4．一次函数 的自变量的取值增加2，函数值就相应减少4，则k的值为（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．4
5．已知函数 和 的图象交于点P（-2，-1），则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（ ）
A．50° B．70° C．80° D．20°或70°
7．如图，分别以 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A．6 B．12 C．16 D．18
8．在平面直角坐标系中，对于坐标P（3，4），下列说法错误的是（ ）
A．P（3，4）表示这个点在平面内的位置
B．点P的纵坐标是4
C．点P到x轴的距离是4
D．它与点（4，3）表示同一个坐标
9．计算的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．7
10．如果，，那么下面各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
12．直线y＝k1x+b1（k1＞0）与y＝k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣3，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为12那么b2﹣b1的值为（ ）
A．3 B．8 C．﹣6 D．﹣8
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．比较大小：3 ．（填“>”、“<”或“＝”）
14．如图，在 中， 与 的角平分线相交于点O，若 ，则 ．
15．若一个三角形三个内角度数的比为 ，则其最大内角的度数是 ．
16．如图，在等腰直角 中， ， ， 为 的中点， ，点 为 上一动点，则 的最小值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中A（﹣2，1），B（3，4），连接OA、OB、AB，P是y轴上的一个动点，当|PB﹣PA|取最大值时，点P的坐标为 ．
18． 2020年1月15日上午八点，重庆马拉松赛在南滨路鸣枪起跑.为庆祝重马十周年，小明和小红约定一起参加迷你马拉松跑（全长5000 米）.比赛开始前，两人约定，完成总路程的 时，速度快的人要在原地停留等待对方.比赛正式开始后，两人均匀速向前.已知小明率先完成全程的 ，并立刻停下，待小红追上时再次以原速匀速出发.一段时间后，小明体力不支，降速为原来的 后匀速前进，最后同时与小红到达终点. 在此过程中，小红速度保持不变.如图是小明和小红之间的距离y（米）与两人出发的时间x（分钟）之间的函数图象.则小明开始降速时，小明距离终点还有 米.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在RtΔABC 中， ，在RtΔBDE 中， ， ， .
（1）若AB=4， ，求AC的长；
（2）连接CD，连接AE交BD于F点，若点F恰好是线段AE的中点，求证：CD=2BF.
20．（6分）某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费 （元）与每月用水量 之间的关系如图所示.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）若某用户三月份缴纳水费63元，则该用户三月份的用水量是多少 ？
21．（9分）2020西安（融创）马拉松赛在11月8日上午7：30城墙南门-永宁门鸣枪开炮，我区某校为了了解学生对本次马拉松赛的关注程度和锻炼情况，随机调查了部分学生每周跑步的时间，绘制成如下两幅不完整的统计图如图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）抽查学生跑步时间的众数是 小时，中位数是 小时；
（3）抽查学生跑步时间的平均数是小时？
22．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B都在格点上，点A的坐标为（-1，4），点B的坐标为（-3，2），请按要求回答下列问题：
（1）请你在网格中建立合适的平面直角坐标系；
（2）在y轴左侧找一格点C，使△ABC 是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ，△ABC的周长是 ；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP的周长最小 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（9分）位同学暑假参加义工活动的天数的统计如下：
天数（天） 0 2 3 5 6 8 10
人数 1 2 4 8 2 2 1
（1）这20位同学暑期参加义工活动的天数的众数是 天，极差是 天；
（2）中位数是 天；
（3）若小明同学把天数中的数据“8”看成了“7”，那么中位数、众数、方差，极差四个指标中受影响的是 ．
24．（9分）我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”.例如等腰三角形底边上的中线即为它的“等周径”
（1）若等边三角形的“等周径”长为 ，则它的边长为 ；
（2）如图，点E为四边形ABCD的边AB上一点，已知∠DEC=∠A=∠B，AE=BC，过点E作EF⊥CD于点F，求证：直线EF为△DEC的“等周线”；
（3）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若直线l为△ABC的“等周线”，请直接写出△ABC的所有“等周径”长.
