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北师大版九年级上册期末真题详解卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
2．已知线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，则a﹕b的值是（ ）.
A．1﹕4 B．1﹕7 C．4﹕7 D．7﹕4
3．为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流I（A）是电阻R（）的反比例函数．当时，．若电阻R增大，则电源I为（ ）
A．3A B．4A C．7A D．12A
5．已知点，都是反比例函数图象上的点，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
7．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的三种视图中，面积一样的是（ ）
A．主视图与俯视图 B．主视图与左视图
C．俯视图与左视图 D．主视图、左视图和俯视图
8．一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．若a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2020 B． C．2022 D．
10．若反比例函数的图像在第一，三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯 照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．一元二次方程 的一次项系数是 .
14．如图，△OAB的顶点A在双曲线y= （x＞0）上，顶点B在双曲线y=- （x＜0）上，AB中点P恰好落在y轴上，则△OAB的面积为 .
15．正比例函数 和反比例函数 交于A、B两点．若A点的坐标为（1，2）则B点的坐标为 .
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=1：3，DE=6，则BC的长是 ．
17．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是 .
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长．
20．（6分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议,某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2017年的利润为2亿元，2019 年的利润为2.88亿元.
（1）求该企业从2017年到2019年年利润的平均增长率
（2）若年利润的平均增长率不变，则该企业2020年的利润能后超过3.5亿元
21．（9分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．(不可以用上课时间接通饮水机电源)
时间 节次
上午 7：20 到校
7：45～8：20 第一节
8：30～9：05 第二节
… …
22．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，BC
= 6．点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动．点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个单位长度的速度运动．点P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长．（用含t的代数式表示）.
（2）当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值.
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE、QE为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．
图②
23．（9分）如图，一次函数 与函数 的图象交于 ， 两点， 轴于C， 轴于D
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出 的x的取值范围；
（3） 是线段AB上的一点，连接PC，PD，若 和 面积相等，求点P坐标.
24．（9分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
25．（9分）如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．
（1）如图1，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示）
（3）若，连接交于点，连接，当时，直接写出的长．
26．（9分）如图1，在平面直角坐标系 中，点 ，点 .
（1）求直线 的函数表达式；
（2）点P是线段 上的一点，当 时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段 绕点A顺时针旋转 ，点B落在点C处，连结 ，求 的面积，并直接写出点C的坐标.
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北师大版九年级上册期末真题详解卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1 ，然后把方程左边写成完全平方的形式即可.
2．已知线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，则a﹕b的值是（ ）.
A．1﹕4 B．1﹕7 C．4﹕7 D．7﹕4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵线段a﹦4cm，线段b﹦7cm，
∴a﹕b=4cm：7cm=4：7.
故答案为：C.
【分析】直接代入a、b的值求比即可.
3．为了深化落实“双减”工作，促进中小学生健康成长，教育部门加大了实地督查的力度，对我校学生的作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”要求的落实情况进行抽样调查，计划从“五项管理”中随机抽取两项进行问卷调查，则抽到“作业”和“手机”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将作业、睡眠、手机、读物、体质“五项管理”简写为：业、睡、机、读、体，利用列表法可得：
业 睡 机 读 体
业 （业，睡） （业，机） （业，读） （业，体）
睡 （睡，业） （睡，机） （睡，读） （睡，体）
机 （机，业） （机，睡） （机，读） （机，体）
读 （读，业） （读，睡） （读，机） （读，体）
体 （体，业） （体，睡） （体，机） （体，读）
根据表格可得：共有20种可能，满足“作业”和“手机”的情况有两种，
∴ 抽到“作业”和“手机”的概率为：，
故答案为：C．
【分析】利用列表法和概率公式即可得出答案。
4．如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流I（A）是电阻R（）的反比例函数．当时，．若电阻R增大，则电源I为（ ）
A．3A B．4A C．7A D．12A
【答案】B
【解析】【解答】解：，当时，．
当时，
故答案为：B
【分析】根据，当时，当时，分别得出电源I的值。
5．已知点，都是反比例函数图象上的点，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的性质即可得出答案。
6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，可能成立，符合题意；
B、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意；
C、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意；
D、由一次函数图象知，，，由反比例函数图象知，，不可能成立，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题，判断各选项即可得出答案。
7．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的三种视图中，面积一样的是（ ）
A．主视图与俯视图 B．主视图与左视图
C．俯视图与左视图 D．主视图、左视图和俯视图
【答案】B
【解析】【解答】解：该几何体的三视图如图所示：
， ，
由三视图可知，面积一样的是主视图与左视图，
故答案为：B．
【分析】根据三视图的特点即可得出答案。
8．一元二次方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】【解答】解：
∴x-1=0或x-3=0
∴，
故答案为：A．
【分析】利用因式分解法解出方程，再判断即可.
