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湘教版八年级上册期末复习优选卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度的线段能组成三角形的是（ ）
A．3、4、8 B．5、6、11 C．5、6、10 D．3、5、10
2．在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．等腰三角形的顶角是100°，则它的底角度数是（ ）
A．80° B．40° C．30° D．20°
6．如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（ ）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对
C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对
7．如果把分式 中的 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍
8．如图， 中， 是 延长线上一点，且 ，则 的度数是（ ）
A．50 B．65 C．75 D．85
9．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点，以下4个结论：①AD＝BE；②∠DOB＝180°－α；③△CMN是等边三角形；④连OC，则OC平分∠AOE.正确是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．有一块边长为 的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形；如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第 个正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．根据数量关系列不等式： 的2倍与 的差大于3 .
12．要使分式 有意义，则 应满足的条件是 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点G，连结BG并延长交AC于点D，若∠A＝80°，则∠ADB＝ 度．
14．如图，已知BD＝AC，那么添加一个 条件后，能得到△ABC≌△BAD（只填一个即可）．
15．不等式4x﹣6≥7x﹣12的非负整数解为 .
16．若 ， ， ，则 的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 ．
18．某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）某商场11月初花费15 000元购进一批某品牌英语点读笔，因深受顾客喜爱，销售一空．该商场于12月初又花费24 000元购进一批同品牌英语点读笔，且所购数量是11月初的1.5倍，但每支进价涨了10元．
（1）求商场11月初购进英语点读笔多少支？
（2）11月份商场该品牌点读笔每支的售价是270元，若12月份购买的点读笔全部售完，且所获利润是11月份利润的1.2倍，求12月份该品牌点读笔每支的售价？
20．（6分）如图，，垂足分别为点，，且，，点，，，在同一条直线上，，相交于点．
求证：
（1）；
（2）．
21．（9分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点的坐标分别是，，．
（1）求的面积；
（2）在图中作出关于轴的对称图形；
（3）写出点，的坐标．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，点D为AB上的点，且BD=AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
（1）如（图1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。
（2）如（图2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数。
（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动 秒后，可得到等边△CQP。
23．（9分）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：.解答下面的问题：
（1）猜想并写 .
（2）求的值.
（3）探究并解方程：.
24．（9分）甲、乙两商场自行定价销售某一商品.
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为11.5元，则该商品在甲商场的原价为多少元？
（2）乙商场将该商品提价20%后，用60元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少元？
（3）在（1）、（2）小题的条件下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整.
甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；
乙商场：两次提价的百分率都是 （a＞0，b＞0，a≠b）.
请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由.
25．（9分）在等腰 中， ，点A 点B分别是y轴，x轴上两个动点，直角边 交x轴于点D，斜边 交y轴于点E．
（1）如图①，已知C点的横坐标为 ，直接写出点A的坐标 ；
（2）如图②，当等腰 运动到使点D恰为 中点时，连接 ，求证： ；
（3）如图③，若点A在x轴上，且 ，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以 为直角边在第一 二象限作等腰直角 和等腰直角 ，连接 交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时， 的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出 的长度．
26．（9分）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在 中，AD平分 ， ．求证： ．
李老师给出了如下简要分析：“要证 就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，
（1）
方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取 ，连接DE，只要证 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出 ，得出 及 ，再证出 ，进而得出 ，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分 ，将 沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能．
（2）方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使 ．只要证 即可．此时先证 ，再证出 ，则结论成立．”
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数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列长度的线段能组成三角形的是（ ）
A．3、4、8 B．5、6、11 C．5、6、10 D．3、5、10
【答案】C
【解析】【解答】解：A、3+4＜8，故不能组成三角形，故A错误；
B、5+6=11，故不能组成三角形，故B错误；
C、5+6＞10，故能组成三角形，故C正确；
D、3+5＜10，故不能组成三角形，故D错误.
故答案为：C.
【分析】如果三条线段中较小两边的和大于最大的边长，则该三条线段一定能围成三角形，从而即可一一判断得出答案.
2．在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：在实数 ， ， ， 中 ＝2，有理数有 ， 共2个.
故答案为：B.
【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可.