25．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒 个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
26．（9分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20 km？
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北师大版八年级上册期末真题汇编严选卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：点M关于轴对称的点的坐标是．
故答案为：B．
【分析】根据关于y轴对称的点坐标的特征：横坐标变为相反数，纵坐标不变可得答案。
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（ ）．
A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：
在Rt△ABC中，
AB==2.5m，
∴A'B=2.5m，
在Rt△A'BD中，
BD==2m，
∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，
故选：D．
【分析】
根据梯子滑动得到，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A'BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．12，8，5， B．30，40，50，
C．9，13，15 D．，，
【答案】B
【解析】【解答】解：A. ∵52+82≠122，∴此选项不符合题意；
B. ∵302+402=502，∴此选项符合题意；
C. ∵92+132≠152，∴此选项不符合题意；
D. ∵()2+()2≠()2，∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别求出各选项中的较小的两数的平方和及较大数的平方，若较小的两数的平方和=较大数的平方，则是勾股数，分别计算，可作出判断.
4．一次函数 的自变量的取值增加2，函数值就相应减少4，则k的值为（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：x=1时，y=k+3，
∵在x=1处，自变量增加2，函数值相应减少4，
∴x=3时，函数值是y=k+3-4，
∴3k+3=k+3-4，
解得：k=-2.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：x=1时，y=k+3，x=3时，函数值是k+3-4，据此可得关于k的方程，求解可得k的值.
5．已知函数 和 的图象交于点P（-2，-1），则关于x，y的二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵函数y＝ax-3和y＝kx的图象交于点P的坐标为（-2，﹣1），
∴关于x，y的二元一次方程组
的解是
.
故答案为：B.
【分析】根据两一次函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解进行解答.
6．若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（ ）
A．50° B．70° C．80° D．20°或70°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，当∠BAC为锐角时，
∵∠AED=50°，
∴∠A=90°-∠AED=40°，
∴∠B=∠C==70°；
如图，当∠BAC为钝角时，
∵∠AED=50°，
∴∠BAC=∠ADE+∠E=140°，
∴∠B=∠C==20°，
综上，底角为20°或70°.
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论，即当∠BAC为锐角时，当∠BAC为钝角时，先根据直角三角形的性质或三角形外角的性质求出∠BAC的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求底角即可.
7．如图，分别以 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△AHC中，AC2=AH2+HC2，AH=HC，
∴AC2=2AH2，
∴HC=AH= ，
同理：CF=BF= ，BE=AE= ，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=6，
S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB= HC AH+ CF BF+ AE BE，
即 （AC2+BC2+AB2）
（AB2+AB2）
AB2
．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积，则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的直角三角形面积的两倍。
8．在平面直角坐标系中，对于坐标P（3，4），下列说法错误的是（ ）
A．P（3，4）表示这个点在平面内的位置
B．点P的纵坐标是4
C．点P到x轴的距离是4
D．它与点（4，3）表示同一个坐标
【答案】D
【解析】【解答】A、平面直角坐标系中点的位置可由一对有序实数对表示，故说法不符合题意；
B、坐标P（3，4），其横坐标为3，纵坐标为4，故此说法不符合题意；
C、点P到x轴的距离为4，点P到y轴的距离为3，故此说法不符合题意；
D、点P（3，4）与点（4，3）表示两个不同的点，故此说法符合题意；
故答案为：D．
【分析】分别利用点的坐标性质以及点坐标意义分析得出结果。
9．计算的结果为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．7
【答案】B
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的乘法法则以及立方根的概念可得原式=4-3，据此计算.
10．如果，，那么下面各式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ab>0，a+b<0，
∴a<0，b<0.
∴A、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，正确，不符合题意；
D、因为二次根式的被开方数不能小于0，所以无意义，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据已知条件可得a<0，b<0，由二次根式的性质可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式有意义的条件可判断D.