9．若a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2020 B． C．2022 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：是关于x的方程的一个根，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】将x=a代入方程中可得，再将原式变形为，然后代入计算即可.
10．若反比例函数的图像在第一，三象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵反比例函数（m为常数）的图象位于第一、三象限，
∴m-1＞0，
∴m＞1，
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可得m-1＞0，再求出m的取值范围即可。
11．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故答案为：A．
【分析】根据折叠的性质得到，由矩形的性质可得，利用同角的余角相等证得，进而得到，设，则，，，故AD=BC=BE+CE=8x，进而得到DF=10x，在直角三角形DEF中，由勾股定理解得x=1，再根据矩形的面积公式计算即可.
12．如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯 照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
【答案】C
【解析】【解答】解：连接DF，
已知CD=EF，CD⊥EG，EF⊥EG，
∴四边形CDFE为矩形.
∴DF∥GH，
∴
又AB∥CD，∴ .
设 =a，DF=b，
∴ ，
∴
∴
∴GH= ，
∵a，b的长是定值不变，
∴当人从点 走向点 时两段影子之和 不变．
故答案为：C.
【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得 .又AB∥CD，得出 ，设 =a，DF=b（a，b为常数），可得出 ，从而可以得出 ，结合 可将DH用含a，b的式子表示出来，最后得出结果.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．一元二次方程 的一次项系数是 .
【答案】0
【解析】【解答】解：一元二次方程 的一次项系数是0，
故答案为：0.
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项；根据定义即可解答.
14．如图，△OAB的顶点A在双曲线y= （x＞0）上，顶点B在双曲线y=- （x＜0）上，AB中点P恰好落在y轴上，则△OAB的面积为 .
【答案】5
【解析】【解答】如图分别作BC⊥ y轴于点C，AD⊥ y轴于点D，
∵P为AB的中点，
∴S△ADP=S△BCP，
则S△ABO=S△ BOC+S△ OAC，
∵A在双曲线y= （x＞0）上，顶点B在双曲线y=- （x＜0）上，
∴S△ BOC=2，S△ OAD=3，则S△ABO=5，故答案为5
【分析】分别作BC⊥ y轴于点C，AD⊥ y轴于点D，由P为AB的中点，得出S△ABO=S△ BOC+S△ OAC，因为A在双曲线y= （x＞0）上，顶点B在双曲线y=- （x＜0）上，即可得出S△ABO的面积。
15．正比例函数 和反比例函数 交于A、B两点．若A点的坐标为（1，2）则B点的坐标为 .
【答案】（-1，-2）
【解析】【解答】∵正比例函数y1=k1x和反比例函数 交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
又∵A点的坐标为（1，2），
∴B点的坐标为（-1，-2）．
故答案是：（-1，-2）．
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称，再利用关于原点对称的点坐标的特征可以求出点B的坐标。
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：AB=1：3，DE=6，则BC的长是 ．
【答案】18
【解析】【解答】根据DE∥BC ∴ ，即 ，∴BC=18.
【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式求解即可。
17．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是 .
【答案】108
【解析】【解答】解：设点O为AB的中点，连接EO交半圆于点P，此时PE取最小值，
∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，
∴CD＝AB，EO＝AD，
∴OP＝CE＝ AB＝10，
∴EP＝OE﹣OP＝AD﹣OP＝2，
∴CP2+EP2＝2PE2+CE2＝2×22+102＝108.
故答案为108.
【分析】设点O为AB的中点，连接EO交半圆于点P，此时PE取最小值，利用矩形的性质可求出EC、EP的值，则CP2+EP2＝2PE2+CE2，代入数值即可求出结论.
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为 ．
【答案】 、 、
【解析】【解答】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB= =5
设AD=x，BD=5-x，
∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，
分四种情况讨论：
①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x
∴ ，即： ，
解得x= ，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴ ，即： ，
解得：x= ，
BE= >BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴ ，即 ，
解得：x= ，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴ ，即： ，
解得：x= ，
综上：AD的长为 、 、 .
