直线与平面垂直的判定教案
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文档简介
《直线与平面垂直的判定》
教案
巨野县实验中学 刘士臣
二〇〇八年十一月二十七日
<<直线与平面垂直的判定>>的教学设计
巨野实验中学 刘士臣
一、教学目标
1、借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题；
3、理解直线与平面所成角的定义，会求简单的线面角；
4、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心．
二、重点难点
重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理；
难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用；
教学策略与手段：本课采用“引导—探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲，同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率．
三、课前准备
教具：投影仪，多媒体课件（以PowerPoint为平台，结合使用几何画板），三角板．学生自备学具：三角形纸片、笔（表直线）、课本（表平面）。
四、教学过程
（一）直观感知直线与平面垂直的形象
在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行已研究过，接下来我们研究直线与平面相交的位置关系。
问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。
设计意图：通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的特例直线与平面垂直的初步形象，激发学生进一步探究的欲望。
师生活动：引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，教室内直立的墙角线和地面的位置关系等，由此引出课题。
（二）抽象概括直线与平面垂直的定义
问题2：结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义。
（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？
设计意图：引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，感知直线与平面垂直的内涵。
师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示，再引导学生得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直。
问题3：通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？
设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。
师生活动：学生作答，教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图2。
辨析1：下列命题是否正确？为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（2）如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（3）对于问题2中的两条直线如果是相交直线呢？
设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解。通过前两个问题的反例让学生对探究直线与平面的垂直定义产生极大的兴趣，从而对问题3的探究也充满兴趣。
师生活动：在命题判断中引导学生举出反例，有效的利用逆向思维加深对“任意一条直线”的认识。
（三）探究发现直线与平面垂直的判定定理
问题4：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？
设计意图：感受用定义作判断不方便，引发学生探索判定定理的需要。
师生活动：引导学生思考用定义作判断不方便的原因，已经排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，引导学生进行折纸活动。
实验：如图4，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）。
问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD BC时翻折后的折痕AD与桌面垂直。
师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。当ADBC时，引导学生继续进行折纸试验，如图5，固定BD，并保持BD与DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分挠着AD旋转，观察可知AD始终与桌面垂直，教师引导学生从直线与直线垂直的角度分析“垂直”的原因。
问题6:当折痕AD⊥BC时，上述沿AD的各种折法中，能使AD始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能得到什么结论？
设计意图：引导学生发现折痕AD与桌面垂直的本质特征：ADBD，ADCD，且BD 、CD是桌面内两条相交直线。
师生活动：学生观察并讨论，师生共同分析折痕AD是BC边上的高的实质：AD是BC边上的高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变，即ADCD，ADBD，同时CD、BD是两相交直线不变，这就是说，当AD垂直于桌面内的两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面所在的平面。
问题7：（1）如图6，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n ,把桌面抽象为平面α，直线l与平面α垂直的条件是什么？
设计意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直。
师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充，并结合“两条相交直线确定一个平面” 的事实作简要说明，然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理。
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
用符号语言表示为：
得出：线线垂直则线面垂直（降维）
辨析2：下列命题是否正确？为什么？
（1） 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
（2）如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面
（3）如果一条直线和一个平面内的某两条相交直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
（2）
设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。
师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件。
（四）初步应用
例1：如图7，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。