11．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若 ， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】如图，延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，
∵矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，
∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG= ，AR=AR-CE=4-2=2，
∴ ，
∵H是AG中点，
∴HG= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在Rt△ENG中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】延长GE交AB于点R，连接AE，设AG交DE于点M，过点E作EN⊥AG于N，先计算出RG=6，∠ARG= ，AR=2，根据勾股定理求出，得到HG= ，利用，求出，即可利用勾股定理求出EH。
12．直线y＝k1x+b1（k1＞0）与y＝k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣3，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为12那么b2﹣b1的值为（ ）
A．3 B．8 C．﹣6 D．﹣8
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
直线y＝k1x+b1与y轴交于B点，则B（0，b1），直线y＝k2x+b2与y轴交于C点，则C（0，b2），
∵△ABC的面积为12，
∴ OA·（OB+OC）＝12，即 ×3×（b1﹣b2）＝12，
∴b1﹣b2＝8，
∴b2﹣b1＝﹣8，
故答案为：D．
【分析】利用函数解析式表示出A、B、C三点的坐标，再利用三角形的面积计算公式求解即可。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．比较大小：3 ．（填“>”、“<”或“＝”）
【答案】<
【解析】【解答】解：∵32=9，，
∴，
故答案为：<.
【分析】由于32=9，而，因此.
14．如图，在 中， 与 的角平分线相交于点O，若 ，则 ．
【答案】115°
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ．
又 ， 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：115°．
【分析】在 中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可以求出的度数。
15．若一个三角形三个内角度数的比为 ，则其最大内角的度数是 ．
【答案】108°
【解析】【解答】解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，
根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，
解得x＝18．
所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．
故答案为108°
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，
根据三角形内角和定理列出方程，解之即可确定最大的内角度数。
16．如图，在等腰直角 中， ， ， 为 的中点， ，点 为 上一动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：在等腰直角 中， ， ， ，
∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=BC= ．
∵ 为 的中点，
∴BD= ．
作点C关于AB对称点C′，交AB于点O，则PC′=PC，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．
∵点C关于AB对称点C′，
∴∠C′BA=∠CBA=45°， ，
∴∠ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据勾股定理得出BC，由中点的定义求出BD，作作点C关于AB对称点C′，交AB于点O，则PC′=PC，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°， ，得出∠ ，在根据勾股定理得出结论。
17．如图，在平面直角坐标系中A（﹣2，1），B（3，4），连接OA、OB、AB，P是y轴上的一个动点，当|PB﹣PA|取最大值时，点P的坐标为 ．
【答案】（0，﹣5）
【解析】【解答】解：如图，作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，
∵|P'A-P'B|=|P'N-P'B|＜ |PB﹣PA| ，此时|PB - PA|值最大，
∵A(-2，1) ，N (2，1)，
设直线BM的解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴y=3x-5，
当x=0，y=-5，
∴P（0，-5）.
故答案为：（0，-5）.
【分析】作点A关于y轴的对称点N，连接BN交y轴于点P，根据三角形三边的关系得出|P'A-P'B|=|P'N-P'B|＜ |PB﹣PA| ，此时|PB - PA|值最大，然后利用待定系数法求出直线BM的解析式，令x=0，即可求出P点坐标.
18． 2020年1月15日上午八点，重庆马拉松赛在南滨路鸣枪起跑.为庆祝重马十周年，小明和小红约定一起参加迷你马拉松跑（全长5000 米）.比赛开始前，两人约定，完成总路程的 时，速度快的人要在原地停留等待对方.比赛正式开始后，两人均匀速向前.已知小明率先完成全程的 ，并立刻停下，待小红追上时再次以原速匀速出发.一段时间后，小明体力不支，降速为原来的 后匀速前进，最后同时与小红到达终点. 在此过程中，小红速度保持不变.如图是小明和小红之间的距离y（米）与两人出发的时间x（分钟）之间的函数图象.则小明开始降速时，小明距离终点还有 米.
【答案】1600
【解析】【解答】解：小红速度保持不变.跑完全程用 分钟，
小红速度为： 米/分，
小明跑完1000米时所用时间为： ，
小明的速度为 米/分，
小红完成1000米时间为： 分，
设小明由跑x分钟后速度降为原来的 ，速度为 米/分，
根据题意 ，
解得 ，
小明距离终点= 米.
故答案为：1600.
【分析】先利用小红速度保持不变.跑完全程用 分钟，求出小红跑的速度 米/分，再利用小红与小明完成1000米时所用时间相同，距离相差 求出时间 ，再求出小明的速度为 米/分，小红追上时时间为： 分，设小明跑x分钟后速度降为原来的 ， 利用后4000米路程构造方程；根据题意 ， 解得 ，利用剩下的时间乘以小明降速后的速度计算即可.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在RtΔABC 中， ，在RtΔBDE 中， ， ， .