3．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ，
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质计算求解即可。
4．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法法则，除法法则，二次根式的性质，二次根式的加减法则计算求解即可。
5．等腰三角形的顶角是100°，则它的底角度数是（ ）
A．80° B．40° C．30° D．20°
【答案】B
【解析】【解答】解： 等腰三角形的顶角是100°，
它的底角度数是 ，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的顶角是100°，计算求解即可。
6．如图，△ABC和△AED共顶点A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E． BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（ ）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对
C．甲对、乙不对 D．甲不对、乙对
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD，
∴甲说的符合题意；
∵△BAC≌△EAD（AAS），
∴AB=AE，
在△BAM和△EAN中，
，
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴乙说的符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可。
7．如果把分式 中的 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍
【答案】B
【解析】【解答】解： 都扩大3倍为3x，3y
代入得 ．
故答案为：B．
【分析】根据分式的基本性质求解即可。
8．如图， 中， 是 延长线上一点，且 ，则 的度数是（ ）
A．50 B．65 C．75 D．85
【答案】C
【解析】【解答】解：由三角形的外角性质可得：
∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD-∠B=130°-55°=75°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠ACD=∠B+∠A，再计算求解即可。
9．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点O，点M，N分别是线段AD，BE的中点，以下4个结论：①AD＝BE；②∠DOB＝180°－α；③△CMN是等边三角形；④连OC，则OC平分∠AOE.正确是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；故①符合题意；
②设CD与BE交于F，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠CFE=∠DFO，
∴∠DOE=∠DCE=α，
∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②符合题意；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM= AD，BN= BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=α，
∴∠ACM+∠MCB=α，
∴∠BCN+∠MCB=α，
∴∠MCN=α，
∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，
∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，
∴△CGE≌△CHD（AAS），
∴CH=CG，
∴OC平分∠AOE，故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD=BE；故①符合题意；
②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②符合题意；
③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④符合题意．
10．有一块边长为 的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形；如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第 个正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的
∴三角形的边长分别为
即相邻三角形相似比为： 1： 2，
即相邻三角形面积比为： 1： 4，
∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为：
∴第n个纸板的面积为：
∴第2020个纸板的面积为：
故答案为：B
【分析】根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为 ，...即相邻三角形相似比为： 1： 2，进而求出即相邻三角形面积比，从而得出规律.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．根据数量关系列不等式： 的2倍与 的差大于3 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，2x-y>3．
故答案为： ．
【分析】结合题意列不等式即可．
12．要使分式 有意义，则 应满足的条件是 ．
【答案】x≠1
【解析】【解答】解：当1-x≠0时，分式 有意义，即当x≠1时，分式 有意义。.
故答案为：x≠1．
【分析】分式有意义的条件是分母不能为0，即x-1≠0，由此可得x≠1.
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，小于AB长为半径作弧，分别交AB、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点G，连结BG并延长交AC于点D，若∠A＝80°，则∠ADB＝ 度．
【答案】75
【解析】【解答】∵AB=AC、∠A=80°，
∴∠ABC=∠C=50°，
由作图知BD平分∠ABC，
∴∠DBC= ∠ABC=25°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=75°，
故答案为：75．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=50°，由作图知BD平分∠ABC，即∠DBC= ∠ABC=25°，根据∠ADB=∠C+∠DBC可得答案．
14．如图，已知BD＝AC，那么添加一个 条件后，能得到△ABC≌△BAD（只填一个即可）．
【答案】BC=AD
【解析】【解答】由BD=AC，AB=BA，BC=AD. 能得到△ABC≌△BAD（SSS）；
由BD=AC，AB=BA，∠BAC=∠ABD. 能得到△ABC≌△BAD（SAS）；
故正确答案为：BC=AD
【分析】本题中除了BD=AC还有一个公共边，即AB=BA，则根据SSS判定定理可添加的条件为BC=AD.当然根据其他判定还有其他情况.
15．不等式4x﹣6≥7x﹣12的非负整数解为 .
【答案】0，1，2
【解析】【解答】解：移项得：4x－7x≥－12+6，
合并同类项得：－3x≥－6；
化系数为1得： x≤2；
因而不等式的非负整数解是：0，1，2．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解，根据题意找到符合条件的非负数整数解即可。
16．若 ， ， ，则 的值为 ．
【答案】6
【解析】【解答】 = = = =6．
故答案为：6．
【分析】根据同底幂的乘法及除法、幂的乘方的逆用将原式变形，然后整体代入计算即可.