【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
又∵OA=OB
∴OA=OB=OC=OD
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
证法二：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
又∵OA=OB
∴△ABD是以∠BAD为直角的直角三角形，
∴∠BAD=90°
根据矩形的定义知，四边形ABCD是矩形
（2）解：∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2
∴AC=2OA=4
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，有AB2+BC2=AC2
∴BC2=AC2-AB2=42-22=16-4=12
∴BC=
【解析】【分析】（1）证法一就根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”由OA=OB=OC=OD得AC=BD，所以四边形ABCD是矩形；证法二则是根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”由 ，得△ABD是以∠BAD为直角的直角三角形，得∠BAD=90°，根据矩形的定义知，四边形ABCD是矩形；（2）由题意知OA=OB，∠AOB=60°知△AOB是等边三角形，易知AC=4，根据勾股定理，有AB2+BC2=AC2可求得BC= ．
20．（6分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议,某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2017年的利润为2亿元，2019 年的利润为2.88亿元.
（1）求该企业从2017年到2019年年利润的平均增长率
（2）若年利润的平均增长率不变，则该企业2020年的利润能后超过3.5亿元
【答案】（1）解：设年利润平均增长率为x，得：
2（1+x）2=2.88，
解得 x1 =0.2，x2 =-2.2 （舍去），
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%
（2）解：2.88（1+20%）=3.456，
3.456＜3.5，
答：该企业2020年的利润不能超过3.5亿元
【解析】【分析】（1）设年利润平均增长率为x，根据“2017年的利润为2亿元，2019年的利润为2.88亿元”，列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，即可得到答案，（2）结合（1）的结果，列式计算，求出2020年的利润，即可得到答案．
21．（9分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．(不可以用上课时间接通饮水机电源)
时间 节次
上午 7：20 到校
7：45～8：20 第一节
8：30～9：05 第二节
… …
【答案】（1）解：当0≤x≤8时，设y=k1x+b，
将（0，20），（8，100）代入y=k1x+b
得k1=10，b=20
∴当0≤x≤8时，y=10x+20；
当8＜x≤a时，设y= ，
将（8，100）代入y=
得k2=800
∴当8＜x≤a时，y= ；
∴当0≤x≤8时，y=10x+20；
当8＜x≤a时，y=
（2）解：将y=20代入y= ，
解得a=40
（3）解：要想喝到不超过40℃的热水，则：
∵10x+20≤40，
∴0＜x≤2，
∵ ≤40，
∴20≤x＜40
因为40分钟为一个循环，
所以8：20喝到不超过40℃的开水，
则需要在8：20﹣（40+20）分钟=7：20
或在（8：20﹣40分钟）﹣2分钟=7：38～7：45打开饮水机
故在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．
【解析】【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；
（2）将y=20代入y=即可得到a的值；
（3）要想喝到不超过40℃的热水，让解析式小于等于40，则可得x的取值范围，再由题意可知开饮水机的时间．
22．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，BC
= 6．点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动．点Q从点C出发，沿CA方向以每秒 个单位长度的速度运动．点P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长．（用含t的代数式表示）.
（2）当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值.
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE、QE为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．
图②
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC= = =8，
∵CQ= t，
∴AQ=8- t（0≤t≤4）．
（2）解：①当PQ BC时， ，
∴ ，
∴t= s．
②当PQ∥AB时， ，
∴ ，
∴t=3，
综上所述，t= s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．
（3）解：①如图1中，a、当0≤t≤ 时，重叠部分是四边形PEQF．
S=PE EQ=3t （8-4t- t）=-16t2+24t．
B、如图2中，当 S=S四边形PEQF-S△PFN=（16t2-24t）- （ t-8） （ t-8）= t2- t- ．
C、如图3中，当2S=S四边形PBQFS△FNM= t [6-3（t-2）]- [ t-4（t-2）] [ t-4（t-2）]=- t2+30t-24．
综上所述，S= ．
②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．
则有（3-3t）：（3- t）=1：2，解得t= s，
B、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．
∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，
∴（3t-3）：（3- t）=1：3，
解得t= s，
综上所述，当t= s或 s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ=AC-CQ即可解决问题；（2）分两种情形列出方程求解即可；（3）①分三种情形a、如图1中，当 时，重叠部分是四边形PEQF．
b、如图2中，当 时，重叠部分是四边形PNQE．
c、如图3中，当2e、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；
23．（9分）如图，一次函数 与函数 的图象交于 ， 两点， 轴于C， 轴于D
（1）求k的值；
（2）根据图象直接写出 的x的取值范围；
（3） 是线段AB上的一点，连接PC，PD，若 和 面积相等，求点P坐标.