（1）若AB=4， ，求AC的长；
（2）连接CD，连接AE交BD于F点，若点F恰好是线段AE的中点，求证：CD=2BF.
【答案】（1）解：如图，在△ABC和△DBE中，
∵ ，
∴△ABC≌△DBE（ASA），
∴BC＝BE＝ ，
由勾股定理得：AC＝ ；
（2）证明：如图，过A作AM⊥BD于M，
∵EB⊥BD，
∴∠AMB＝∠EBD＝90°，
∵F是AE的中点，
∴AF＝EF，
在△AFM和△EFB中，
∵ ，
∴△AFM≌△EFB，
∴AM＝BE＝BC，BF＝FM，
∴BM＝2BF，
∵∠DBC＋∠ABF＝90°，
∠ABF＋∠BAM＝90°，
∴∠DBC＝∠BAM，
在△ABM和△BDC中， ，
∴△ABM≌△BDC，
∴CD＝BM＝2BF.
【解析】【分析】（1）易证△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得BC=BE，然后利用勾股定理求解即可；
（2）过A作AM⊥BD于M，由中点的概念可得AF＝EF，证明△AFM≌△EFB，得到AM＝BE＝BC，BF＝FM，则BM＝2BF，由同角的余角相等可得∠DBC＝∠BAM，证明△ABM≌△BDC，据此解答.
20．（6分）某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费 （元）与每月用水量 之间的关系如图所示.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）若某用户三月份缴纳水费63元，则该用户三月份的用水量是多少 ？
【答案】（1）解：当 时，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
当 时，设 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 与 的关系式是 ；
（2）解：∵ ，
∴该用户三月份的用水量超过15吨，
当 时， ，
∴ ，
∴该用户三月份的用水量是 .
【解析】【分析】（1）当0（2）易得该用户三月份的用水量超过15吨，令y=63，求出x的值即可.
21．（9分）2020西安（融创）马拉松赛在11月8日上午7：30城墙南门-永宁门鸣枪开炮，我区某校为了了解学生对本次马拉松赛的关注程度和锻炼情况，随机调查了部分学生每周跑步的时间，绘制成如下两幅不完整的统计图如图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）抽查学生跑步时间的众数是 小时，中位数是 小时；
（3）抽查学生跑步时间的平均数是小时？
【答案】（1）解：被抽查的学生人数为 人，
则4小时的人数为 人，
补全统计图如下：
（2）4；4
（3）解：抽查学生跑步时间的平均数是：
小时.
【解析】【解答】（2）由条形统计图可知，众数为4小时，中位数为4小时；
故答案为：4，4；
【分析】（1）用时间为3小时的人数除以其百分比可算出总人数，再减去其余3组的人数得出4小时的人数，进而补全图形即可；
（2）众数就是一组数据中出现次数最多的数据，中位数就是将这100数据按从小到大的顺序排列出来后找出最中间的两个数据的平均数即可；
（3）根据加权平均数的计算方法解答即可.
22．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B都在格点上，点A的坐标为（-1，4），点B的坐标为（-3，2），请按要求回答下列问题：
（1）请你在网格中建立合适的平面直角坐标系；
（2）在y轴左侧找一格点C，使△ABC 是以AB为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ，△ABC的周长是 ；
（3）在x轴上是否存在点P，使△ABP的周长最小 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示；
（2）(-1，0)；
（3）解：如图，作点 关于x轴的对称点 ，连接AB′，交x轴于点P，则点P即所求，
设直线AB′的解析式为y=kx+b，将A( 1，4)，B′( 3， 2)代入得
，
解得 ，
∴直线AB′的解析式为y=3x+7.
将y=0代入得， ，
∴ .
【解析】【解答】解：（2）如图，当在y轴左侧点C(-1，0)时，△ABC为等腰直角三角形，此时 ，
故△ABC的周长为 ，
故答案为：(-1，0)， ；
【分析】（1）根据A、B坐标可知，A点向右1个单位，向下4个单位后的对应点作为坐标原点建立平面直角坐标系；
（2）由网格的特点易得点，再根据勾股定理可求AB边长为 ，进而即可得出答案；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于点P，则点P即所求，再利用一次函数与x轴交点求法求出交点P.