17．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 ．
【答案】（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3 ）或（0，6+3 ）．
【解析】【解答】解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），分情况讨论：
①如图：当PE=OE时，PE⊥OC，则PF⊥y轴，则OF=PE=3，故F点的坐标是（0，3）；
②当OP=PE时，∠OPE=90°=∠FPE，则F点与点O重合，故点F的坐标为（0，0）；
③当OP=OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF。
∴BF=AE=OE-AO=
此时，OF=3- ，
当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF=AE=OE+AO= ，
此时，OF=3+ ，
∴点F的坐标是（0，6- ）或（0， ）
故答案为： （0，0）或（0，3）或（0，6﹣3 ）或（0，6+3 ）
【分析】△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中两段相等，P（3，3），那么有：①当PE=OE时，PE⊥OC，则PF⊥y轴，则F的坐标是（0，3）；②当OP=PE时，∠OPE=90°，则F点就是（0，0）；③当OP=OE时，则OF=6±3 F的坐标是：（0，6-3 ）或（0，6+3 ）．
18．某中学假期后勤中的一项工作是请 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配 人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．
【答案】13
【解析】【解答】解：设制作课桌的工人为 名，则制作椅子的工人有 名，
则制作 把椅子所需时间 ，
制作 张课桌所用的时间为 ，
令 ，
当 值最小时，表示工人分别完成两项工作的时间最接近，此时完成此项工作时间最短，
当 时，即 ，
解得 不符合实际，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时，完成此项工作时间最短．
故答案是：13．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）某商场11月初花费15 000元购进一批某品牌英语点读笔，因深受顾客喜爱，销售一空．该商场于12月初又花费24 000元购进一批同品牌英语点读笔，且所购数量是11月初的1.5倍，但每支进价涨了10元．
（1）求商场11月初购进英语点读笔多少支？
（2）11月份商场该品牌点读笔每支的售价是270元，若12月份购买的点读笔全部售完，且所获利润是11月份利润的1.2倍，求12月份该品牌点读笔每支的售价？
【答案】（1）解：设商场11月初购进英语点读笔x支，依题意，得：
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商场11月初购进英语点读笔100支．
（2）解：设12月份该品牌点读笔每支的售价为y元，由（1），得：
11月份每支点读笔进价是15000÷100=150（元），数量是100支，12月份每支点读笔进价是150+10=160（元），数量是100×1.5=150（支），则（270－150）×100×1.2=（y－160）×150，解得：y=256．
答：12月份该品牌点读笔每支的售价为256元．
【解析】【分析】（1）设商场11月初购进英语点读笔x支，依题意列出方程，解之并检验即可；
（2）设12月份该品牌点读笔每支的售价为y元，由（1）得出11月份每支点读笔进价、12月份每支点读笔进价。
20．（6分）如图，，垂足分别为点，，且，，点，，，在同一条直线上，，相交于点．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
即，
在和中
，
（2）解：由（1）全等可知：
，，
，
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证出；
（2）由全等三角形的性质得出，，可得出，即为所求。
21．（9分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点的坐标分别是，，．
（1）求的面积；
（2）在图中作出关于轴的对称图形；
（3）写出点，的坐标．
【答案】（1）解：
（2）解：如下图所示：
（3）解：A1（1，5）；C1（4，3）
【解析】【分析】（1）直接利用三角形的面积公式求解即可；
（2）分别组成三个顶点关于y轴对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）结合图形即可得出答案。
22．（9分）如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，点D为AB上的点，且BD=AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动。
（1）如（图1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。
（2）如（图2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数。
（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动 秒后，可得到等边△CQP。
【答案】（1）解：△BPD≌△CQP
证明：经过1s后，BP=1×3=3， CP=BC-BP=9. CQ=BP=3
∵AB=BC=AC=12cm，
∴△ABC是等边三角形，∠B=∠C=60°
∵BD=AB=9，∴BD=CP，
在△BPD和△CQP中，
△BPD≌△CQP（SAS）
（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，∴BP=CQ
∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形.
∠BAC=∠ABC=∠C=60°
∵在△ABP和△BCQ中，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP=∠CBQ；
∠AFQ=∠BAP+∠BAF
∴∠AFQ=∠CBQ+∠BAF=∠ABC=60°
（3）
【解析】【解答】解：（3）当点Q运动秒后，可得到等边△CQP
【分析】（1）经过1s后，BP=3， CP=9.，CQ=3，由已知可得BD=CP，BP=CQ，，可证得△BPD≌△CQP（SAS）；
（2） 由题意可知点Q的运动速度与点P的运动速度相等，可得BP=CQ，已知AB=BC=AC，可知△ABC是等边三角形.∠ABC=∠C=60°，可证得△ABP≌△BCQ（SAS），即∠BAP=∠CBQ，∠AFQ=∠BAP+∠BAF，可知∠AFQ=∠CBQ+∠BAF=∠ABC=60°。
（3）要使 △CQP是等边三角形，必须满足 CQ=CP=QP。
23．（9分）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：.解答下面的问题：
（1）猜想并写 .