【答案】（1）解： 一次函数 的图象经过 ， 两点，
， ，
解得： ， ，
函数 的图象经过 ， 两点，
；
（2）解： ，
即 ，
由图象可知：x的取值范围为 或 ；
（3）解：设直线 上点P的坐标为 由 和 面积相等，
，即 ，
解得： ，
则 ，
点P的坐标为
【解析】【分析】（1）根据一次函数 的图象经过 ， 两点，得到关于m和n的一元一次方程，解之，即可得到m和n的值，把点A和点B的坐标代入函数 ，解之，即可得到k的值，（2） ，即 ，根据图象，结合点A和点B的坐标，即可得到答案，（3）设直线 上点P的坐标为 由 和 面积相等，得到关于x的一元一次方程，解之即可.
24．（9分）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形；
（2）分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；
（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．
【答案】（1）解：如图，△OB'C'是所求的三角形
（2）解：以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍，则是对应点的坐标放大两倍，并将符号进行相应的改变，因为B(3，-1)，则B’(-6，2) C(2，1)，则C‘（-4，-2）
（3）解：因为点M (x，y)在△OBC内部，则它的对应点M′的坐标是M的坐标乘以2，并改变符号，即M’（-2x，-2y）
【解析】【分析】（1）延长BO，CO，使B'O=2BO，C'O=2CO，然后顺次连接即得△B'C'O.
（2）根据所画图形直接写出B′、C′的坐标 .
（3）点M (x，y)在△OBC内部，根据位似图形的性质，可得对应点M′的坐标是M的坐标分别乘以2即得.
25．（9分）如图，在矩形中，，点是线段延长线上的一个动点，连接，过点作交射线于点．
（1）如图1，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，若，试判断与之间的数量关系，写出结论并证明；（用含的式子表示）
（3）若，连接交于点，连接，当时，直接写出的长．
【答案】（1）解：，证明如下：
，
四边形矩形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
；
（3）的长为或．
【解析】【解答】（3）解：如图，当点在上时，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
在中，，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，
四边形是矩形，，
，，，
，
在中，，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的长为或．
【分析】（1）利用矩形的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则AE=AF，即可求出答案.
（2）利用矩形的性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，先利用勾股定理求出的长，再根据相似三角形的性质，得出和的长，然后由勾股定理即可求出的长.
（1）解：，证明如下：
，
四边形矩形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，当点在上时，
四边形是矩形，，
，，，
，
，
在中，，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，
四边形是矩形，，
，，，
，
在中，，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上可知，的长为或．
26．（9分）如图1，在平面直角坐标系 中，点 ，点 .
（1）求直线 的函数表达式；
（2）点P是线段 上的一点，当 时，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，将线段 绕点A顺时针旋转 ，点B落在点C处，连结 ，求 的面积，并直接写出点C的坐标.
【答案】（1）解：∵A（2，0）， ，
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有 ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为 ．
（2）解：如图1，过点P、B分别做 轴于点M， 轴于点N，即PM∥BN.
∵ ，
∴AP：AB=2：3，
∴ =
∴
将 代入解析式 可得
，∴
（3）解：①如图2，过点C作 交 的延长线于点H.
∵ 中，由勾股定理得：AP= ，
在 中， ，
∴
∴ ；
【解析】【解答】解：（3）过点H作FE∥x轴，过点C作CE⊥FE于点E，交x轴于点G，过点A作AF⊥FE于点F，
Rt△ACH中， AH= ，
∵PM∥AF，AM∥HF，根据直角相等、两直线平行，同位角相等易证△APM∽△HAF，AP=2 ，AM=4，PM=2，
∴ ，即 ，
解得：AF= ，HF=3，
∵∠AHF+∠CHE=∠AHF +∠FAH=90°，
∴∠CHE=∠FAH，
∵∠HEC=∠AFH=90°，
∴△HEC∽△AFH，
方法同上得：CE=3 ，HE= ，
由四边形AFEG是矩形，得AF=GE= ，AG=FH+HE，
∴OG=OA+ FH+HE=2+3+ =5+ ，CG=CE-EG=3 - ，
即点 .
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）过点P、B分别做 轴于点M， 轴于点N，根据相似三角形的性质得出PM的长，即点P的纵坐标，代入直线解析式，从而求解；（3）过点C作 交 的延长线于点H，若求 的面积，求出CH的长即可，根据旋转120°，得∠CAH=60°，解直角三角形AHC即可得出CH长，从而求解，
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