23．（9分）位同学暑假参加义工活动的天数的统计如下：
天数（天） 0 2 3 5 6 8 10
人数 1 2 4 8 2 2 1
（1）这20位同学暑期参加义工活动的天数的众数是 天，极差是 天；
（2）中位数是 天；
（3）若小明同学把天数中的数据“8”看成了“7”，那么中位数、众数、方差，极差四个指标中受影响的是 ．
【答案】（1）5；10
（2）5
（3）方差
【解析】【解答】解：（1）由统计表可知，5天人数最多，故众数是5天；
极差为：10-0=10（天）；
故答案为：5，10；
（2）一共有20个数据，从小到大排列后，第10个数据是5天和第11个数据也是5天，它们的平均数就是中位数：（天）；
故答案为：5；
（3）数据“8”看成了“7”，众数还是5天，中位数还是5天，极差还是10天，平均数会变小，随着方差也会变化；
故答案为：方差．
【分析】（1）根据众数和极差的计算方法求解即可；
（2）先将数据从小到大排列，再利用中位数的定义求解即可；
（3）根据中位数、众数、方差，极差的计算方法逐项判断即可。
24．（9分）我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”.例如等腰三角形底边上的中线即为它的“等周径”
（1）若等边三角形的“等周径”长为 ，则它的边长为 ；
（2）如图，点E为四边形ABCD的边AB上一点，已知∠DEC=∠A=∠B，AE=BC，过点E作EF⊥CD于点F，求证：直线EF为△DEC的“等周线”；
（3）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，若直线l为△ABC的“等周线”，请直接写出△ABC的所有“等周径”长.
【答案】（1）2
（2）证明：如图2中，
∵∠DEB=∠DEC+∠CEB=∠A+∠ADE，∠DEC=∠A=∠B，
∴∠ADE=∠CEB，
∵∠A=∠B，AE=BC，
∴△DAE≌△EBC（AAS），
∴DE=EC，
∵EF⊥CD，
∴DF=FC，
∴直线EF为△DEC的“等周线”
（3）解：①如图3-1中，当“等周线”经过点C时，直线l交AB于点E，设BE=x，则AE=5-x.作CH⊥AB于H.
由题意：3+x=4+5-x，解得x=3，
∵CH=
∴
∴
在Rt△ECH中，
∴“等周径”长为
②如图3-2中，当“等周线”经过点A时，直线l交BC于点E，设BE=x，则CE=3-x.
由题意：4+3-x=5+x，解得x=1，
∴EC=2，
在Rt△ACE中，
∴“等周径”长为
③如图3-3中，当“等周线”经过点B时，直线l交AC于点E，设AE=x，则CE=4-x.
由题意：3+4-x=5+x，解得x=1，
∴CE=3，
在Rt△BCE中，
∴“等周径”长为 .
综上所述，满足条件的“等周径”长为 或 或 .
【解析】【解答】解：（1）如图1中，△ABC是等边三角形，AD是中线.
由题意：∵AB=AC=BC，BD=CD，
∴AD⊥BC，∠B=60°，
∵
∴AB= =2.
故答案为2.