设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用判定定理的条件，体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系。
师生活动：请同学叙述，师生共同评析，演示标准步骤，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件。让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果给出了直线和平面垂直的又一个判定方法。
思考：如图8，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时， A′C⊥B′D′？
设计意图：巩固对于定理的理解，本题考查了定义与判定定理，同时也用了转化的数学思想。
师生活动：学生回答，说明理由，老师补充引导，板书过程。
（五）借助于判定定理的学习，进一步探究直线与平面所成角的求法。
问题8：如图10，当直线与平面斜交时，怎么来刻画这条直线的倾斜程度呢？
设计意图：引到学生从“角”的角度来刻画，为寻找线面角做铺垫。
师生活动：通过具体实物的演示让学生体会到寻找线面角的必要性。
问题9：怎么来找直线与平面所成的角呢？
设计意图：引导学生应用线面垂直的问题来找角，探究线面角的定义。
师生活动：用三角板来演示角的存在性，让学生指出哪个是线面角。
演示几个基本概念，引出线面角的定义。
定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
反思：找线面角的思路是什么呢？（学生回答出作垂线找射影的步骤）
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角
直线和平面所成角的范围是[0，90]
例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，
求直线A1B与平面A1B1CD所成的角
设计意图：会用判定定理解决简单的垂直问题，同时也是线面角在具体题目中的体现。通过本题总结出解决此类问题的思路（作、证、算）
师生活动：共同分析图形，找到解题的突破口在于找垂线，通过演示，总结出此类问题的一般步骤，学生叙述后给出标准的步骤。
变式：求直线AC与平面A1B1CD所成的角。
设计意图：熟练找角、求角的过程。
师生活动：学生叙述，老师演示其过程。
(六)课堂练习：
设计意图：巩固本节所学的内容，学会用判定定理解决一些几何问题。
师生活动：学生回答，教师点评，同时指出所用的方法。
（七）总结反思
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？
（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？
设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。
师生活动：归纳出判断直线与平面垂直的三种方法：利用定义，利用判定定理，利用例1论。这些方法都体现了转化的数学思想。同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
（八）板书设计
（九）作业
图1
A
B
C
B’
C’
α
l
P
图2
B
α
A
图3
C
E
F
D
C
B
A
图4
D
B
A
C
图5
o
图6
a
b\b
图7
α
直线与平面垂直的判定（一）
1．定义
图示
例题与练习
电脑投影屏幕
2．判定定理
图8
A
D
C
B
A’
B’
C’
D’
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教案
巨野县实验中学 刘士臣
二〇〇八年十一月二十七日
<<直线与平面垂直的判定>>的教学设计
巨野实验中学 刘士臣
一、教学目标
1、借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；
2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题；
3、理解直线与平面所成角的定义，会求简单的线面角；
4、让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心．
二、重点难点
重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理；
难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用；
教学策略与手段：本课采用“引导—探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲，同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率．
三、课前准备
教具：投影仪，多媒体课件（以PowerPoint为平台，结合使用几何画板），三角板．学生自备学具：三角形纸片、笔（表直线）、课本（表平面）。
四、教学过程
（一）直观感知直线与平面垂直的形象
在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行已研究过，接下来我们研究直线与平面相交的位置关系。
问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。
设计意图：通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中的特例直线与平面垂直的初步形象，激发学生进一步探究的欲望。
师生活动：引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，教室内直立的墙角线和地面的位置关系等，由此引出课题。
（二）抽象概括直线与平面垂直的定义
问题2：结合对下列问题的思考，试着说明直线和平面垂直的意义。
（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗
（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？
设计意图：引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，感知直线与平面垂直的内涵。
师生活动：学生思考作答, 教师用多媒体课件演示，再引导学生得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直。
问题3：通过上述分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？
设计意图：让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义。
师生活动：学生作答，教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法。
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面α互相垂直，记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图2。
辨析1：下列命题是否正确？为什么？
（1）如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（2）如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线与这个平面垂直。
（3）对于问题2中的两条直线如果是相交直线呢？