（2）求的值.
（3）探究并解方程：.
【答案】（1）
（2）解：由（1）可知，
=
=
=
=；
（3）解：由（1）可知，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
经检验，是原分式方程的解.
∴.
【解析】【解答】解：（1）根据题意，可知：
；
故答案为：；
【分析】（1）观察分子都是1，分母是两个连续的自然数的乘积，由此可得答案.
（2）利用（1）的规律，将式子转化为 ，去括号后，利用有理数的加减法法则进行计算，可求出结果.
（3）利用（1）的规律，将方程左边转化为 ， 由此可将方程变形为 ， 然后求出此方程的解.
24．（9分）甲、乙两商场自行定价销售某一商品.
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为11.5元，则该商品在甲商场的原价为多少元？
（2）乙商场将该商品提价20%后，用60元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少元？
（3）在（1）、（2）小题的条件下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整.
甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；
乙商场：两次提价的百分率都是 （a＞0，b＞0，a≠b）.
请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由.
【答案】（1）解：11.5÷（1+15%）=10（元）.
故该商品在甲商场的原价为10元；
（2）解：设该商品在乙商场的原价为x元，则 =1，
解得x=10.
经检验：x=10满足方程，符合实际.
答：该商品在乙商场的原价为10元
（3）解：由于原价均为10元，则
甲商场两次提价后的价格为：10（1+a）（1+b）=10+10a+10b+10ab.
乙商场两次提价后的价格为：10（1+ ）2=10+10a+10b+10×（ ）2.
∵10[（ ）2-ab]= （a-b）2，a＞0，b＞0，a≠b，
∴ （a-b）2＞0.
∴乙商场两次提价后价格较多.
【解析】【分析】（1）利用原价×(1+15%)=售价可得原价；
（2）设该商品在乙商场的原价为x元，由题意可得-=1，求解即可；
（3）由题意可得甲商场两次提价后的价格为10(1+a)(1+b)，乙商场两次提价后的价格为10(1+)2，然后对其进行化简并比较即可.
25．（9分）在等腰 中， ，点A 点B分别是y轴，x轴上两个动点，直角边 交x轴于点D，斜边 交y轴于点E．
（1）如图①，已知C点的横坐标为 ，直接写出点A的坐标 ；
（2）如图②，当等腰 运动到使点D恰为 中点时，连接 ，求证： ；
（3）如图③，若点A在x轴上，且 ，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以 为直角边在第一 二象限作等腰直角 和等腰直角 ，连接 交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时， 的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出 的长度．
【答案】（1）（0，2）
（2）解：如图②，过点C作 交y轴于点G．
，
∴ ，
为 的中点，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴
（3）解： 的长度不变．理由如下：
如图③，过点C作 轴于点E．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴
【解析】【解答】解：（1）如图①，过
作
轴于
故答案为：
．
【分析】（1）先求出∠ACF=∠OAB，再证明三角形全等，最后进行求解即可；
（2）根据题意先证明
，再求出CD=AD=CG，再证明三角形全等，进行求解即可；
（3）先求出
，再证明
，最后根据全等三角形的判定与性质进行求解即可。
26．（9分）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在 中，AD平分 ， ．求证： ．
李老师给出了如下简要分析：“要证 就是要证线段的和差问题，所以有两个方法，
（1）
方法一：‘截长法’如图2，在AC上截取 ，连接DE，只要证 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出 ，得出 及 ，再证出 ，进而得出 ，则结论成立．此种证法的基础是‘已知AD平分 ，将 沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处’成为可能．
（2）方法二：“补短法”如图3，延长AB至点F，使 ．只要证 即可．此时先证 ，再证出 ，则结论成立．”
【答案】（1）CE；转化；ABD；AED；DE；EDC；C
（2）F；AFD；ACD
【解析】【解答】 解：在AC上截取 ，连接DE，如图2
∵AD平分 ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，BD=DE，
∵ ，
∴
而 ，
∴ ，
∴DE=CE，
∴AB+BD=AE+CE=AC，
故答案为： ；转化； ； ； ； ；C；
方法二：
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
解：如图3，延长AB至点F，使 ，
∴
∴
∴
∴
在 和 中
，
∴ ，
∴AC=AF，
∴AC=AB+BF=AB+BD，
故答案为：F； ； ．
【分析】利用全等三角形的判定与性质求解即可。
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