【分析】（1）如图1中，△ABC是等边三角形，AD是中线.解直角三角形求出AB即可；（2）只要证明△DAE≌△EBC（AAS），推出DE=EC，利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明；（3）分三种情形，分别画出图形求解即可；
25．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，8），过点B分别作BA⊥y轴，BC⊥x轴，得到一个长方形OABC，D为y轴上的一点，将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，点B落在点F处，直线DM交BC于点E．
（1）直接写出点D的坐标 ；
（2）若点P为x轴上一点，是否存在点P使△PDE的周长最小？若存在，请求出△PDE的最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q点是线段DE上一点（不含端点），连接PQ．有一动点H从P点出发，沿线段PQ以每秒1个单位的速度运动到点Q，再沿着线段QE以每秒 个单位长度的速度运动到点E后停止．请直接写出点H在整个运动过程中所用的最少时间t，以及此时点Q的坐标．
【答案】（1）（0，3）
（2）解：存在．
如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E，交x轴于点P，则点P即为所求，
此时△PDE的周长最小，
在Rt△CEF中，BE＝EF＝BC﹣CE，EF2+CF2＝CE2，BC＝8，CF＝4，
∴CE＝5，BE＝3，
作EG⊥OA，
∵OD＝AG＝BE＝3，OA＝8，
∴DG＝2，
在Rt△DEG中，EG2+DG2＝DE2，EG＝4，
∴DE＝
在Rt△D′EG中，EG2+D′G2＝D′E2，EG＝4，D′G＝8，
∴D′E＝ ，
∴△PDE周长的最小值为DE+D′E＝；
（3）解：由（2）得，E（4，5），D′（0，﹣3），
设直线D′E的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
∴直线D′E的解析式为y＝2x﹣3，
令y＝0，得2x﹣3＝0，
解得：x＝ ，
∴P（，0），
过点E作EG⊥y轴于点G，过点Q、P分别作y轴的平行线，分别交EG于点H、H′，H′P交DE于点Q′，
设直线DE的解析式为y＝k′x+b′，
则 ，
解得： ，
∴直线DE的解析式为y＝ x+3，
设Q（t，t+3），则H（t，5），
∴QH＝5﹣（t+3）＝2﹣t，EH＝4﹣t，
由勾股定理得：DE＝ ＝（2﹣ t）＝ QH，
∴点H在整个运动过程中所用时间＝ ＝PQ+QH，
当P、Q、H在一条直线上时，PQ+QH最小，即为PH′＝5，点Q坐标（ ， ），
故：点H在整个运动过程中所用最少时间为5秒，
【解析】【解答】解：（1）设D（0，m），且m＞0，
∴OD＝m，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∵将长方形OABC沿着直线DM折叠，使得点A与点C重合，
∴CD＝AD＝OA﹣OD＝8﹣m，
在Rt△CDO中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴点D的坐标为（0，3）；
【分析】（1）先求出OA＝BC＝8，AB＝OC＝4，∠AOC＝90°，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用勾股定理计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出 直线D′E的解析式为y＝2x﹣3， 再求出 2x﹣3＝0， 最后利用勾股定理计算求解即可。
26．（9分）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市．快、慢两车距B市的路程y1、y2（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．
（1）A市和B市之间的路程是 km；
（2）求a的值，并解释图中点M的横坐标、纵坐标的实际意义；
（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20 km？
【答案】（1）360
（2）解：根据题意得快车速度是慢车速度的2倍，设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h．
根据题意，得 2（x＋2x）＝360，解得x＝60．
2×60＝120，所以a＝120．
点M的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇．
（3）解：快车速度为120 km/h，到B市后又回到A市的时间为 （h）．
慢车速度为60 km/h，到达A市的时间为360÷60＝6（h）．
如图：
当0≤x≤3时，
设AB的解析式为：
由图象得： ， ； ， ；代入 得：
解得：
∴AB的解析式为：y＝－120x＋360（0 x≤3）．
当3＜x≤6时，
设BC的解析式为：
由图象得： ， ； ， ；代入 得：
解得：
∴函数的解析式为：y1＝120x－360（3＜x≤6） ．
设OC的解析式为：
由图象得： ， ；代入 得：
解得：
∴OC的解析式为：y2＝60x（0 x≤6）．
当0≤x≤3时，
根据题意，得y2－y＝20，即60x－（－120x＋360）＝20，
解得x＝ ， ．
当3＜x≤6时，
根据题意，得y2－y1＝20，即60x－（120x－360）＝20，
解得x＝ ， －2＝ ．
所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过 或 h两车相距20km．
【解析】【解答】（1）由题意得：A市和B市之间的路程是360 km；
【分析】（1）有图中的数据可以直接写出A市和B市之间的路程；
（2）根据题意得快车速度是慢车速度的2倍，设慢车速度为x km/h，则快车速度为2x km/h．根据题意得出方程，解之即可；
（3）分两种情况进行讨论：当3＜x≤6时，当0≤x≤3时，分类讨论。
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