设计意图：通过问题辨析，加深概念的理解。通过前两个问题的反例让学生对探究直线与平面的垂直定义产生极大的兴趣，从而对问题3的探究也充满兴趣。
师生活动：在命题判断中引导学生举出反例，有效的利用逆向思维加深对“任意一条直线”的认识。
（三）探究发现直线与平面垂直的判定定理
问题4：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？
设计意图：感受用定义作判断不方便，引发学生探索判定定理的需要。
师生活动：引导学生思考用定义作判断不方便的原因，已经排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，引导学生进行折纸活动。
实验：如图4，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）。
问题5：（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
设计意图：通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD BC时翻折后的折痕AD与桌面垂直。
师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导学生根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。当ADBC时，引导学生继续进行折纸试验，如图5，固定BD，并保持BD与DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分挠着AD旋转，观察可知AD始终与桌面垂直，教师引导学生从直线与直线垂直的角度分析“垂直”的原因。
问题6:当折痕AD⊥BC时，上述沿AD的各种折法中，能使AD始终与桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能得到什么结论？
设计意图：引导学生发现折痕AD与桌面垂直的本质特征：ADBD，ADCD，且BD 、CD是桌面内两条相交直线。
师生活动：学生观察并讨论，师生共同分析折痕AD是BC边上的高的实质：AD是BC边上的高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变，即ADCD，ADBD，同时CD、BD是两相交直线不变，这就是说，当AD垂直于桌面内的两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面所在的平面。
问题7：（1）如图6，把AD、BD、CD抽象为直线l、m、n ,把桌面抽象为平面α，直线l与平面α垂直的条件是什么？
设计意图：让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直。
师生活动：学生叙述结论，不完善的地方教师引导、补充，并结合“两条相交直线确定一个平面” 的事实作简要说明，然后让学生用图形语言与符号语言来表示定理。
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
用符号语言表示为：
得出：线线垂直则线面垂直（降维）
辨析2：下列命题是否正确？为什么？
（1） 如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
（2）如果一条直线和一个平面内的任何两条直线都垂直，那么该直线垂直于该平面
（3）如果一条直线和一个平面内的某两条相交直线都垂直，那么该直线垂直于该平面；
（2）
设计意图：通过辨析，强化定理中“两条相交直线”的条件。
师生活动：学生思考作答，教师再次强调“相交”条件。
（四）初步应用
例1：如图7，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α。
设计意图：初步感受如何运用直线与平面垂直的判定定理与定义解决问题，明确运用判定定理的条件，体会空间中平行关系与垂直关系的转化与联系。
师生活动：请同学叙述，师生共同评析，演示标准步骤，明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤，防止缺少条件，特别是“相交”的条件。让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果给出了直线和平面垂直的又一个判定方法。
思考：如图8，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时， A′C⊥B′D′？
设计意图：巩固对于定理的理解，本题考查了定义与判定定理，同时也用了转化的数学思想。
师生活动：学生回答，说明理由，老师补充引导，板书过程。
（五）借助于判定定理的学习，进一步探究直线与平面所成角的求法。
问题8：如图10，当直线与平面斜交时，怎么来刻画这条直线的倾斜程度呢？
设计意图：引到学生从“角”的角度来刻画，为寻找线面角做铺垫。
师生活动：通过具体实物的演示让学生体会到寻找线面角的必要性。
问题9：怎么来找直线与平面所成的角呢？
设计意图：引导学生应用线面垂直的问题来找角，探究线面角的定义。
师生活动：用三角板来演示角的存在性，让学生指出哪个是线面角。
演示几个基本概念，引出线面角的定义。
定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
反思：找线面角的思路是什么呢？（学生回答出作垂线找射影的步骤）
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角
直线和平面所成角的范围是[0，90]
例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中，
求直线A1B与平面A1B1CD所成的角
设计意图：会用判定定理解决简单的垂直问题，同时也是线面角在具体题目中的体现。通过本题总结出解决此类问题的思路（作、证、算）
师生活动：共同分析图形，找到解题的突破口在于找垂线，通过演示，总结出此类问题的一般步骤，学生叙述后给出标准的步骤。
变式：求直线AC与平面A1B1CD所成的角。
设计意图：熟练找角、求角的过程。
师生活动：学生叙述，老师演示其过程。
(六)课堂练习：
设计意图：巩固本节所学的内容，学会用判定定理解决一些几何问题。
师生活动：学生回答，教师点评，同时指出所用的方法。
（七）总结反思
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现了什么数学思想？
（3）关于直线与平面垂直你还有什么问题？
设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。
师生活动：归纳出判断直线与平面垂直的三种方法：利用定义，利用判定定理，利用例1论。这些方法都体现了转化的数学思想。同时强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路。
（八）板书设计
（九）作业
图1
A
B
C
B’
C’
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图2
B
α
A
图3
C
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D
C
B
A
图4
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B
A
C
图5
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图6
a
b\b
图7
α
直线与平面垂直的判定（一）
1．定义
图示
例题与练习
电脑投影屏幕
2．判定定理
图8
A
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